1、数字滤波系统的分析与设计 郑亦菲 同济大学 摘 要： 如今, 随着数字技术的进步与发展, 相关科研的成果给人们带来了很多好处, 数字滤波器作为数字技术的重要研究发明, 被大量使用在通信系统、图像处理系统等系统中。笔者将重点研究数字滤波系统的原理, 并对数字滤波系统结构进行设计。关键词： 数字信号; DSP; 数字滤波; 作者简介：郑亦菲 (1983-) , 女, 福建厦门人, 本科, 中级工程师。研究方向:软件工程。1 引言在科技高速发展的今天, 我们已经来到了数字化的时代, 这是因为传统的模拟信号和模拟技术存在着成本高、噪声多、处理速度低、体积过大等弊端。而数字信号处理系统可以用软件完成,
2、因此成本较低, 也可以用硬件平台实现, 因此处理速度快、可以降低延时, 也可以软硬件配合使用, 使得系统灵活性高、使用更加便捷1。与此同时, 数字滤波技术作为数字技术的主要构成内容, 出现在了很多的数字系统之中, 其主要用于提取有效数据、改变数据的特征等, 相关的应用极其广泛, 比如在音频处理系统中, 数字滤波技术能够削弱有效数据中的干扰等无效信号, 提高音频信号的有效性和传播速率。相比于模拟滤波器而言, 数字滤波器有很多好处:能够避免漂移现象、能够处理频率较低的数据、精度高、在良好设计下的频率响应曲线可以做到极其接近于理想滤波器的指标。本文将对数字滤波系统的算法进行分析、对实现结构进行设计。
3、2 数字滤波器的算法分析数字滤波最早于 20 世纪 50 年代被提出, 但是最初大多是基于模拟滤波器的方式进行的, 相关研究人员主要是用数字的方式去实现模拟滤波器, 从而对数字化的信号进行处理。但是随着相关硬件技术的发展和数字技术理论的完善, 数字滤波系统的设计已脱离了模拟滤波器的影响, 成为了独立发展的一门学科, 而且具备了许多模拟滤波器没有办法达成的一些优势。总结来看, 目前的数字滤波器的主流算法主要有两种, 一种是有限脉冲响应数字滤波器, 即 FIR (Finite Impulse Response Digital Filter) 数字滤波器, 该类型滤波器的单位冲激响应是有限长的, 系
4、统函数仅在平面的有限点处不为零, 全部的极点都在零点处, 其系统函数和输入输出的关系式分别如式 (1) 、式 (2) 所示。另一种实现算法是无限脉冲响应数字滤波器, 也就是 IIR (Infinite Impulse Response Digital Filter) 数字滤波器2。其单位冲激响应为无限长的, 系统函数在平面内存在极点, 相应的系统函数和输入输出关系式如下所示。由系统函数可知, 无限脉冲响应数字滤波器是存在反馈回路的, 输出的数据能够通过反馈影响输入数据, 因此在同样的技术指标条件下, 该类型滤波器设计时的阶数较低, 则整体的计算复杂度低, 在实现过程中所需的存储资源和运算资源也
5、就相应的较少。同时, 无限脉冲响应数字滤波器在设计的过程中, 能够借助模拟滤波器的一些成型的公式和数据, 设计过程是属于规格化的, 可以减轻设计工作量, 并且设计中也不需要太过复杂高端的计算工具。由于无限脉冲响应数字滤波器的这些优越性, 在各领域都较常被使用, 本文设计的滤波器也选择该种系统函数算法进行实现。3 数字滤波器的结构设计与优化无限脉冲响应数字滤波器的实现结构包括直接实现结构、级联实现结构、并联实现结构以及格形、格梯形和脉动等各类形式与方案, 不同结构的滤波器对整个系统的计算精度、计算速率、计算误差、计算量等性能会有所影响, 也就是说, 在设计数字滤波系统过程中, 虽然整个系统的传递
6、函数是相同的, 但是不同的实现架构仍然会使得滤波系统的计算难度、稳定程度和实现成本有所差异。在多数方案中, 为了实现便捷, 都要在设计时尽量保证乘法器与延时器的数量较少3。无限脉冲响应数字滤波系统的系统函数可以被转换成多个二阶子式相乘的形式, 此时的数字滤波系统就能够变化为多个二阶子模块相级联的结构。首先把系统传递函数由零点与极点进行因式分解, 继而变形成多个子式相乘的形式, 具体推导过程如下所示, 其中 ak和 bk分别表示系统的零点和极点。因为 pk和 qk都是实数, 所以 ak和 bk应是共轭出现的, 把所有共轭成对的零点与极点合并, 能够得到相应的实数域上的二阶子模块, 则可以继续对公
7、式进行变形, 得到下式。由式 (6) 可以得到如图 1 所示的数字滤波系统的级联架构。图 1 级联型数字滤波系统的框架示意图 下载原图图 1 中, 每个对应的支路的输入是相同的, 因此可以进行合并, 得到如图 2 所示的优化后的结构, 优化的结构可以减少延迟器的个数。图 2 优化后的级联型数字滤波系统的框架示意图 下载原图该设计下的级联结构有如下好处:全部二阶的子单元能够根据系统要求交换位置, 因此系统较为灵活;实现时可以调整子单元的位置, 从而使得系统达到最优的状态, 便于降低系统误差;在硬件实现时能够借助流水线操作的方式实现时分复用, 有助于提升系统速率;仅需少量的存储器;各个二阶的子单元
8、有且仅有一对零点或极点, 所以当相关系数有所变化时, 仅仅会影响相关的零点或极点, 其他单元不会收到影响, 因此该设计容易控制系统的零点和极点分布, 易于改变滤波系统的频响属性, 且更加精确。4 结语数字滤波器在现代信号处理领域是非常重要的组成成分之一, 本文重点研究了数字滤波系统的相关实现原理, 对算法进行了分析, 对系统结构进行了设计。参考文献1胡广书.数字信号处理:理论、算法与实现M.北京:清华大学出版社, 2012. 2陈真, 王钊.IIR 数字滤波器的仿真设计与分析J.实验技术与管理, 2016, 33 (7) :122-125. 3高菱, 陈立家, 刘名果, 等.改进的结构进化无限冲激响应数字滤波器设计方法J.计算机应用, 2016, 36 (11) :3234-3238.
