1、11.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点)知识点 1 弧度制1度量角的两种制度定义 用度作为单位来度量角的单位制角度制 1 度的角 周角的 为 1 度的角，记作 11360定义 以弧度为单位来度量角的单位制弧度制1 弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.1 弧度记作 1 rad2弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数(2)负角：负角的弧度数是一个负数(3)零角：零角的弧度数是 0(4)如果
2、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| | lr3角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度3602_rad 2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1801 rad( )57.30180度数 弧度数180弧度数( )度数180【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)1 弧度就是 1的圆心角所对的弧( )(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关( )(3)160化为弧度制是 rad.( )892提示 (1)，1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角(2)， “1 弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的
3、圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关(3)，160160 rad rad180 89知识点 2 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 R，弧长为 l， (00， l a2 r0，02 rad，舍去；当 r4 时， l2 cm，此时， rad24 12(2)由 l2 r10 得 l102 r，S lr (102 r)r5 r r212 12( r )2 (0 ，则Error!解得8 ， 12 360 12 360答案 ， 12 360 12 3606如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合解 (1)将阴影部分看成是由 OA 逆时针旋转到 OB
4、 所形成故满足条件的角的集合为Error!(2)若将终边为 OA 的一个角改写为 ，此时阴影部分可以看成是 OA 逆时针旋转到 6OB 所形成，故满足条件的角的集合为Error!(3)将题干图中 x 轴下方的阴影部分看成是由 x 轴上方的阴影部分旋转 rad 而得到，所以满足条件的角的集合为Error!(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转 rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为Error!7把下列角化为 2k (0 2， kZ)的形式：(1) ；(2)315163解 (1)0 2， 4 43 163 43(2)315315 2 ，180 74 40 2，
5、3152 4 4能力提升8把 表示成 2 k( kZ)的形式，使| |最小的 值是( )114A B2 349C D解析 2114 ( 34 )2(1) ，或 4 ，且| | |， (34 ) 114 54 34 54 34答案 A9如图是一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A (2sin 1 cos 1) R2 B R2sin 1cos 112 12C R2 D(1sin 1cos 1) R212解析 l4 R2 R2 R， 2lR S 弓形 S 扇形 S R2 (2Rsin )(Rcos )12 12 2 2 2R2 R2sin 1cos
6、1 R2(1sin 1cos 1)12答案 D10已知集合 A x|2k x2 k， kZ，集合 B x|4 x4，则A B_解析 如图所示， A B4，0，答案 4，0，11已知 是第二象限角，且| 2|4，则 的集合是_ 解析 是第二象限角， 2 k 2 k， kZ， 2| 2|4，6 2，当 k1 时， ，3210当 k0 时， 2， 2当 k 为其他整数时，满足条件的角 不存在答案 ( ，)( ，232 212已知一扇形的圆心角是 ，所在圆的半径是 R(1)若 60， R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是 30 cm，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？
7、解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 ， 60 ， R10(cm)， 3 l R (cm)103S 弓 S 扇 S 102 10sin 10cos 50 (cm2)12 103 12 6 6 ( 3 32)(2)由 l2 R30， l302 R，从而 S lR (302 R)R12 12 R215 R 2 (R152) 2254当半径 R cm 时， l302 15 cm，152 152扇形面积的最大值是 cm2，这时 2 rad2254 lR当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 cm 时，面积最大，为 cm2152 225413(选做题)如图，已知一长为 dm，宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的3翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成 30的角求点 A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积解 AA1所在圆弧的半径是 2 dm，圆心角为 ； A1A2所在圆弧的半径是 1 dm，圆心角 2为 ； A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为 ，所以走过的路程是 3 段圆弧之和，即 2 3 32 1 (dm)；3 段圆弧所对的扇形的总面积是 2 2 3 3 9 236112 (dm2)12 12 2 12 3 33 74
