1、- 1 -普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）理科数学第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合 ， ，则 （ ）2|30Ax|2BxABA B C D(,0)(,)(0,)(2,3)2.（2017海口市调研）已知复数 ， （ 为虚数单位， ） ，若1zi2zaiaR，则 （ ）12zRaA B C D443.（2017桂林市模拟）若向量 ， 满足： ， ， ，则ab1()ab(3)ab（ ）bA B C D33134.（2017福建省质检）在 中， ， ， 为 的中点， 的
2、面积A32ABBC为 ，则 等于（ ）34CA B C D2710195.已知 ，且 ，则 的概率为（ ）,1,3456xyxy2xA B C D32566.（2017昆明市统考）如图，网格纸上正方形小格的边长为 （单位： ） ，图中粗线画1cm出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位： ）为（ ）3c- 2 -A B C D240240124082407.（2017长春市三模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 为 ，S1则判断框中填写的内容可以是（ ）A B C D6n6n6n8n8.（2017郑州一预）函数 在点 处的切线斜率为（ ）()cosxfe(0,)fA B C
3、 D01129.（2017海口市调研）若 ， 满足 ，且 的最小值为 ，则xy30xkyzyx1的值为（ ）kA B C D121214410.（2017桂林市模拟）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线(0)ypxF3交抛物线于 ， 两点.若线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，则 （ ）A(1,0)MpA B C D236211.（2017河南九校联考）四面体的一条棱长为 ，其余棱长为 ，当该四面体体积最大时，c3经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）- 3 -A B C D27921521512.设 是函数 的导函数，且 ， （ 为自然对数()fx()fx()()fxfRfe的底数）
4、 ，则不等式 的解集为（ ）2lnfA B C D0,2e(0,)e1,2e,2e第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上）13.（2017长春三模）函数 的单调递增区间是 13sincos0,22yxx14.（2017海南六市联考） 展开式中的常数项是 ，则 21nx70n15.在一幢 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为 ，塔基的俯角为 ，假定房屋与塔10m63建在同一水平地面上，则塔的高度为 m16.设函数 在 上为增函数， ，且 为偶函数，则不等式()fx,)(3)0f()1)gxf的解集为 (20g三、解答题（本大题共
5、 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 满足 ， .na15143(2)na（1）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；na（2） 令 ，求数列 的前 项和 .2log()nnbnbS18.如图，在四棱柱 中，1ABCD， ， ， ， ， ，侧棱 底面/AB42ACD12A1A， 是 的中点.CE1- 4 -（1）求证： 平面 ；BD1AC（2）设点 在线段 上，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.QE:3:4QBCQ1A19.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶
6、段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 分）进行统计，制成如下频率分布表.10分数（分数段） 频数（人数） 频率60,7)9x8y0.38,9)16201zs合计 p1（1）求表中 ， ， ， ， 的值；xyzsp（2）按规定，预赛成绩不低于 分的选手参加决赛.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取90得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为 ，求 的分布列和数学期望.X20.（2017昆明市统考）已知动圆 经过定点 ，且与直线 相切，设动圆圆心E(1,0)D1x的轨迹为曲线 .EC（1）求曲线 的方程；（2）设过点 的直线 ， 分别与曲线
7、 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率存在，(1,2)P1l2CAB1l2且倾斜角互补，证明：直线 的斜率为定值.AB21.（2017贵州省适应性考试）设 ，函数 ，函数 .*nNln()xf()0)xneg- 5 -（1）当 时，求函数 的零点个数；n()yfx（2）若函数 与函数 的图象分别位于直线 的两侧，求 的取值集合()yfxg1yn；A（3）对于 ， ，求 的最小值.n12,(0,)12()fxg请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的参数方程为l1c
