1、- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第五章 第二节 等差数列及其前 n 项和课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1已知等差数列 an满足： a313， a1333，则数列 an的公差为( )A1 B2C3 D4解析：设等差数列 an的公差为 d，则 d 2，故选择 B.a13 a313 3 33 1310答案：B2(2016宝鸡质检)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S918， an4 30( n9)，若Sn336，则 n 的值为( )A18 B19C20 D21解析：因为 an是等差数列，所以 S99 a518， a52， Sn n a1 an2 321
2、6 n336，解得 n21，故选择 D.n a5 an 42 n2答案：D3(2015武昌联考)已知数列 an是等差数列， a1 a3 a5105， a2 a4 a699， an的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn达到最大的 n 是( )A18 B19C20 D21解析： a1 a3 a5105 a335， a2 a4 a699 a433，则 an的公差d33352， a1 a32 d39， Sn n240 n，因此当 Sn取得最大值时， n20.答案：C4在等差数列 an中， a2 a3 a4 a540，则 3a1 a11( )A20 B30C40 D60解析：本题考查等差数列的通项公式及性
3、质的应用由等差数列的性质得a2 a3 a4 a52( a3 a4)40，解得 a3 a420，即 a3 a42 a15 d20，又3a1 a114 a110 d2(2 a15 d)40，故选 C.答案：C5已知数列 an， bn都是等差数列， Sn， Tn分别是它们的前 n 项和，并且- 2 - ，则 ( )SnTn 7n 1n 3 a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16A. B5345C. D.314 315解析：法一：令 Sn(7 n1) n， Tn( n3) n，则 an14 n6， bn2 n2，所以 .a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16 22 64
4、 232 30218 22 26 34 315法二：设等差数列 an， bn的公差分别为 d1， d2，则 .a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16 4a1 42d14b1 42d2 2a1 21d12b1 21d2 a1 a22b1 b22 S22T22 722 122 3 315答案：D6(2015广州一模)若 Sn是等差数列 an的前 n 项和，且 S8 S320，则S11_.解析：因为 an是等差数列，所以 S8 S3 a4 a5 a6 a7 a85 a620，所以 a64，所以 S11 11 a644.11 a1 a112答案：447设数列 an的前 n 项和为 Sn
5、，且 a1 a21， nSn( n2) an为等差数列，则 an的通项公式为 an_.解析：设 bn nSn( n2) an，则 b11 S1(12)a11 a13 a14， b22 S2(22) a22( a1 a2)(22) a28，所以等差数列 bn的首项为 4，公差为 4，所以 bn4( n1)44 n，即 nSn( n2) an4 n.当 n2 时，Sn Sn1 an an1 0，所以 an an1 ，即 2 ，所(12n) (1 2n 1) 2 n 1n n 1n 1 ann an 1n 1以 是以 为公比，1 为首项的等比数列，所以 n1 ，所以 an .ann 12 ann (
6、12) n2n 1答案：n2n 18设等差数列 an满足公差 dN *， anN *，且数列 an中任意两项之和也是该数列的一项若 a13 5，则 d 的所有可能取值之和为_解析：本题考查等差数列的通项公式依题意得 an a1( n1)d， ai aj2 a1( i j2) d a1( m1) d(i， j， mN *)，即( m i j1)d a1， kd a13 5(其中 k， dN *)，因此 d 的所有可能取值是 35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此 d 的所有可能取值之和为 364.1 3531 3- 3 -答案：3649已知 an是一个公差大于 0 的等差
7、数列，且满足 a3a655， a2 a716.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足： b1 a1且 bn an bn1 (n2， nN *)，求数列 bn的通项公式解：(1)由题意得：Error!公差 d0，Error! d2， an2 n1.(2) bn an bn1 (n2， nN *)， bn bn1 2 n1( n2， nN *) bn( bn bn1 )( bn1 bn2 )( b2 b1) b1(n2， nN *)，且 b1 a11， bn2 n12 n331 n2(n2， nN *) bn n2(nN *)10(2015南昌一模)已知等差数列 an的前 n 项和为
