1、专 项 练(二)1.(2021 湖南三模)直线 l：(2 a1)x(a3)y 43a 0 与圆(x 2)2y2 9 相交于 A，B 两点，则|A B|的最小值为 _；此时 a_.答案 2 743解析 直线 l：(2 a1)x(a3)y 43a0 恒过定点(1，1)，且点(1，1)在圆内，当圆心与点(1，1)的连线与直线 A B 垂直时，弦长|A B|最小.圆心(2，0)与点(1，1)间的距离为（2 1）2（0 1）2 2，圆的半径为 3，弦长|A B|的最小值为 2 9 2 2 7.圆心(2，0)与点(1，1)连线的斜率为1012 1，此时直线 l 的斜率为 1，则2 a1a 3 1，解得 a
2、 43.2.(2021 漳州 质检)已知 0，0，函 数 f(x)2c os3x 3 1 的图 象向右平 移 个单位长度得到函数 g(x)的图象.若 g(x)与 h(x)4s i n x 6 的极值点完全相同，则 _，的最小值为_.答案 33解析 函 数 f(x)2c os3x 3 1 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数 g(x)2c os3x 3 3 1 的图 象，若 g(x)与 h(x)4s i n x 6 4c os x 23 的极 值点完全相同，则232|，3(负值已舍去).当 c os3x 3 3 c o s3x 23 时，则 3 323 2k，k Z，即
3、 32k 3，k Z.又 0，m i n 3.当 c os3x 3 3 c os3x 23 时，则 3x 3 3 3x 23 2k，k Z，23k，k Z.又 0，m i n 23.综上可得 的最小值为3.3.(2021 青岛统检)2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面直角坐标系中用抛物线 与圆 勾勒 出牛 的形 象.已知 抛物 线 Z：x24y 的焦 点为 F，圆 F：x2(y 1)2 4 与抛物线 Z 在第一象限的交点为 Pm，m24，直线 l：x t(0 t 0，y 0，解得x 2，y 1，m 2.由x t，x24y，解得x t，y t24，At，t24.由x t，x2（y 1）2
4、4，解得x t，y 1 4 t2，B(t，1 4 t2).设点 A 在抛物线准线上的射影为点 C，则由抛物线的定义，得|A F|A C|，F A B的周长|F A|F B|A B|A C|A B|B F|B C|2 4 t24.t(0，2)，4 t24(4，6)，即F A B 周长的取值范围为(4，6).4.(2021 福建三联)四棱锥 P-A B C D 各顶点都在球心为 O 的球面上，且 P A 平面A B C D，底面 A B C D 为矩形，P A A B 2，A D 4，则球 O 的体积是_；设 E，F 分 别 是 P B，B C 的 中 点，则 平 面 A E F 被 球 O 所
5、截 得 的 截 面 圆 面 积 为_.答案 8 6143解析 由题意知球心 O 为 P C 的中点，球 O 的直径 2R 22 22 42 2 6，R 6，V球43(6)38 6.设球心 O 到平面 A E F 的距离为 d，截面圆半径为 r，由题设知球心 O 到平面 A E F的距离等于点 B 到平面 A E F 的距离，如图，连接 O A，O E，O F，由等体积法得，V O-A E F V E-A B F，易知 A E 2，A F 2 2，E F 6，则 A E2 E F2 A F2，A E E F，1312 2 6 d 1312 2 2 1，得 d 2 33，r2R2d2643143，
6、故截面圆面积为 r2143.5.(2021 新 高 考 预 测 卷)已 知 A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，点 M 是 A B C 所在平面内的一点，且满足 C M 2C A 3C B，则 M A M B _，C M与 C B所成角的余弦值为_.答案 484 1919解析 法一 C M 2C A 3C B，C M C B 2(C A C B).取 A B 的中点 N，连接 C N(图略)，可得 B M 4 C N且|C N|3.A B C 是等边三角形，C N A B，即 C N A B 0，M A M B(M B B A)M B M B2 B A M B 16C N2
7、 A B 4C N 16C N2 48.C M C B B M C B 4C N，C N C B|C N|C B|c os 30 3 2 32 3.设 C M与 C B所成的角为，则c os C M C B|C M|C B|（C B4C N）C B|C B4C N|C B|C B2 4C N C BC B216C N28C N C B|C B|4 124482424 1919.法二 建立以点 B 为坐标原点，以边 B C 所在直线为 x 轴，过点 B 且垂直于 BC的直线为 y 轴的平面直角坐标系(图略)，则 A(1，3)，B(0，0)，C(2，0)，C A(1，3)，C B(2，0).C M
8、 2C A 3C B 2(1，3)3(2，0)(8，2 3)，点 M 的坐标为(6，2 3)，M A(7，3)，M B(6，2 3)，M A M B 42 6 48.设 C M与 C B所成的角为，则 c os C M C B|C M|C B|16641224 1919.6.已 知 直 线 l：x 2y 5 0，定 点 A(1，2)，动 点 P 到 定 点 A 的 距 离 与 到 直 线 l的距离相等，双曲线 C：x2a2y2b2 1(a0，b0)的一个焦点为 F，Q 是动点 P 轨迹上一点，则点 P 的轨迹方程为_；若|F Q|的最小值恰为双曲线 C 的虚半轴长，则双曲线 C 的离心率为_.
