1、功能梯度夹层多个环形界面裂纹扭转冲击第 37 卷第 1 期2005 年 1 月力学ACTAMECHANICASINICAVol_37No.1Jan.,2005功能梯度夹层多个环形界面裂纹扭转冲击冯文杰)SuRKLt(石家庄铁道学院力学与工程科学系,石家庄 050043)t(香港大学土木系,香港)摘要研究位于功能梯度层和外部均匀材料之间多个环形界面裂纹的扭转冲击问题,功能梯度材料(FGM)粘结在两种不同的弹性材料之间,功能梯度层和外部材料之间环形界面裂纹的数目是任意的.引进积分变换和位错密度函数将问题化为求解 Laplace 域里标准的 Cauchy 奇异积分方程,进而化为求解代数方程;应用 L
2、aplace数值反演技术,计算时域里的动应力强度因子(DSIF).考查了结构几何尺度和材料特性对裂尖动态断裂特性的影响.数值结果表明,DSIF 存在一个主峰,到达主峰后,在其相应的静态值附近波动并最终趋于稳定;增加 FGM 的梯度能减小 DSIF 的峰值.关键词扭转冲击,环形界面裂纹,功能梯度层,动应力集中因子,积分变换中图分类号:0347.4 文献标识码:A 文章编号:04591879(2005)01012005引言近年来,关于含裂纹功能梯度材料(FGM)断裂特性的研究受到广泛关注,但这些研究大多探讨静态断裂问题,有关动态问题的研究成果很少.在这些有限的研究中,Wang 和 Meguid.】
3、探讨了一个有限长裂纹在反平面剪切荷载作用下的传播问题.Babaei 和 Lukasiwicz【3研究了位于两种不同弹性材料之间功能梯度层中 Griffith 裂纹在反平面剪切冲击荷载作用的问题.文献【4,5】分别研究了正交各向异性功能梯度材料硬币型裂纹扭转冲击和共线 Grif-fith 裂纹反平面剪切冲击问题.最近,Li 等【.】研究了位于两种不同弹性材料间功能梯度层中环形裂纹受扭转冲击荷载作用的情况,假定外部弹性材料是无限大的.本文研究功能梯度层和外部均匀材料之间多个环形界面裂纹的扭转冲击问题,环形界面裂纹的数目是任意的,同时,外部弹性材料的径向尺寸是有限的.通过引进积分变换和位错密度函数将
4、问题归结为 Cauchy 奇异积分方程.1 问题的描述如图 1 所示,两种均匀弹性材料(材料 I 和材料 III)通过 FGM 层( 材料 II)粘结在一起.材料 I2003-0524 收到第 1 稿,2OO4_0ll4 收到修改稿1)E-mail:fengwjsjzri.edu.ca和材料 III 的剪切模量及密度分别为 1,P1 和 3,P3.FGM 层的厚度为 ba,材料参数为.2(r)=#or,p2(r)=por(1)o,Po,m,n 可由界面 r=a 和 r=b 处的连续性条件确定,具体形式参见文献【6】.在 FGM 层和外部材料的交界面上,存在 K 个半径为 b 的环形裂纹,第 k
5、 个裂纹的裂尖坐标为 ak 和 bk(k=1,2,).裂纹面受剪切冲击荷载丁 O(z)()作用.图 1 环形界面裂纹受扭转冲击Fig.1Cylindricalinterfacecracksundertorsionalloading第 1 期冯文杰等:功能梯度夹层多个环形界面裂纹扭转冲击 121该问题为 III 型裂纹问题.在柱坐标系(r,0,)下,位移分量(uo)i=wi(r,t)不为零,i=1,2,3分别表示材料 I,材料 II,材料 III,t 为时间.该问题的运动微分方程和非零应力分量()i,(ze)i 与 Wi的关系和文献6中的形式相同.为节省篇幅,下节直接给出本问题在 Laplace
6、 变换域里应满足的边界条件和界面连续性条件.2 奇异积分方程的导出与求解其中叫(,P)为第 k 个裂纹的位移跳跃,则在Laplace 变换域定解条件可表示为吼)_o+一+l)2,)_一+ I应用 Laplace 和 F0urier 变换,可求得 Laplace 叫一=叫(11) 变换域里的位移和应力为【.J 一.+ J.oo0rla1(1r)e 一|sdc2lr 一/2A2(s)pr)+A3(s,p)Kz(y2r)e-ISZds,arb(3)叫 p)=p)+P0ra(5)l(r 一“_(1+m/2).(1A4(s)pr)_0)3(6p)_()3(c,P)=0,一+ (12)(13)K()3(b
7、p)=一()(p),Ua,)(14)=1将式(2)一(7)代入式(9)一(13),得到关于 A1(s,P)一A5(s,P)的 5 个代数方程,将解这些方程得到的A4(s,p),As(s,P)代入式(7), 联立式(14), 得1丌f一+.oL/al 兰 eis(v-Z)dvs=一丁 b()(p),U(0z,bf)(15)A(s,P)和(s,P)在附录中给出.注意到 A(s,P)和(s,P)都是 s 的偶函数,通过分部积分,式(15)进一步化为71“姜 p一丁 b()(p),U(0z,)(16)其中 fk(z,P)=叫/(=1,2,)为第 k 个裂纹的位错密度=(17)Q(v,z,p)=+.(一
8、)sins(一)ds(18)122 力学 2005 年第 37 卷u=c 叩VZ)azkbk; d)c9,(,)J其中 c=,=,式(16) 又可化为r/-q)p)岍姜 p 叩=一丁 0z()(p),l_1(20)这里,l=1,2, ,K,而T0(CkdkP,丁 0,(叩 )=+,)J国(叩,P)=ckQ(ck+dk,ctq+dt,p)+方程(20)是标准的 Cauchy 奇异积分方程,连同单值条件(叩,p)dr/=0(=1,2,K)可采用文献6中用到的 Erdogan 和 Gopta 给出的方法化为代数方程求解.3 动应力强度因子bI)=一l12=,.一 ,KIqlal12(24)一十 rI