8、 Sn， a11， S36，正项数列 bn满足 b1b2b3bn2 Sn.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)若 b nan对 nN *均成立，求实数 的取值范围解：(1) a11， S36，数列 an的公差 d1， an n.由题知，Error!得 bn2 Sn Sn1 2 an2 n(n2)，又 b12 S12 12，满足上式，故 bn2 n.(2)b nan恒成立 恒成立，n2n设 cn ，则 ，n2n cn 1cn n 12n当 n2 时， cn .12 12B 组 高考题型专练1(2015高考重庆卷)在等差数列 an中，若 a24， a42，则 a6( )A1 B0C1 D6
9、解析：由等差数列的性质知 a2 a62 a4，所以 a62 a4 a20，故选 B.答案：B2(2015高考全国卷)已知 an是公差为 1 的等差数列， Sn为 an的前 n 项和若S84 S4，则 a10( )- 4 -A. B.172 192C10 D12解析：设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d.由题设知 d1， S84 S4，所以8a1284(4 a16)，解得 a1 ，所以 a10 9 ，选 B.12 12 192答案：B3(2015高考北京卷)设 an是等差数列，下列结论中正确的是( )A若 a1 a20，则 a2 a30B若 a1 a3 a1a3D若 a10解析：若 an是
10、递减的等差数列，则选项 A，B 都不一定正确若 an为公差为 0 的等差数列，则选项 D 不正确对于 C 选项，由条件可知 an为公差不为 0 的正项数列，由等差中项的性质得 a2 ，由基本不等式得 ，所以 C 正确a1 a32 a1 a32 a1a3答案：C4(2015高考安徽卷)已知数列 an中， a11， an an1 (n2)，则数列 an的前129 项和等于_解析：因为 a11， an an1 (n2)，所以数列 an是首项为 1、公差为 的等差数列，12 12所以前 9 项和 S99 27.982 12答案：275(2015高考北京卷)已知等差数列 an满足 a1 a210， a4
11、 a32.(1)求 an的通项公式；(2)设等比数列 bn满足 b2 a3， b3 a7.问： b6与数列 an的第几项相等？解：(1)设等差数列 an的公差为 d.因为 a4 a32，所以 d2.又因为 a1 a210，所以 2a1 d10，故 a14.所以 an42( n1)2 n2( n1,2，)(2)设等比数列 bn的公比为 q.因为 b2 a38， b3 a716，所以 q2， b14.所以 b642 61 128.- 5 -由 1282 n2，得 n63.所以 b6与数列 an的第 63 项相等6(2015高考重庆卷)已知等差数列 an满足 a32，前 3 项和 S3 .92(1)
12、求 an的通项公式；(2)设等比数列 bn满足 b1 a1， b4 a15，求 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)设 an的公差为 d，则由已知条件得a12 d2,3 a1 d ，322 92即 a12 d2， a1 d ，32解得 a11， d ，12故通项公式为 an1 ，即 an .n 12 n 12(2)由(1)得 b11， b4 a15 8.15 12设 bn的公比为 q，则 q3 8，从而 q2，b4b1故 bn的前 n 项和Tn 2 n1.b1 1 qn1 q 1 1 2n1 2- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前 n 项和课时作业
13、 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1(2016太原一模)已知等比数列 an单调递减，若 a31， a2 a4 ，则 a1( )52A2 B4C. D22 2解析：设等比数列 an的公比为 q， q0，则 a a2a41，又 a2 a4 ，且 an单调递2352减，所以 a22， a4 ， q2 ， q ，所以 a1 4，故选 B.12 14 12 a2q答案：B2已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn an2 n(nN *)，则下列数列中一定为等比数列的是( )A an B an1C an2 D Sn解析：由 Sn an2 n(nN *) 可得 Sn1 an1 2( n1)( n
14、2， nN *) ，得 an an1 1( n2， nN *)，所以 an2 (an1 2)( n2， nN *)，且12 12a11， a1210，所以 an2一定是等比数列，故选 C.答案：C3已知等比数列 an的前 n 项积为 Tn，且公比 q1，若 T7128，则( )A a42 B a52C a62 D a12解析：因为 Tn为等比数列 an的前 n 项积，所以 T7 a 128，则 a42，故选 A.74答案：A4设 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 2a13 a21， a33 a4，则 2Sn an( )A1 B.13C. D212解析：设等比数列 an的公比为 q，因为
15、2a13 a21， a33 a4，所以 2a13 a1q1 ， a1q23 a1q3 ，由得 q ，代入得 a1 ，所以 an a1qn1 n， Sn13 13 (13)- 2 - ，则 2Sn an1.13(1 13n)1 13 12 (1 13n)答案：A5(2015衡水二模)已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和， a1 ，9 S3 S6，设120Tn a1a2a3an，则使 Tn取最小值的 n 的值为( )A3 B4C5 D6解析：设等比数列 an的公比为 q，由 9S3 S6知， q1，故 ，解得9 1 q31 q 1 q61 qq2，又 a1 ，所以 an a1qn1 .因为 T