9、答案 y 2x 5解析 由已知得点 A 在直线 l 上，因而动点 P 的轨迹为过点 A 且与直线 l 垂直的直线，则由点斜式，得点 P 的轨迹方程为 y 22(x 1)，即 y 2x.|F Q|的最小值即点 F 到直线 y 2x 的距离，且|F Q|m i n b.则 y 2x 为双曲线 C 的一条 渐近线，从而ba2，所以离心率 e 1 ba2 5.7.(2021 青岛模拟)某校学生去工厂进行劳动实践，加工制作某种零件.如图，将边长 为 10 2 c m 的 正 方 形 铁 皮 剪 掉 阴 影 部 分 四 个 全 等 的 等 腰 三 角 形，然 后 将P 1 A B，P 2 B C，P 3
10、C D，P 4 D A 分别沿 A B，B C，C D，D A 翻折，使得 P 1，P 2，P 3，P 4 重 合 并 记 为 点 P，制 成 正 四 棱 锥 P-A B C D 形 状 的 零 件.当 该 四 棱 锥 体积最大时，A B _ c m；此时该四棱锥外接球的表面积 S_ c m2.答案 86765解析 取 P 1 P 2 的中点 E，连接 B E，B D，设 A B x，则 D B 2x，B E 10 2 2x2，P 1 B2(5 2)210 2 2x22 100 10 x 12x2.则 P B2 10010 x 12x2.连接 A C，B D，设 A C B D F，连接 P
11、F，则 P F 平面 A B C D，P F2 P B2 B F210010 x 12x222x2 100 10 x，V P-A B C D 13S四边形 A B C D P F 13x2 10010 x13x4（10010 x）.设 f(x)x4(100 10 x)(0 x 0，当 x(8，10)时，f(x)0，f(x)在(0，8)上单调递增，在(8，10)上单调递减，当 x 8 c m 时，四棱锥 P-A B C D 的体积最大，此时 A B 8 c m，P F 2 5 c m.设 四 棱锥 外 接 球的 球 心 为 O，则 O 在 直 线 P F 上，设半 径 为 R，连 接 A O，则
12、 根据 O A2O F2A F2得 R2(R 2 5)2(4 2)2，R135，S6765(c m2).8.(2021 新 高 考 原 创 卷)如 图，正 三 棱 柱 A B C-A B C 的 所 有 棱 长 均 为 2，O 是 B C的中点，P 是平面 B B C C 内一点，且 P A 2，则点 P 的轨迹长度为_；当 P C 的长最小时，三棱锥 O-P A A 的体积为_.答案 1515解析 因 为 三 棱 柱 A B C-A B C 是 正 三 棱 柱，O 是 B C 的 中 点，所 以 O A 平 面B B C C，又 O P 平面 B B C C，所以 O A O P.因 为 P
13、 A 2，O A 3，所 以 O P 1，故 点 P 的 轨 迹 是 在 平 面 B B C C 内，以 O为圆心，1 为半径的半圆，其长度为.在平面 B B C C 内，当 P C 的长最小时，O，P，C 三点共线.过点 O 作 O O B C 于点 O，连接 O A，易知 O，A，A，O 四点共面.过 P 作 P Q O O 于点 Q，又 O A 平面 B B C C，P Q 平面 B B C C 所以 P Q O A，则 P Q 平面 O A A O，即 P Q 是三棱锥 P-O A A 的高.连接 O C，因为 P Q O C，所以P QO C O PO C，又 O C 5，O P 1
14、，O C 1，所以 P Q 55，所以 V O-P A A V P-O A A 13 S O A A P Q 1312 2 3 551515.9.(2021 福 州诊 断)已 知直 线 l 与 抛物 线 C：y28x 相 切于 点 P，且与 C 的 准线 相交于点 T，F 为 C 的焦点，连接 P F 并延长交 C 于另一点 Q，则P T Q 面积的最小值为_；若|T F|5，则|P Q|的值为_.答案 16252解析 抛物线的焦点为 F(2，0)，设直线 P Q 的方程为 x ny 2，由x ny 2，y2 8x消去 x 并化简得 y28ny 160，64n264 0，设 P(x 1，y 1
