1、线性变换标准形（思考题）1下列结论是否正确1）若 n 阶矩阵 A 的特征多项式有重根，则 A 不能与对角矩阵相似。 2）若两个同级矩阵 A、 B 的特征值都相同，并且 A 与对角阵 D 相似，则 B 也必与 D 相似。3）一个 级 -矩阵 是可逆矩阵的充要条件是行列式)( .0|)(|4）设 ，则 A 的初等因子是01.125）设 2 阶方阵 A 的特征多项式为 则 A 的最小多项式是,)(E.)1(26）设 A 是 复矩阵， 为 A 的最后一个不变因子， 与n(|)ndf f具)(nd有相同的根集（即仅重数不同） 。2求 的最小多项式，并说明 A 是否相似于对角阵？023设 ， ，则 A 相
2、似于主对角线上元素为 3 或-1 的对角矩阵。nPAE34证明：任一个复方阵 A 均可分解为：A=B+C，其中 C 为幂零阵，B 相似于对角阵，并且 BC=CB.5设 ，A 的秩为 2，A 有一个非零的特征值，A 的特征值之和为 0，则 A 相似于3对角阵。6设 ，0211）求 A 的特征值和特征向量；2）判定 A 能否相似于对角矩阵，并阐述理由。7 设 ，A 的 -1 阶行列式因子是 -1 次多项式，则 A 是一个数量矩阵。nPn8证明 n 阶方阵 A 相似于对角阵 对应的线性变换 A 关于所有不同特征值的特征子A空间的维数之和为 .9设 A 为 n 阶方阵，证明 A 的特征根全是零的充分必要条件是存在自然数 m，使 .0A10设 ， 是 A 的特征值， ，则 是 的特征值。0)(xPf)(ff11已知三级矩阵 A 的特征值是 1，-1，2，设矩阵 ，235B1）求 B 的所有特征值； 2）B 是否与对角阵相似，为什么？ 3）求 及|.|5E12已知 级方阵 A 满足 试问 A 能否对角化？为什么？n,023EA13设 ，且存在正整数 使 证明：A 与对角矩阵相似，且对角线上的P,m元素全为 次单位根。m14设 A 是 3 级实对称矩阵，A 的特征值是 1,2,3, 对应于 1,2 的特征向量分别是 .12,31) 求对应于特征值 3 的特征向量； 2) 求矩阵 A.