8、osinxtyt1C（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲2cos4inxty x线 的极坐标方程为 .2C4cos（1）若直线 的斜率为 ，判断直线 与曲线 的位置关系；l2l1C（2）求 与 交点的极坐标（ ， ）.120223.选修 4-5：不等式选讲已知函数 在 上的最小值为 ，函数 .()()afxx(1,)15()1gxax（1）求实数 的值；（2）求函数 的最小值.()g- 6 -普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）理科数学一、选择题1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12：DB二、填空题13. 14. 15. 16. 0,
9、6440(0,2)三、解答题17.解析：（1）证明：由 知 ，134na1()4nna所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.na52则 ， .121nn（2） ，nb设数列 前 项和为 ，则 ，1nT210n当 时， ；5210nS当 时， ；655n所以 .2,106nS18.解析：（1）证明： 平面 ， ，1ABCDA以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，A1xyz则 ， ， ， ，(4,0)B1(,2)(0,)(2,0)所以 ， ， ，D,AC1,A所以 ，().14020BA所以 ， ，DC1BA因为 ， 平面 ，11C- 7 -平面 ，1A1
10、C所以 平面 .BD1A（2）设 ，直线 与平面 所成角为 ，由（1）知平面 的一个法(,)Qxyz1AC1AC向量为 .4,20 ，3EB ， ，71,02Q31,2,C平面 法向量 ，1A(,0)n.sinco,QC7319.解析：（1）由题意知，参赛选手共有 （人） ，1650.32p所以 ， ， ，90.85x50.389y96z321s（2）由（1）知，参加决赛的选手共 人，随机变量 的可能取值为 ， ， ，6X012，346(0)5CPX，21436()，12436()5CPX随机变量 的分布列为：- 8 -X012P153515因为 ，13()025E所以随机变量 的数学期望为
11、.X20.解析：（1）由已知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离，由抛物E(1,0)DE1x线的定义知 点的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，故曲线 的方程为E(,)xC.24yx（2）由题意可知直线 ， 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.1l2设 ， ，直线 的方程为 ， .1(,)Axy2(,)B1l(1)2ykx0k直线 的方程为 ，2lkx由 得 ，2()4ykx222(4)()0kx已知此方程一个根为 ， ，1224kxk即 ，同理 ，214kx22 2()4()k ， ，218k128kx 1212()()y，2128(kkxk ，1218AByxk所
12、以，直线 的斜率为定值 .21.解析：（1）当 时， ， .1nln()xf 21ln()(0)xf- 9 -由 得 ；由 得 .()0fxxe()0fxe所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，(,),)因为 ， ，1()0fe0fe所以函数 在 上存在一个零点；fx(,)当 时， 恒成立，(,eln0xf所以函数 在 上不存在零点.)fx(,)综上得函数 在 上存在唯一一个零点.（2）由函数 求导，得 ，ln()fx1ln()(0)xf由 ，得 ；由 ，得 ，()0f1ne0fxne所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，x(,)1(,)n则当 时，函数 有最大值 ；1nefmaxff
13、e由函数 求导，得 ，()0)xng1()(0)xng由 得 ；由 得 . (fx0所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，()gx0,n(,)n则当 时，函数 有最小值 ；()minnegx因为 ，函数 的最大值 ，*nN()fx1()nfe即函数 在直线 的下方，l()nfxy故函数 在直线 ： 的上方，0)negl1所以 ，解得 .min()()nxe- 10 -所以 的取值集合为 .n1,2A（3）对 ， 的最小值等价于 ，12,(0,)x12()fxgminax1()()negxf当 时， ；nminax()()gxfe当 时， ；22inax14f因为 ，221()04ee所以
14、的最小值为 .12()fxg2314e22.解析：（1）斜率为 时，直线 的普通方程为 ，l12()yx即 . 23yx将 消去参数 ，化为普通方程得 ，cos4intt 22()(4)xy则曲线 是以 为圆心， 为半径的圆，1C(2,)2圆心 到直线 的距离 ，1(,4)l4352d故直线 与曲线（圆） 相交.l1（2） 的直角坐标方程为 ，C240xy由 ，解得 ，24860xy2所以 与 的交点的极坐标为 .1C2 ,423.解析：（1） ， ， ，()(1)1afxxax0a ，即有 ，解得 .()3fxa5- 11 -（2）由于 ，当且仅当 时等号成立，51(5)14xx51x 的最小值为 . gx4