15、)，Q(x 2，y 2)，则 y 1 y 2 8n，y 1 y 2 16.设抛物线在 P 点处的切线方程为 x m y t，由x m y t，y2 8x消去 x 并化简得 y28m y 8t 0，由 1 64m232t 0，得 t 2m2，故 y28m y 16m20，即(y 4m)20，所以 y 1 4m，t y218，所以抛物线在 P 点处的切线方程为 x y 14y y218.同理求得抛物线在 Q 点处的切线方程为 x y 24y y228.由x y 14y y218，x y 24y y228，解得x y 1 y 28，y y 1 y 22，即x 2，y 4n，也即两条切线的交点(2，4
16、n)在抛物线的准线 x 2 上，故 T(2，4n).点 T 到直线 P Q：x ny 20 的距离d|4 n2 4|n214 n21，|P Q|x 1 p2x 2 p2ny 1 4ny 2 4n(y 1 y 2)88n28，所以 S P T Q 12|P Q|d16(n21)32，当 n0 时，P T Q 的面积取得最小值，为 16.当|T F|5 时，由两点间的距离公式得|T F|（2 2）2（4n 0）2 16n2 16 5，则 16n21625，所以|P Q|8n28252.10.(2021 广东二联)在三棱锥 P-A B C 中，P A B C 5，P B A C 13，P C A B
17、 10，则异 面直 线 P C 与 A B 所 成角 的余 弦值 为 _，三棱 锥 P-A B C 的 体积为_.答案452解析 法一 根 据 题 意可 将 三 棱 锥 P-A B C 补 形 为 长、宽、高 分 别 为 2，1，3 的长方体 P M A E-N C D B，如图所示.连接面对角线 D E 交 A B 于点 R，则 P C D E，易知A R E 为锐角，所以A R E 为异面直线 P C 与 A B 所成的角.在A R E 中，c os A R E R A2 R E2 A E22R A R E10221022 122 10210245，故异面直线 P C 与 A B 所成角的
18、余弦值为45.V P-A B C V长 方 体 V A-C D B V A-P E B V A-P M C V P-N C B 321 41312213 2.法二 根 据 题 意可 将 三 棱 锥 P-A B C 补 形 为 长、宽、高 分 别 为 2，1，3 的 长 方 体P M A E-N C D B，如图所示，以 N 为坐标原点，N C，N B，N P 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1，2，3)，B(0，2，0)，C(1，0，0)，P(0，0，3)，所以 A B(1，0，3)，P C(1，0，3)，所以 c os A B，P CA B P C|A B
19、|P C|11（3）（3）10 1045，故异面直线 P C 与 A B 所成角的余弦值为45.V P-A B C V长 方体V A-C D B V A-P E B V A-P M C V P-N C B 32141312213 2.11.(2021 广 东 冲 刺 联 考)蹴 鞠，又 名“蹴 球”“蹴 圆”等，“蹴”有 用 脚 蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢 皮 球 的 活 动，类 似 今 日 的 踢 足 球 活 动，如 图 所 示.已 知 某“鞠”的 表 面 上有 四 个 点 A，B，C，D 满 足 A B B C C D D A D B
20、 10 c m，A C 15 c m，则点 A 到平面 B C D 的距离为_ c m，该“鞠”的表面积为_ c m2.答案1527003解析 由已知得A B D，C B D 均为等边三角形.如图，设球心为 O，B C D 的中心为 O，取 B D 的中点 F，连接 A F，C F，O O，O B，O B，A O，则 A F B D，C F B D，得 B D 平 面 A F C，且 可 求 得 A F C F5 3 c m.而 A C 15 c m，所以A F C 120.在平面 A F C 中过点 A 作 C F 的垂线，与 C F 的延长线交于点 E，由 B D 平面 A F C，得 B
21、 D A E，又 B D C E F，B D，C E 平面 B C D，故 A E 平面 B C D.过点 O 作 O G A E 于点 G，则四边形 O E G O 是矩形，则 O B B C s i n 60 23 10 322310 33(c m)，O F 12O B 1210 335 33(c m)，A E A F s i n 60 5 3 32152(c m)，故点 A 到平面 B C D 的距离为152c m，E F A F s i n 30 5 3 125 32(c m).设球的半径为 R c m，O O x c m，则由 O O 2O B2O B2，O G2A G2O A2，得
