1、关于一类多值映射变分不等式组2OO3 年 3 月第卷第 2 期四川师范大学(自然科学版)J0 咖 nalofSichumN 跚 lUniveity(NaturalScience)Mar.2003.26.No.2关于一类多值映射变分不等式组李克俊(成都师范高等专科学校数学系,四川彭州 611930)摘要:引入和研究了一类多值映射变分不等式组的求解问题 ,给出了求其逼近解的迭代算法并证明了由算法生成的迭代序列,的强收敛性.所得结果推广了 R.U.V,m-(Jc0 叩吐 MathAp-pI,2001,41(7):10251031.)的结果.关键词:多值映射变分不等式组;迭代算法;投影方法; 收敛准则
2、中圈分类号:0177.92 文献标识码:A 文章编号:1001.8395(2003)02-0148-040 引言近年来,不少人引入和研究了与各类实际问题相关的各种类型的变分不等式问题,使变分不等式理论与应用从各方面都得到了极大的发展与推广,但对变分不等式组的研究还不太多10.最近,R.U.v 锄【引入和研究了一类非线性单值映射变分不等式组,利用投影方法构造了求这类变分不等式组的逼近解的迭代算法,并证明了由算法生成的迭代序列强收敛于问题的解,从而解决了此类变分不等式组解的存在性.本文将 R.U.v 唧【I 研究的 SNVI 问题推广到一般含多值映射的变分不等式组,同样利用投影方法构造求此类不等式
3、组的逼近解的迭代算法,证明了由所构造的迭代序列强收敛于该变分不等式组的解,推广 R.U.ve 眦【的结果到更一般的含多值映射的变分不等式组.1 预备知识设日为实 I-Iilbert 空间,其内积和范数分别记为(?,?)和 ll?ll,2 表示日的一切非空子集族,衄(日)表示日的一切非空有界闭集族,为日的非空闭凸集,()表示 H 在上的投影 .设 F,G:cB(日)是二多值映射 ,考虑如下问题.问题 1.1 确定.,Y.K,.F(Y.),l,.G(.)使得(ID.+.一 Y.,一 .)0,VK,(1)(1l,.+Y.一.,一 Y.)0,VK,(2)收稿日期:20020325作者简介:李克俊(19
4、63-),男 ,讲师,四川师范大学进修学者这里 P,t 都为正常数 .称以上问题为多值映射变分不等式组问题(简称 SMVI 问题).SMVI 问题常见有以下一些特殊情况.问题 l-2F,G 之一为单值映射,比如 F:一日,此时 SMVI 问题变为:确定.,Y.K,口.G(.),使得pF(.)+. 一 Y.,一.0,VK,【(1l,.+Y.一.,一 Y.)0,V K.问题 l-3F,G 都为单值映射,此时 SMVI 问题变为单值映射问题:确定.,Y.K 使得pF(.)+. 一 Y.,一.)0,V K,LtG(x.)+Y.一.,一 Y.)0,VK.问题 1.4 如果 F=G,且均为单值映射:一日,
5、SMVI 问题变为单值映射问题:确定.,Y.使得f(.)+.一 Y.,一.)0,VK,【(I(.)+Y.一.,一 Y.0,VK.这一问题就是 R.u.Vl 既阻【研究过的问题.注 1.1R.U.Venm 研究过的问题,又有许多特殊情况(见文1),那里的特殊情况都可以看作SMVI 问题的特殊情况.总之,适当选择映射 F,G,就可以获得许多新的和已知的变分不等式组或变分不等式,所以 SMVI 问题是个具有一般性的问题.为了证明本文结果,需引入如下概念与引理.定义 1.1 多值算子 F:日一 2(i)称 F 为 r-强单调 ,如果存在常数 r0,使得(Iuz,IX2)rllI 一 2ll2,VH,F
6、(),i=1,2.第 2 期李克俊:关于一类多值映射变分不等式组 149易知如果,为 r 一强单调,则llulu2llrlll 一 2ll,V/,u F(xi),i=1,2;(ii)称,是.Lipsehi 连续的,如果存在常数0,使得(F(x1),F(x2)IIl 一 2ll,V 毛/,i=1,2,其中(?,?)表示 (日)上的 I-Iamdorff 度量.定义 1.2 单值算子,:日一日,(i)称,为 r 一强单调,如果存在常数 r0,使得(,(1)一 F(x2),l 一 2rlll 一 2ll,V/,=1,2.同样易知如果,为 r 一强单调,则IIF(x1)一 F(x2)llrlll 一
