1、具有最大满亏函数亏量的亚纯函数第 18 卷第 4 期2003 年 12 月大连水产学院 JOURNALOFDALIANFISHERIESUNIVERSITYV01.18N0.4Dec.2003文章编号:10009957(2003)04 030703具有最大满亏函数亏量的亚纯函数张丽梅,张立石(大连水产学院理学院,辽宁大连 116023)摘要:在亚纯函数值分布理论中,涉及一类增长较慢的函数 小函数“的亏量是影响函数性态的关键.作者对具有最大满亏函数亏量且满足 6(,=1 的亚纯函数的性质进行了研究,得出关于其特征函数的两个定理.关键词:亚纯函数;亏量;小函数中图分类号:0174 文献标识码:A1
2、 亏量与亏函数对任何亚纯函数)及 r0,定义1jm(r:Ilog1.厂(Fe)ldO,(1)/fm(r,)=log+(2)则 m(r.)反映了函数)在圆周 j=,-上的值与函数口()的平均接近程度 ,m(,-给出了 II=r 上)的绝对值最大的那些值的一种平均.记 n(ta3 表示)在 II上的极点个数,并记重数.记(,:fd+(0l0gr(3)表示)在 IIr 匕极点的平均次数 .相应的记):?110)l0gr(4)表示)在 IIr 上取值 a(z)的平均次数.T(r=m(r+N(r 为) 的特征函数,显然它是非负函数,但该函数在亚纯函数值分布理论中起着极为重要的作用.若记瓦(表示) 在 I
3、I上的极点个数 ,不记重数,则相应的有_(r,_fr文献1中给出如下亏函数亏量:(口(),=l 一(,-收稿日期:2003-0714基金项目:辽宁省高校科研项目资助(202130883)作者简介:张丽梅(1965 一),女,副教授.Email:,a(z).)一),.(5)308 大连水产学院第 18 卷H(.(:):l 一,(6)其中 n(:)为满足 (r,n(:)=o;71(r 的亚纯函数也称为小函数.关于满亏函数亏量和为2 这一事实见文献2/, 文献3,4 对涉及导数的特征函数性质给出了结沦,文献57对涉及亚纯函数的亏量进行了研究,文献8x,J 一类整函数的亏函数进行了 ,研究.本文中作者
4、对具有最大满亏函数亏量,且满足 6(/)=1 的巨纯函数的 I-质进行了研究,得到下面的结论.2 主要结论定理 1 设-厂()是满足 6( =1 的具有最大满亏量的亚纯函数,则有lim_(r,1/./)/(r/)=0,(7)lim7(r)/(r=1,(8)其中 E 为有限测度集.证明设aj(:)是包含-厂(:)的所有具有有限亏量值的小函数列.给定0, 选择 q充分大,使得a(a)1 一 .(9)由 Navanlinna 基本定理7(r)71(r/)+(r+s(r,(10)(r)一 (r,q1)n(r,l/厂)+s(r=T(r)一 N(r,1/厂)+s(r,f),(11)这里 s(r=o(T(r
5、)(r 一 00)除去一个有有限测度的例外集.则式(9)成为limup1,)由式(9),(11),有(r=(m(r,l/,)(r 一,r 隹 E),再由式(11),(12)有+耋而+菥刍“(r)(rl+O(1)(r 一,r 隹 E),(13)+6(n(:)/)1+.(1)(r+,r 隹 E),(14)一lim暑由式(9),(13)与(15)有lim暑表.结合式(12)-q(16), 式(8)得证.定理 2 若设-厂(:) 是满足 6(=1 的具有最大满亏量的亚纯函数,则(rd)(r,1/厂 )+(r+s(r.(17)证明)刷 ,), 为线性算子.由于 a(:)是小函数 ,有m(r,L(f)If
6、)=(r,(18)由=一?有第 4 期张丽梅,等:具有最大满亏函数亏量的亚纯函数 309/,a(z)/m(r)叫 r)+m(r,)g2(r) 一r)“r.又由 Navanlinna 第一基本定理得m(r,)(r) 一(r)r(r,L(f,)+(r.)一 tv()_(r,)(,(19)又注意到()一 a(z)的 m 阶零点必为 (z)一 a()的 m 一 1 阶零点,No(r)表示(/()一 a()的零占而非 f(z)一 afz)的零占.lI 右m(r,暑)(r+_(r.)+s(r 一0(r),m(r,) m(r,着)+m(r,) _(r+_(r.)+s(r,r(r (r,)(r(r,)+(r+
7、_ (r._)(r.(20)两边除以(r,并利用定理 1 的结论,有(r N(r,I/f)+_(r+s(r,证毕.推论设)是满足( =1 的具有最大满亏量的亚纯函数,则(0+H(1.证明由定义式(5),(6),对式 (17)两端除以(r,并取极限得圳一一lo证毕参考文献:1XIONGQinglai.AfundamentalinequalityinthetheoryofmetamorphicfunctionsanditsapplicationJ.ActaMathematicSinica,19588(3):430441.2SHANSM,SINGNSK.Onthederivativeofametam
8、orphicfunctionwithmaximumdefectJ.MathZeitschrBd,1956,6:171174.3黄珏,宋国栋 .亚纯函数及其各阶导数涉及重值时的值分布J.华东师范大学,1984,(3):15.4YANGLO.MeromorphicfunctionsandtheirderivativesJ.JLondonMathSoc,1982,25(2):288296.5TODA.OnamodifieddeficiencyofmetamorphicfunctionsJ.TohokuMathJ,1970,22:635658.6SARANGISM,PATILSJ.Onmodified
9、deficienciesofmeromorphicfunctionsJ.IndianJPureApplMath,1979,10(1):613.7李庆忠.关于亏函数的亏量和 F.Nevanlinna 猜想J. 数学进展,1985,14(2):168173.8李庆忠.一类整函数的亏函数J.纯粹数学与应用数学,1991,7(2):16 一 l9.OnthemeromorphicfunctionswithmaximumfunctiondefectsZHANGLi-mei,ZHANGLishi(SchoolofScience,DalianFisheriesUniv.,Dalian116023,China
10、)Abstract:Inthetheoryofmeromorphicfunctions,thedefectofsmallfuctionsforslowlyincreasingfunc-tionshaveanimportantinfluenceonthecharacteristicsofmeromorphicfunctions.Thestudyonthepropertiesofmeromorphicfunctionswithmaximumdefectattheconditionof(,/)=1resultsintwotheoremsoftheircharacteristicfunctions.Keywords:meromorphicfunction;defect;smallfunction