22、 x21003 R2，5 325 332152x2 R2，解得 x 5，R 1753.故三棱锥 A-B C D 外接球的表面积S 4 R2 4175327003(c m2).12.(2021 南京、盐城二模)牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪 提 出 的 一 种 近 似 求 解 方 程 的 方 法.具 体 步 骤 如 下：设 r 是 函 数 y f(x)的 一 个 零点，任 意 选 取 x 0 作 为 r 的 初 始 近 似 值，过 点(x 0，f(x 0)作 曲 线 y f(x)的 切 线 l 1，设 l 1 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 x 1，并 称 x 1
23、为 r 的 1 次 近 似 值；过 点(x 1，f(x 1)作 曲线 y f(x)的 切 线 l 2，设 l 2 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 x 2，并 称 x 2 为 r 的 2 次 近 似 值.一般地，过点(x n，f(x n)(nN)作曲线 y f(x)的切线 l n 1，记 l n 1 与 x 轴交点的 横坐标为 x n 1，并称 x n 1 为 r 的 n1 次近似值.设 f(x)x3x 1(x 0)的零点为 r，取 x 0 0，则 r 的 2 次近似值为_；设 a n 3x3n x n2x3n 1，nN*，数列 a n 的前n 项积为 T n，若对任意 nN*，T n
24、恒成立，则整数 的最小值为_.答案342解析 f(x)3x21，则 f(0)1，f(0)1，所以 l 1：y(1)x，即 l 1：y x 1，则 x 1 1，则 f(1)4，f(1)1，所以 l 2：y 14(x 1)，即 l 2：y 4x 3，则 x 2 34，即 r 的 2 次近似值为34.因为 f(x n)3x2n 1，f(x n)x3n x n 1，所以 l n 1：y(x3n x n 1)(3 x2n 1)(x x n)，所以 x n 1 2x3n 13x2n 1，且 x 1 1，则x n 1x n2x3n 13x3n x n1a n，即 a n x nx n 1，所以 T n a
25、1 a 2 a 3 a n x 1x 2x 2x 3x 3x 4 x nx n 1x 1x n 11x n 1.易 知 函 数 f(x)在 0，)上 单 调 递 增，f12 0，所 以 函 数 f(x)的 零 点r 12，1，即12 x n 1 1，所以 11x n 1 2，即 1 T n 2，所以 2，则整数 的最小值为 2.13.(2021 福 建 诊 断)球 面 几 何 是 几 何 学 的 一 个 重 要 分 支，在 航 海、航 空、卫 星 定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C 是球面上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为
26、A B，B C，C A，由这三 条劣弧组成的 图形称为球 面 A B C.已知地 球半径为 R，北极 为点 N，P，Q 是 地 球 表 面 上 的 两 点.若 P，Q 在 赤 道 上，且 经 度 分 别 为 东 经 40 和东 经 80，则 球面 N P Q 的 面 积为 _；若 N P N Q P Q 2 63R，则 球面N P Q 的面积为_.答案29 R2 R2解析 如 图 1，作出 球 的一 条 直 径 N N，由于 P，Q 在 赤道 上，且 经 度分 别 为东经 40 和东经 80，则球面N P Q 的面积是月牙形 N P N Q 面积的一半，且二面 角P-O N-Q 为29，所以月