7、2ll,V/,i=1,2;(ii)称,是.乜连续的,如果存在常数0,使llF(x1)一 F(x2)lllll 一 2lI,V%/,i=1,2.引理 1.1 设单值映射,:日一日为 r 一强单调和-Lip6ehltz 连续,则 r.证明由定义 1.2,得rIIl 一 2llllF(x1) 一 F(x2)lllIl 一 2ll,V/,=1,2.即得引理 1.1 是成立的.引理 1.2【】设是 Hilbert 空间日的非空闭凸子集,对 z /,(一 z,一 0,K 当且仅当=(z).引理 1.3【3 投影算子(?):/ 一是非扩张算子,即II(z.)一(z:)llIIz.一 z2II,V/,=1,2
8、.引【理 1.4 嗽.,y.K,u.,(y.),.G(.),则(.,y.,u.,.)为 M 问题的解的充分必要条件是.=(y.一 IDl.),P0,【y.=(.一 ll,.),t0.证明直接从引理 1.2 可得出引理 1.4 成立.引理 1.5 设元素.,y.K,则(.,y.)为问题 1.3 的解的充分必要条件是.=y.一(y.),P0,【y.=.一 lG(.),t0.证明这也可直接从引理 1.4 中,G 为单值映射的情形得到.2 迭代算法和收敛性针对 Sbl3/I 问题,提出如下迭代算法.算法 2.1 设,G:CS(H),对给定的.,取G(o)ccs(H),令=(.一 ll7o).取 uo,
9、(,o)cC(日),并令 l=(1 一)o+P(yoIDo),01,因 G(1)cC(日),由文4知,存在 .G(.) 使得llt70 一.1l(1+1)(G(.),G(.).令 y.=(.一 ll,.),因,(y.)cC(日),由文4知,存在 u.,(y.), 使得llu.一 u.1l(1+1)(,(,b),(y.),再令 2=(1 一)l+(ylIDl1),01,又因 G(2)ccs(H),再由文4知,存在G(:),使得.II.一:ll(1+_)(G(.),G(:).令=(2 一),又,()ccs(H),再由文4知,存在 u:,(,2), 使得llu.一 u2ll(1+丁_T)(,(y.)
10、,(,2).继续此方法,可得序列,和,且满足 l,(),G() 及 V11,0,+l=(1 一 )+P(,一 ID),=(一 ll,),lll一+-ll(1+_i)(,(),(+-),l1 一+-ll(1+1(G(),G(+-),其中 01 和 ID0,t0 均为常数.针对问题 1.3,即,G 均为到日的单值映射时,提出如下算法.算法 2.2 任给定 oK,序列,(而0)由如下迭代方式确定+l=(1 一 b)+6It.一 pF(,),=PI一 tC,().150 四川师范大学(自然科学版)26 卷其中 0b1,b=.注 2.1 算法 2.1 中不能将换成算法 2.2 中的b,主要原因是本文讨论
11、的是多值映射的变分不等式组问题.定理 2.1 如果下述条件成立:(i)F:CB(日)是 r-强单调和 -B-Lipsehit,z连续的多值映射;(ii)G:一(日) 是 6-强单调和 e-B-I.,ipschit,z连续的多值:映射;(ili)0lD2r,0t2b,则由算法 2.1 得出的迭代序列,/,分别强收敛于 .,Y.,.,t,.,且 (.,Y.,.,t,.)为 SMvI 问题的解.证明由算法 2.1 和三角不等式以及弓 I 理 1.3 得II 茹+l 一茹 II=ll(1 一)+(y 一 D)一(1 一 iI)x.一 l+.;L(ll.I 一 1)ll(1 一)ll 一一.ll+ll(
