1、2.2.1 向量加法运算及其几何意义,一,二,一、向量的加法及其运算法则 问题思考,三,思维辨析,一,二,2.如图表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO;图表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长了相同的长度.根据物理学知识,F1和F2两个力的和与力F相等吗?,提示相等.,三,思维辨析,一,二,3.填空:(1)向量加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.,三,思维辨析,一,二,(4)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀: 三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点; 平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.
2、 (5)规定:对于零向量与任一向量a,规定:a+0=0+a=a.,三,思维辨析,一,二,(6)当向量a,b是共线向量时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形:,三,思维辨析,一,二,三,思维辨析,一,二,4.做一做:如图,已知向量a,b,求作向量a+b.,三,思维辨析,一,二,二、向量加法的运算律 问题思考 1.实数的加法满足哪些运算律?向量加法是否也满足这些运算律? 提示实数的加法满足交换律和结合律,向量加法也满足. 2.填空:(1)向量加法的交换律:a+b=b+a; (2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c
3、).,三,思维辨析,一,二,三,思维辨析,三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系 问题思考 1.根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a+b|与|a|,|b|之间的关系吗? 提示|a|-|b|a+b|a|+|b|. 2.填空:(1)对于任意向量a,b,都有|a|-|b|a+b|a|+|b|; (2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|; (3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).,解析根据公式|a|-|b|a+b|a|+|b|直接计算可得. 答案3,13,一,二,三,思维辨析,判断下列说
4、法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量加法法则及其应用 角度1 求作向量 【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.,分析利用三角形法则或平行四边形法则先作出两个向量的和向量再作出三个向量的和向量,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2 向量加法法则的应用 【例2】 如图,四边形ABDC为等腰梯形,ABCD,AC=BD, CD=2AB,E为CD的中点.试求:,分析通过向量平移,
5、借助三角形法则或平行四边形法则化简得出结果.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用三角形法则时,要注意首尾相连;利用平行四边形法则时,要注意向量必须在同一起点,否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量,然后作平行四边形.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,变式训练1 (1)如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DEBC,ABCF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用向量加法运算律化简向量表达式 【例3】 化简下列各式:,分
6、析根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量,然后利用结合律求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解决向量加法运算时应关注两点: (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用向量加法法则解决实际问题 【例4】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞
7、行的路程及两次位移的和. 分析解答本题先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量加法应用的关键及技巧: (1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧:准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,延伸探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此
8、按正西方向飞回A地? 解如图,由点C作垂线,垂足为D,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,对不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中等号成立条件理解不清致误 【典例】 若a,b是非零向量,且|a+b|=|b|-|a|,则 ( ) A.a,b同向共线 B.a,b反向共线 C.a,b同向共线且|b|a| D.a,b反向共线且|b|a| 错解B 错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示错解只考虑了向量的方向,但没有注意到其模的大小关系. 正解由于|a+b|=|b|-|a|,因此向量a,b是方向相反的向量,且|b|a|,故选
9、D. 答案D,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,弄清a+b的方向以及模与向量a,b的方向、模之间的关系: (1)当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|. (2)当a与b反向共线时,若|a|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|;若|a|=|b|,则a+b=0.,1,2,3,4,5,1.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示( ),答案B,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.若向量a,b不共线,且|a|=4,|b|=7,则|a+b|的取值范围是 . 解析因为向量a,b不共线, 所以|a|-|b|a+b|a|+|b|, 即7-4|a+b|4+7,故3|a+b|11. 答案(3,11),