16、n a1a2a3an，故当 Tn取最小值时，120 2n 120an1，且 an1 1，即Error!则 n5，故选 C.答案：C6若正项数列 an满足 a2 ， a6 ，且 (n2， nN *)，则12 132 an 1an anan 1log2a4_.解析：由 (n2， nN *)可得数列 an是等比数列，所以 a a2a6 ，又an 1an anan 1 24 164a40，则 a4 ，故 log2a4log 2 3.18 18答案：37已知在等比数列 an中， a5a116， a6 a107，则 的值是_a7a9解析：因为 an是等比数列，所以 a5a11 a6a106，又 a6 a1
17、07，解得Error!或Error! 设an的公比为 q，则 q46 或 ， q2 或 ，所以 或 .16 6 66 a7a9 1q2 66 6答案： 或66 68等比数列的首项是1，前 n 项和为 Sn，如果 ，则 S4的值是_S10S5 3132解析：由已知得 1 q5 ，故 q5 ，解得 q ， S4S10S5 1 q101 q5 3132 132 12 . 1 (1 116)1 12 58- 3 -答案：589(2015陕西一检)已知正整数数列 an是首项为 2 的等比数列，且 a2 a324.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.2n3an
18、解：(1)设正整数数列 an的公比为 q，则 2q2 q224， q3， an23 n1 .(2) bn ，2n3an 2n323n 1 n3n Tn ，13 232 333 n3n Tn .13 132 233 n 13n n3n 1由，得Tn .23 13 132 133 13n n3n 1 Tn .3213(1 13n)1 13 n3n 1 3n 1 2n 343n10已知等比数列 an的前 n 项和是 Sn， S18 S978.(1)求证： S3， S9， S6依次成等差数列；(2)a7与 a10的等差中项是否是数列 an中的项？如果是，是 an中的第几项？如果不是，请说明理由解：(1
19、)证明：设等比数列 an的公比为 q，若 q1，则S1818 a1， S99 a1， S18 S92178， q1. S18 (1 q18)， S9 (1 q9)， S18 S91 q9.a11 q a11 q1 q9 ，解得 q2 .78 13 S3 ， S6 ， S9 (1 q9) .a1 1 q31 q 32 a11 q a1 1 q61 q 34 a11 q a11 q 98 a11 q S9 S3 ， S6 S9 ，38 a11 q 38 a11 q S9 S3 S6 S9.- 4 - S3， S9， S6依次成等差数列(2)a7与 a10的等差中项等于 ，a7 a102 a1 2
20、2 2 32 a116设 a7与 a10的等差中项是数列 an中的第 n 项，则 a1(2 )n1 ，13 a116化简得(2) (2) 4 ，即 4，解得 n13.n 13 n 13 a7与 a10的等差中项是数列 an中的第 13 项B 组 高考题型专练1(2014高考大纲全国卷)等比数列 an中， a42， a55，则数列lg an的前 8 项和等于( )A6 B5C4 D3解析：lg a1lg a2lg a8lg( a1a2a8)lg( a4a5)4lg(25) 44，故选 C.答案：C2(2015高考全国卷)已知等比数列 an满足 a1 ， a3a54( a41)，则 a2( )14
21、A2 B1C. D.12 18解析：设等比数列 an的公比为 q， a1 ， a3a54( a41)，由题可知 q1，则14a1q2a1q44( a1q31)， q64 ， q616 q3640，116 (14q3 1)( q38) 20， q38， q2. a2 ，故选 C.12答案：C3(2015高考全国卷)在数列 an中， a12， an1 2 an， Sn为 an的前 n 项和，若Sn126，则 n_.解析：因为在数列 an中， a12， an1 2 an，所以数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，因为 Sn126，所以 126，解得 2n1 128，所以 n6.2 2n 1
22、1 2答案：64(2015高考湖北卷)设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q.已知 b1 a1， b22， q d， S10100.- 5 -(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn解：(1)由题意有Error!即Error!解得Error!或Error!故Error!或Error!(2)由 d1，知 an2 n1， bn2 n1 ，故 cn ，于是2n 12n 1Tn1 ，32 522 723 924 2n 12n 1Tn .12 12 322 523 724 925 2n 12n