12、y一D)一(y一 l 一一 1)ll(1 一)lI 一.ll+.;IIl(y一 y一.)一D( 一.)I1.由定理条件得ll(y一一.) 一 P(一一.)ll=lly一 y一 lII 一 2t(u 一 11,一 l,y一 y一 1)+DII11,一 11,一 lllIIy一 y一 lll 一 2prlly一lll+lD(1+)B(F(y),F(y一 1)lly一 y一 lII 一 2prlly一 y一 lll+ID(1+)IIy一 y一 lll12Pr+p2(1+)IfY 一 y一 lll.这样ll+l 一 ll(1 一)ll 一一 lll+12IDr+ID2(1+)专 lly一 y一.ll=
13、(1 一)II 一.一.lI+lly 一.一.ll,(3)其中 a=12IDr+p2(1+)2童.再由靴.1 和定理条件,得lly一 y一.ll=II(一 )一(一.一一 .)llll(一一 1)一 t(tt1)ll,而ll(一 1)一 t(一一 1)llll 一 lll 一 2t(v.一 t,l,一一 1)+tllt,一 t,一 lllll 一一 lII 一 2tbII 一一 lII+(1+)B(G(),G(+.)ll 一 lll 一 2tbll 一一 lll+tc(1+)ll 一 lll=12tb+ic(1+)II 一 lII,从而ll 一 Y 一.II ll 一一.I1.(4)这里=12
14、tb+t2c(1+)专.将(4) 式代入(3)式得.1l+l 一 lI(1 一+a)ll 一一 lll=ll 一一.ll,(5)这里=1 一+.由定理条件(iii)和引理 1.1 知口=12+D2童,=12tb+t2c 童(,l 一).且112pr+D=(1 一 Or)+D(一 r2)0,ll 一 2tb+tc 一(1 一 t6)+t2(c 一 b2)0,亦即 0口1,0 卢1,从而=1 一(1 一(,l 一),且 001.故当,l 充分大时,01,所以(5)式蕴含着 是中的lelay 列,故存在.使得在中强妃毁于 .由 (4)式及是中的 C.allehy 列,知 也为中的 caucllr 列
15、,故存在Y.K 懈y在 K 中强- 敛于 Y.由珐 2.1 和 F,G 分别为口 Up8cl 连续和屡 up8cl 连续以及,为 Cauchy 列,易知,皆为 Catchy 列,设它们分别强收敛于.,掣.下面证明.F(,.),t,.G(.)及(.,Y.,.,t,.)为 Sbl3/I 问题的解.事实上,由于第 2 期李克俊:关于一类多值映射变分不等式组 151d(,F(y)=il1flll一 110ll:110F(,)IIl一 lII+(1,F(,)lll一 lll+曰(F(),F(,)lll一 lll+ll 一 ,ll 一 0(11.一),所以 d(1,F(,)=0,从而 lF(,) 成立.同
16、理可证G().由算法 2.1 有+l=(1 一 )+P(一 D),=(一).令,得=P(,一 IDl.),=P.(一纫).由引理 1.4 知(,y,)是 SNVI 问题的解,从而定理 2.1 得证.定理 2.2 设日为实 Hilbert 空间,为日的非空闭凸子集,如果下述条件成立:(i)F:一日是 r-强单调和 s-Lipaehitz 连续的单值映射;(ii)G:一日是 6-强单调和 p-Lipaehitz 连续的单值映射;(iii)0lD2r,0t2b,则由算法 2.2 生成的迭代序列,(1/,0)在中分别强收敛于,且(,)为问题 1.3 的解.证明定理 2.2 的证明可仿照文1中的定理2.1 的证明方法进行证明.推论 2.1 设日为实 I-Iilbert 空间,K 为日的非空闭凸子集,如果下述条件成立:(i):一日是 r-强单调和争 Lilehitz 连续的单值映射;一-(ii)0fD,l,5则由具有 F=G=T 的算法 2.2 生成的迭代序列,(1/,0)在 K 中分别强收敛于, 且(,.)为问题 1.4 的解.证明直接由定理 2.2 可得推论 2.1 成立.注 2.2 算法 2.2 及定理 2.2 均为文5的特殊情况,推论 2.1 就是文1的定理 2.1.致谢衷心感谢丁协平的悉心指导.