9、,n,=,Kl经简单推导,式(23) 和(24) 可表示为KI*U.(P)=一(一 1,P),l=1,2,K(26)其中 Rk(n,p)=,/,(叩,p). 时域的 DSIFs 可通过 Laplace 逆变换求得61.4 数值算例与讨论考查当一丁 0(z)()三一-oH(t),ai=一(nd+2)d,bl=一 ndd,a2=ndd,b2=(nd+2)d 时两个裂纹的DSIF,H(t)为 Heaviside 阶跃函数 .图 2 一图 6 给出了无量纲 DSIF 与无量纲时间的关系曲线 ,图中CT1=v/p1.此时问题关于 z=0 平面对称,只需计算一个裂纹的 DSIF,同时,除图 2 一图 5
10、中nd=1 外 ,用于数值计算的其它参数均列于相应的图中.由这些曲线可见,DSIF 通常在 cT1t/d=2.5 附近出现主峰,达到主峰后在其相应的静态值附近波动,波幅逐渐衰减.图 2 显示,对于所研究的两个裂纹的情况,裂纹两端 DSIF 变化不大.图 3 显示,DSIF 随 ba 的增大而增大,这和文献6】得一k0,=051015202530CT1t/d图 2 裂纹两端无量纲 DSIFs 与时间的关系Fig.2NormalizedDSIFswithnormalizedtimeatZ=alandZ=bl一一k.0:e=051015202530CT1t/d图 3 不同梯度层厚度条件下无量纲 DS
11、IFs 与时间的关系Fig.3NormalizedDSIFsfordifferentthicknessofFGMinterlayerwithnormalizedtime642086420111100000642086420111100000第 1 期冯文杰等:功能梯度夹层多个环形界面裂纹扭转冲击 123出的结论相同,即增大 FGM 的梯度有利于减小DSIF 的幅度.图 4 和 5 分别给出了材料 I 和材料III 的厚度对 DSIF 的影响,容易看出,对于确定的ba 和 3/1,DSIF 随 a 和 c 的增加而减小,因此 DSIF 也可通过增加弹性材料的厚度来抑制.另外,图 5 中 cb-4
12、.的结果,实际上反映了材料III 在 r 方向无限大时裂尖的动态断裂特性 .图 6 显示,DSIF 的峰值随 nd 的增加而减小 .笔者曾考查了材料特性参数对 DSIF 的影响,得出了和文献6相同的结论(文中略去了这部分数值结果).1.81.61.41.21.00.80.60.40.20.00510152025CT1t/d图 4 不同内层均匀材料尺度下无量纲 DSIFs 与时间的关系Fig.4NormalizedDSIFsfordifferentthicknessofinternalhomogeneouscylinderwithnormalizedtime2.01.81.61.41.21.00
13、.80.60.40.20.0(Cb)/d=1.00510152025CT1t/d图 5 不同外层材料厚度条件下无量纲 DSIFs 与时间的关系Fig.5NormalizedDSIFsfordifferentthicknessofexternalhomogeneouscylinderwithnormMizedtime1.61.41.21.00.80.60.40.20.00510152025CT1t/d图 6 不同相对裂纹位置条件下无量纲 DSIFs 与时间的关系Fig.6NormalizedDSIFsfordifferentrelativecrackpositionswithnormalized
14、time5 结论研究了功能梯度层和外部均匀材料之间多个环形界面裂纹的扭转冲击问题.通过引进积分变换和位错密度函数将问题化为 Cauchy 奇异积分方程.算例表明增加 FGM 的梯度 ,能大大抑制裂纹扩展;DSIF 随着 FGM 层和(或)周围弹性层的厚度增大而减小,同时随裂纹间距离的增大而减小.参考文献1ErdoganF.Fracturemechanicsoffunctionallygradedma-terials.CompositesEngng,1995,5:7537702WangXD,MeguidSA.Onthedynamiccrackpropagationinaninterfacewit
15、hspatiallyvaryingelasticproperties./ntFract,1995,69:87,993BabaeiR.LukasiwiczSA.DynamicresponseofacrackinafunctionallygradedmateriMbetweentwodissimilarhalfplanesunderantiplaneshearimpactload.EngngFractMech,1998,60:4794874LiCY.ZouZZ.TorsionMimpactresponseofafunctionMlygradedmateriMwithapennyshapedcrack.ASMEApplMech,1999,62:5665675 冯文杰,苏启亮,邹振祝.功能梯度条共线 Griffith 裂纹反平面剪切冲击.力学,2003,35(4):474,479(FengWenjie,SuRKL,ZouZhenzhu.Antiplaneshearimpactofcopla-narGri 伍 thcracksinafunctionallygradedstrip.Acta