23、可得Tn2 3 .12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n故 Tn6 .2n 32n 1- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第五章 第四节 数列求和课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1已知 Sn为数列 an的前 n 项和，且满足 a11， a23， an2 3 an，则 S2 014( )A23 1 0072 B23 1 007C. D.32 014 12 32 014 12解析：由 an2 3 an可得数列 an的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以 S2 014( a1 a3 a2 013)( a2 a4 a2 014) (2)1 31 00
24、71 3 3 1 31 0071 3(13 1 007)23 1 0072，故选择 A.答案：A2(2016长沙质检)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，当 n2 时，an2 Sn1 n，则 S2 015的值为( )A2 015 B2 013C1 008 D1 007解析：因为 an2 Sn1 n， n2，所以 an1 2 Sn n1， n1，两式相减得an1 an1， n2.又 a11，所以 S2 015 a1( a2 a3) ( a2 014 a2 015)1 008，故选择 C.答案：C3已知数列 an满足 a11， a22， an2 ansin 2 ，则该数列的前 18(1
25、 cos2n2) n2项的和为( )A2 101 B2 012C1 012 D1 067解析：当 n 为奇数时， an2 an1，即奇数项构成首项为 1、公差为 1 的等差数列；当n 为偶数时， an2 2 an，即偶数项构成首项为 2、公比为 2 的等比数列，所以该数列的前 18项和为 9 451 0221 067，故选择 D.982 2 1 291 2答案：D4(2016贵阳一模)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a44， S410，则数列的前 2 015 项和为 ( )1anan 1A. B.2 0142 015 2 0152 016- 2 -C. D.2 0162 015 2
26、 0172 016解析：设等差数列 an的公差为 d，则 a4 a13 d4， S44 a16 d10，联立解得a1 d1，所以 an a1( n1) d n， ，所以数列1anan 1 1n n 1 1n 1n 1的前 2 015 项和为 1 ，故选1anan 1 (1 12) (12 13) ( 12 015 12 016) 12 016 2 0152 016择 B.答案：B5已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn ， Sm (m， nN *且 m n)，则下列各值nm mn中可以为 Sn m的值的是( )A2 B3C4 D.92解析：由已知，设 Sn An2 Bn，则Erro
27、r!Error!两式相减得 B(m n)0，故 B0， A .Sm n A(m n)2 1mn m n 2mn m2 n2 2mnmn4，故只有 D 符合，故选 D.4mnmn答案：D6已知数列 an的通项公式为 anError!则其前 10 项和为_解析：依题意，注意到 a1 a3 a5 a7 a9 341， a2 a4 a6 a8 a101 28221 2285，因此题中的数列的前 10 项和等于 34185256.5 5 292答案：2567数列 an满足 a1 a2 an n2(nN *)，设 bn ， Tn是数列 bn的前 n 项1anan 1和，则 Tn_.解析：本题考查数列的前
28、n 项和与通项间的关系、裂项相消法依题意，当 n2 时，an n2( n1) 22 n1；又 a11 2211，因此 an2 n1，bn ，1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)因此 Tn12(1 13 13 15 12n 1 12n 1)- 3 - .12(1 12n 1) n2n 1答案：n2n 18在数列 an中， a11， an2 (1) nan1，记 Sn是数列 an的前 n 项和，则S60_.解析：依题意得，当 n 是奇数时， an2 an1，即数列 an中的奇数项依次形成首项为1、公差为 1 的等差数列， a1 a3 a5 a59301 1465；当 n 是偶数
29、时，30292an2 an1，即数列 an中的相邻的两个偶数项之和均等于1， a2 a4 a6 a8 a58 a60( a2 a4)( a6 a8)( a58 a60)15.因此，该数列的前 60 项和 S6046515480.答案：4809(2016南昌模拟)设数列 an的前 n 项和为 Sn,4Sn a 2 an3，且2na1， a2， a3， a4， a5成等比数列，当 n5 时， an0.(1)求证：当 n5 时， an成等差数列；(2)求 an的前 n 项和 Sn.解：(1)证明：由 4Sn a 2 an3,4 Sn1 a 2 an1 3，2n 2n 1得 4an1 a a 2 an
30、1 2 an，( an1 an)(an1 an2)0.2n 1 2n当 n5 时， an0，所以 an1 an2，所以当 n5 时， an成等差数列(2)由 4a1 a 2 a13，得 a13 或 a11，21又 a1， a2， a3， a4， a5成等比数列，所以 an1 an0( n5)， q1，而 a50，所以 a10，从而 a13，所以 anError!所以 SnError!10(2016石家庄一模)设数列 an的前 n 项和为Sn， a11， an1 S n1( nN *， 1)，且 a1,2a2， a33 为等差数列 bn的前三项(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)求数列
