1、平行公设平行公设，也称为欧几里得第五公设，因是几何原本五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说： 如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。 假设所有欧几里得公设成立的几何，是欧几里得几何，当中包括平行公设。平行公设不成立的称为非欧几里得几何。不依赖于平行公设的几何，也就是只假设前四条公设的，称为仿射几何。 有些欧几里得几何的性质与平行公设等价，也就是假设平行公设成立，可推导出这些性质，反之假设这些性质的一项为公理，也可以推导出平行公设。其中最重要的一项，也是最常作为公理代替平行
2、公设的，要算是苏格兰数学家 John Playfair 提出的 Playfair 公理： 给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。 有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠平行公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，平行公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明平行公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。最后由意大利数学家贝尔特拉米(Eugenio Beltrami)证明了平行公设独立于前四条公设。 到了十九世纪二十年代
3、，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明平行公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用它来代替平行公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了平行公设。这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，平行公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称“罗氏几何”。这是第一个被提出的非欧几何学。前四公设：公设一：任两点必可用直线连接公设二：直线可以任意延长公设三：可以任一点为圆心，任意长为半径画圆公设四：所有的直角皆相同很多与平行公设等价的命题，似乎与平行线无关。有些性质更看似很明显，因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题： 三角形内角和为两直角。 所有三角形的内角和都相等。 存在一对相似但不全等的三角形。 所有三角形都有外接圆。若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。 存在一对等距的直线。 若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。