27、牙形 N P N Q 的面积是球的表面积的19，从而球面 N P Q 的面积为29 R2.如图 2，作出球的直径 N N，P P，Q Q，则相应的球面三角形和月牙形的面积的关系为 S球面 N P Q S球面 Q N P S月牙形 Q N Q P，S球面 N P Q S球面 P Q N S月牙形 P N P Q，S球面 N P Q S球面 Q N P S月牙形 N Q N P，三式相加得，2S球面 N P Q S球面 N P Q S球面 Q N P S球面 P Q N S球 面 Q N P S月 牙 形 Q N Q P S月 牙 形 P N P Q S月 牙 形 N Q N P，由 对 称 性
28、知，S球 面 N P Q S球 面 N P Q，所 以 3S球 面 N P Q S球 面 Q N P S球 面 P Q N S球 面 Q N P S月 牙 形 Q N Q P S月 牙 形 P N P QS月牙形 N Q N P.因为球面N P Q，球面Q N P，球面P Q N，球面Q N P 恰好组成一个半球面，所以 S球面 N P Q S球面 Q N P S球面 P Q N S球面 Q N P 2 R2，所以 2S球面 N P Q 2 R2S月牙形 Q N Q P S月牙形 P N P Q S月牙形 N Q N P.设球心为 O，二面角 N-Q O-P，二面角 Q-O P-N，二面角 Q
29、-O N-P 分别为，则 S月牙形 Q N Q P 2 4 R22 R2，S月牙形 P N P Q 2 4 R22 R2，由对称性知，二面角 Q-O N-P 等于二面角 Q-O N-P，所以 S月牙形 N Q N P 2 R2.下面，我们求，如图 3，由于 N P N Q P Q 2 63R，所以三棱锥 O-N P Q 为正三棱锥，由对称性知，作 Q T O N，垂足为 T，连 接 P T，则 P T O N，所 以 Q T P.因 为 N Q 2 63R，O Q O N R，所 以 在O Q N 中，由余弦定理得，c os Q O N O Q2 O N2 Q N22O Q O N13，图 3
30、所以Q O N 是钝角，所以 T 在 N O 的延长线上.设 O T x，则 Q T2 O Q2 O T2 Q N2 N T2，即 R2 x22 63R2(R x)2，解得 x 13R，所以 Q T 2 23R，所以 T P 2 23R，所以 Q T T P 33Q P.在Q T P 中，由余弦定理得，c os Q T P 12，所以Q T P 23(也可利用等腰三角形进行计算)，故 23，所以 S月牙形 Q N Q P S月牙形 P N P Q S月牙形 N Q N P 4 R2，球面N P Q 的面积为 R2.14.(2021 新高考押题卷)能说明“存在 x 0，使得 f(x 0)f(x
31、0)，f(x)不是奇函数”为真命题的一个函数为_.答案 f(x)x2，x 0，x2 1，x 0(答案不唯一)解析 令 f(x)x2，x 0，x21，x 0，则 存 在 x 0 22，使 得 f22 f22，但 f(x)不是奇函数(答案不唯一).15.(2021 海 淀 区 一 模)若 实 数，满 足 方 程 组12c os 2c os，32s i n 2s i n，则 的 一 个 值是_.答案23答案不唯一，满足 23 2k（k Z）或 2 k（k Z）中的一个即可)解析 由12c os 2c os，32s i n 2s i n，得2c os 2c os 1，2s i n 2s i n 3，所
32、以(2c os 1)2(2s i n 3)24，则 44c os 4 3 s i n 44，即 3 s i n c os 1，所以 s i n 6 12，则 662k 或 6562k(k Z)，所以 2k 或 232k(k Z)，这里只需写出一个即可.16.(2021 湖南三模)函数概念最早出现在格雷戈里的文章 论圆和双曲线的求积(1667 年)中.他 定 义 函 数 是 这 样 一 个 量：它 是 从 一 些 其 他 量 出 发，经 过 一 系 列 代数运 算而 得到 的，或者 经过 任何其 他可 以想 象到 的运 算得 到的.若一 个量 c ab，而 c 所对应的函数值 f(c)可以通过 f(c)f(a)f(b)得到，并且对另一个量 d，若d c，则都可以得到 f(d)f(c).根据自己所学的知识写出一个能够反映 f(c)与 c 的函数关系式：_.答案 f(c)2c(答案不唯一)解析 若 f(x)2x，则得 f(c)2c，f(a)f(b)2a 2b2ab.因为 c ab，所以 2c2ab，则 f(c)f(a)f(b)成立.又由 f(x)2x在 R 上是增函数，且 d c，则 f(d)f(c)成立.结合得 f(c)与 c 的函数关系式可以为 f(c)2c.