31、anbn的前 n 项和解：(1)法一： an1 S n1( nN *)， an S n1 1( n2)， an1 an a n，即 an1 ( 1) an(n2)， 10，又 a11， a2 S 11 1，- 4 -数列 an是以 1 为首项，公比为 1 的等比数列， a3( 1) 2，4( 1)1( 1) 23，整理得 22 10，解得 1， an2 n1 ， bn13( n1)3 n2.法二： a11， an1 S n1( nN *)， a2 S 11 1， a3 S 21 (1 1)1 22 1，4( 1)1 22 13，整理得 22 10，解得 1， an1 Sn1( nN *)， a
32、n Sn1 1( n2)， an1 an an(n2)，即 an1 2 an(n2)，又 a11， a22，数列 an是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列， an2 n1 ，bn13( n1)3 n2.(2)由(1)知， anbn(3 n2)2 n1 ，设 Tn为数列 anbn的前 n 项和， Tn1142 172 2(3 n2)2 n1 ，2 Tn12 142 272 3(3 n5)2 n1 (3 n2)2 n.得， Tn1132 132 232 n1 (3 n2)2 n13(3 n2)2 n，2 1 2n 11 2整理得： Tn(3 n5)2 n5.B 组 高考题型专练1(2015高考
33、天津卷)已知 an是各项均为正数的等比数列， bn是等差数列，且a1 b11， b2 b32 a3， a53 b27.(1)求 an和 bn的通项公式；(2)设 cn anbn， nN *，求数列 cn的前 n 项和解：(1)设数列 an的公比为 q，数列 bn的公差为 d，由题意知 q0.由已知，有Error!消去 d，整理得 q42 q280.又因为 q0，解得 q2，所以 d2.所以数列 an的通项公式为 an2 n1 ， nN *；数列 bn的通项公式为 bn2 n1， nN *.(2)由(1)有 cn(2 n1)2 n1 ，设 cn的前 n 项和为 Sn，则Sn12 032 152
34、2(2 n3)2 n2 (2 n1)2 n1 ，2Sn12 132 252 3(2 n3)2 n1 (2 n1)2 n，上述两式相减，得 Sn12 22 32 n(2 n1)2 n2 n1 3(2 n1)2n(2 n3)2 n3，- 5 -所以， Sn(2 n3)2 n3， nN *.2(2015高考全国卷) Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an0， a 2 an4 Sn3.2n(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 1解：(1)由 a 2 an4 Sn3，可知 a 2 an1 4 Sn1 3.2n 2n 1由可得 a a 2( an1 an)4
35、 an1 ，即2n 1 2n2(an1 an) a a ( an1 an)(an1 an)2n 1 2n由于 an0，可得 an1 an2.又 a 2 a14 a13，解得 a11(舍去)或 a13.21所以 an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2 n1.(2)由 an2 n1 可知bn 1anan 1 1 2n 1 2n 3 .12( 12n 1 12n 3)设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则Tn b1 b2 bn12(13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 3) .n3 2n 33(2014高考浙江卷)已知数列 an和 bn满足 a1a2a3an(
36、)bn(nN *)若 an为2等比数列，且 a12， b36 b2.(1)求 an与 bn；(2)设 cn (nN *)记数列 cn的前 n 项和为 Sn.1an 1bn求 Sn；求正整数 k，使得对任意 nN *，均有 Sk Sn.解：(1)由题意得 a1a2a3an( )bn， b3 b26，2知 a3( )b3 b28.2又由 a12，得公比 q2( q2 舍去)，所以数列 an的通项为 an2 n(nN *)所以 a1a2a3an2 ( )n(n1)n n 12 2故数列 bn的通项为 bn n(n1)( nN *)- 6 -(2)由(1)知 cn (nN *)，1an 1bn 12n
37、 (1n 1n 1)所以Sn 1 (nN *)12 122 12n (1 12 12 13 1n 1n 1) 12n (1 1n 1) 1n 1 12n因为 c10， c20， c30， c40；当 n5 时，cn ，1n n 1 n n 12n 1而 0，n n 12n n 1 n 22n 1 n 1 n 22n 1得 1，n n 12n 5 5 125所以，当 n5 时， cn0.综上，对任意 nN *恒有 S4 Sn，故 k4.- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第五章 第五节 数列的综合应用课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1(2015杭州二模)在正项等比
