1、相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛举例说明如下1、测量底部不能到达的建筑物的高例 1 如图，花丛中有一路灯杆 AB在灯光下，小明在 D 点处的影长 DE=3 米，沿 BD方向行走到达 G 点，DG=5 米，这时小明的影长 GH5 米如果小明的身高为 17 米，求路灯杆 AB 的高度(精确到 01 米)2、测量池塘宽例 2 如图，有一池塘要测量两端 AB 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和B 的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 AC 并延长至 D，使 15CA，连接 BC 并延长至 E，使 15E，连接 ED，如果量出 25mE，那池塘宽多
2、少？ A B C E D 3、利用影长测量建筑物的高度例 3 高 4m 的旗杆在水平地面上的影子长 6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度4、测量电线杆的高例 4 如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约 30m 的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约 60cm，求电线杆的高5、测量台阶例 5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角 F 碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG 为 1. 75m他量得客厅高 AB= 2. 8 m，楼梯洞口宽 AF=2
3、m阁楼阳台宽 EF = 3m请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG 为 1.75m，楼梯底端 C 到墙角 D 的距离 CD 是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于 20cm， 问汪老师应该将楼梯建儿个台阶？为什么？参考答案例 1：【分析】 根据题意得：ABBH，CDBH，FGBH，在 RtABE 和 RtCDE 中，ABBH，CDBH，CD/AB，可证得：ABECDE， BDEAC 同理： GHF 又 CDFG17m，由、可得： BDGHBDE即 BD053，解之得：BD75m，将 BD75 代入
4、得：AB=595m6m答：路灯杆 AB 的高度约为 6m【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用例 2：【分析】这个问题的实质是ECDBCA，利用两个三角形相似求池塘宽DEABCDE15， .解：ACB15，C又ECDBCAECDBCADEAB15m2()【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识例 3：【分析】 画出上述示意图，即可发现： ABC A B C 所以 BA/ C/，于是得， BC= /B/C/=16（m）即该建筑物的高度是 16m例 4：【分
5、析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=0.6m，GF=12cm=0.12m，CE=30m，求 BC由于ADFAEC， ACFED，又AGFABC， BCGFA， ED，从而可以求出 BC 的长解： AEEC，DFEC，ADF=AEC，DAF=EAC，ADFAEC ACFED又 GFEC，BCEC，GFBC，AFG=ACB，AGF=ABC，AGFABC， BCGFA， ED又 DF=60cm=0.6m，GF=12cm=0.12cm，EC=30m， BC=6m即电线杆的高为 6m【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段” 在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨例 5：【分析】 （1）根据题意有 AFBC，ACB=GAF，又ABC=AFG=90，ABCGFA FGABC得 BC=3.2(m)，CD=2+3-3.2=1.8(m)(2)设楼梯应建 n 个台阶，则 0.2n2.8，0.2n3.2，解得 14n16，楼梯应建 15 个台阶
