1、13.4.2 函数 yAsin( x )的图象与性质(一)学习目标 1.理解 y Asin(x )中 、 、 A对图象的影响.2.掌握 ysin x与y Asin(x )图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.知识链接1.“五点法”作图画正弦函数 ysin x， x0,2的图象，五个关键点是(0,0)， ，(，0)，(2， 1)，(2，0).(32 ， 1)2.交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？答 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数 ysin x就是函数 y Asin(x )在 A1， 1， 0 时的情况.预习导引用“图象变换法”作 y Asin(x
2、 ) (A0， 0)的图象1. 对 ysin( x )， xR 的图象的影响ysin( x ) ( 0)的图象可以看作是把正弦曲线 ysin x上所有的点向左(当 0时)或向右(当 0)对 ysin( x )的图象的影响函数 ysin( x )的图象，可以看作是把 ysin( x )的图象上所有点的横坐标缩短(当 1时)或伸长(当 00)对 y Asin(x )的图象的影响函数 y Asin(x )的图象，可以看作是把 ysin( x )图象上所有点的纵坐标伸长(当 A1时)或缩短(当 00， 0)的图象也可由 ycos x的图象变换得到.一、基础达标1.函数 y2sin 在一个周期内的三个“
3、零点”的横坐标可能是( )(12x 3)A. ， ， B. ， ，353 113 23 43 103C. ， ， D. ， ，6116 236 323 53答案 B2.为了得到函数 ysin 的图象，可以将函数 ycos 2 x的图象( )(2x6)6A.向右平移 个单位长度6B.向右平移 个单位长度3C.向左平移 个单位长度6D.向左平移 个单位长度3答案 B解析 ysin cos(2x6) 2 (2x 6)cos cos cos 2 .(23 2x) (2x 23) (x 3)3.为得到函数 ycos( x )的图象，只需将函数 ysin x的图象( )3A.向左平移 个单位长度6B.向右
4、平移 个单位长度6C.向左平移 个单位长度56D.向右平移 个单位长度56答案 C4.将函数 y3sin(2 x )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数( )3 2A.在区间 ， 上单调递减12 712B.在区间 ， 上单调递增12 712C.在区间 ， 上单调递减6 3D.在区间 ， 上单调递增6 3答案 B解析 y3sin(2 x )的图象向右平移 个单位长度得到 y3sin2( x ) 3 2 2 33sin(2 x ).237令 2k 2 x 2 k 得 k x k ， kZ，则 y3sin(2 x )的2 23 2 12 712 23增区间为k ， k ， kZ.12 71
5、2令 k0 得其中一个增区间为 ， ，故 B正确.12 712画出 y3sin(2 x )在 ， 上的简图，如图，可知 y3sin(2 x )在 ，23 6 3 23 6上不具有单调性，故 C，D 错误.35.将函数 ysin x的图象向左平移 个单位，得到函数 y f(x)的图象，则下列说法正确2的是( )A.y f(x)是奇函数B.y f(x)的周期为 C.y f(x)的图象关于直线 x 对称2D.y f(x)的图象关于点( ，0)对称2答案 D解析 由题意知， f(x)cos x，所以它是偶函数，A 错；它的周期为 2，B 错；它的对称轴是直线 x k， kZ，C 错；它的对称中心是点
6、， kZ，D 对.(k 2， 0)6.下列表示函数 ysin 在区间 上的简图正确的是( )(2x3) 2， 8答案 A解析 将 ysin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，再将所有点向右平移 个12 6单位长度即得 ysin 的图象，依据此变换过程可得到 A中图象是正确的.也可以(2x3)分别令 2x 0， ， ，2 得到五个关键点，描点连线即得函数 ysin3 2 32的图象.(2x3)7.怎样由函数 ysin x的图象变换得到 ysin 的图象，试叙述这一过程.(2x3)解 由 ysin x的图象通过变换得到函数 ysin 的图象有两种变化途径：(2x3) ysin x ysin
7、 向 右 平 移 3个 单 位 (x 3) 纵 坐 标 不 变 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12ysin (2x3) ysin x ysin 2 x 纵 坐 标 不 变 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 向 右 平 移 6个 单 位ysin .(2x3)二、能力提升8.将函数 ysin(2 x )的图象沿 x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则8 的一个可能取值为( )A. B.34 4C.0 D.4答案 B解析 将函数 ysin(2 x )的图象沿 x轴向左平移 个单位，得到函数 ysin8sin ，因为此时函数为偶函数，所以2(x8) (2x 4 )9 k， kZ
8、，即 k， kZ，所以选 B.4 2 49.要得到函数 y cos x的图象，只需将函数 y sin 图象上的所有点的( )2 2 (2x4)A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度12 8B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度12 4C.横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度4D.横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度8答案 C解析 y cos x sin ，2 2 (x2) y sin2 (2x4) 纵 坐 标 不 变 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍y sin2 (x4)
9、 向 左 平 移 4个 单 位 长 度 y sin .2 (x2)10.某同学给出了以下论断：将 ycos x的图象向右平移 个单位，得到 ysin x的图象；2将 ysin x的图象向右平移 2个单位，可得到 ysin( x2)的图象；将 ysin( x)的图象向左平移 2个单位，得到 ysin( x2)的图象；函数 ysin 的图象是由 ysin 2 x的图象向左平移 个单位而得到的.(2x3) 3其中正确的结论是_(将所有正确结论的序号都填上).答案 11.将函数 f(x)sin( x )( 0， )图象上每一点的横坐标缩短为原来的2 2一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 ys
10、in x的图象，则 f( )_.6 6答案 22解析 将 ysin x的图象向左平移 个单位长度可得 ysin( x )的图象，保持纵坐标6 610不变，横坐标变为原来的 2倍可得 ysin( x )的图象，故 f(x)sin( x ).所以12 6 12 6f( )sin( )sin .6 12 6 6 4 2212.使函数 y f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的 倍，然后再将12其图象沿 x轴向左平移 个单位得到的曲线与 ysin 2 x的图象相同，求 f(x)的表达式.6解 方法一 正向变换y f(x) y f(2x) 横 坐 标 缩 小 到 原 来 的 12 沿
11、x轴 向 左 平 移 6个 单 位y f ，即 y f ，2(x6) (2x 3) f sin 2 x.令 2x t，则 2x t ，(2x3) 3 3 f(t)sin ，即 f(x)sin .(t3) (x 3)方法二 逆向变换据题意， ysin 2 x 沿 x轴 向 右 平 移 6个 单 位ysin (2x3) 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍 纵 坐 标 不 变ysin .(x3)三、探究与创新13.已知函数 f(x)2sin x ，其中常数 0；(1)若 y f(x)在 上单调递增，求 的取值范围；4， 23(2)令 2，将函数 y f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位，得到函数6y g(x)的图象，区间 a， b(a， bR 且 a b)满足： y g(x)在 a， b上至少含有 30个零点，在所有满足上述条件的 a， b中，求 b a的最小值.解 (1)因为 0，根据题意有Error!0 34(2)f(x)2sin 2 x， g(x)2sin 2 1(x6)112sin 1(2x3)g(x)0sin (2x3) 12x k 或 x k ， kZ，4 712即 g(x)的零点相离间隔依次为 和 ，3 23故若 y g(x)在 a， b上至少含有 30个零点，则 b a的最小值为 14 15 .23 3 433