38、数列 an中，2 为 a4与 a14的等比中项，则 2a7 a112的最小值为( )A16 B8C6 D4解析：因为 an是正项等比数列，且 2 为 a4与 a14的等比中项，所以 a4a148 a7a11，2则 2a7 a112 a7 2 8，当且仅当 a72 时，等号成立，所以 2a7 a11的最小8a7 2a78a7值为 8，故选择 B.答案：B2(2016宝鸡质检)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为( )17A. B.53 103C. D.56 1
39、16解析：由 100 个面包分给 5 个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得 20 块面包，设较大的两份为 20 d,202 d，较小的两份为 20 d,202 d，由已知条件可得(2020 d202 d)20 d202 d，解得 d ，最小的一份为17 556202 d202 ，故选 A.556 53答案：A3(2016豫南十校联考)设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数，且对任意的x， yR，都有 f(x)f(y) f(x y)若 a1 ， an f(n)(nN *)，则数列 an的前 n 项和12Sn的取值范围是( )A. B.12， 2) 12， 2C. D.12， 1) 1
40、2， 1解析：在 f(x)f(y) f(x y)中令 x n， y1，得 f(n1) f(n)f(1)，又- 2 -a1 ， an f(n)(nN *)，则 an1 an，所以数列 an是首项和公比都是 的等比数列，其前12 12 12n 项和 Sn 1 ，故选择 C.12(1 12n)1 12 12n 12， 1)答案：C4已知在等差数列 an中， a10， d0，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn满足b1 a1， b4 a4，前 n 项和为 Tn，则( )A S4T4 B S41，数列 bn单调递增，又S4 T4 a2 a3( b2 b3) a1 a4 a1q a1(1 q) a4 (a
41、4 a1q)a4q (1 1q) q 1q (b4 b2)0，所以 S4T4.q 1q法二：不妨取 an7 n4，则等比数列 bn的公比 q 2，所以 S454， T43a4a145，显然 S4T4，选 A.b1 1 q41 q答案：A5正项等比数列 an满足： a3 a22 a1，若存在 am， an，使得aman16 a ， m， nN *，则 的最小值为( )211m 9nA2 B16C. D.114 32解析：设数列 an的公比为q， a3 a22 a1q2 q2 q2， an a12n1 ， aman16 a a 2m n2 16 a m n21 21 216， m， nN *，(
42、m， n)可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当 m2， n4 时， 取最小值 .1m 9n 114答案：C6(2016兰州双基)等差数列 an的公差为 2，若 a2， a4， a8成等比数列，则 an的前n 项和 Sn_.解析：由题意，得( a132) 2( a12)( a172)，解得 a12，所以 Sn2 n2 n2 n.n n 12- 3 -答案： n2 n7(2015高考湖南卷)设 Sn为等比数列 an的前 n 项和若 a11，且 3S1,2S2， S3成等差数列，则 an_.解析：由 3S1,2S2， S3成等差数列，得 4S23
43、S1 S3，即 3S23 S1 S3 S2，则 3a2 a3，得公比 q3，所以 an a1qn1 3 n1 .答案：3 n18从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精，然后填满水，再倒出 1 升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10%.解析：设倒 n 次后纯酒精与总溶液的体积比为 an，则 an n，由题意知 n0，把 M 中的元素从小到大依次排 2成一列，得到数列 an， nN *.(1)求数列 an的通项公式； (2)记 bn ，设数列 bn的前 n 项和为 Tn，求证： Tn0， an2 n1( nN *)(2) bn ，
44、22n 1 (2n 12n ) 2n 1 2 2n 2 2n 1 2 1 2n 2 2n 22n n 1n所以 Tn 2 .(12) 12 23 n 1n 14n综上可得对任意的 nN *，均有 Tn .14n3(2014高考新课标全国卷)已知数列 an满足 a11， an1 3 an1.(1)证明： 是等比数列，并求 an的通项公式；an12(2)证明： .1a1 1a2 1an32证明：(1)由 an1 3 an1 得 an1 3 .12 (an 12)又 a1 ，12 32- 6 -所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列an12 32所以 an ，12 3n2因此 an的通项公式为 an .3n 12(2)由(1)知 .1an 23n 1因为当 n1 时，3 n123 n1 ，所以 .13n 1 123n 1于是 1 1a1 1a2 1an 13 13n 1 .32(1 13n)32所以 .1a1 1a2 1an32
