1、二层线性规划问题的全局收敛算法第 39 卷第 6 期2006 年 12 月武汉大学(工学版)EngineeringJournalofWuhanUniversityVoI_39No.6Dec.2006文章编号:16718844(2006)06 10503二层线性规划问题的全局收敛算法董银红,王广民,刘洪海.(1.武汉大学数学与统计学院,湖北武汉 430072;2.武汉大学系统工程研究所 ,湖北武汉 430072;3.武汉市黄陂区第一高级中学,湖北武汉 430300)摘要:基于单纯形法提出了一种具有全局收敛性质的算法来求解该问题 .在该方法中,用下层的 Kuhn-Tucker条件代替下层问题,将原
2、二层线性规划转化为传统的单层规划问题.之后利用下层规划对偶问题可行域的顶点将该单层规划转化为一系列线性规划问题,从而用单纯形法来求解这些线性规划来得到原二层线性规划问题的解.最后,用实例验证了该方法的可行性.关键词:二层线性规划;Kuhn-Tucker 条件;全局收敛中图分类号:O221 文献标志码:AAgloballyconvergentalgorithmforsolvingbilevellinearprogrammingDONGYinhong,WANGGuangmin.LIUHonghai(1.SchoolofMathematicsandStatistics,WuhanUniversity
3、,Wuhan430072,China;2.InstituteofSystemsEngineering,Wuhanuniversity,Wuhan430072,China;3.TheFirstMiddleSchoolinHuangpiDistrict,Wuhan430300,China)Abstract:Bilevellinearprogrammingisaclassofoptimizationwithhierarchicalstructure.Weproposeagloballyconvergentalgorithmtosolvingthisbilevelproblem.Inouralgori
4、thm,replacingthelowerlevelproblembyitsKuhnTuckercondition,thebilevellinearprogrammingistransformedintoatraditionalsingle-levelprogrammingproblem.whichcanbetransformedintoaseriesoflinearprogrammingproblem.SowecanusesimplexmethodtosolvetheselinearprogrammingstOobtainthegloballyconvergentsolutionoftheo
5、riginalbilevellinearprogramming.Finally,anexampleisgiventoillustratethefeasibilityoftheproposedalgorithm.Keywords:bilevellinearprogramming;KuhnTuckercondition;globalconvergence引言本文考虑如下形式的二层线性规划模型(BLP):maxF(,)=+by其中 Y 是下面问题的解:fmaxf(z,)一 CX+dyls.t.Ax+By r(1)lz,Y0上述各式中:F(x,Y),f(x,)分别是 BLP 的上层和下层目标函数,a,
6、cR1,b,dR,AR“,BR,rER.zR,yR“z 分别是 BLP 的上层和下层决策变量.首先给出二层线性规划问题的一些基本定义:(1)BLP 的约束域:n=(z,)lAx+Byr,z 0,Y 0(2)对于任意给定的 z0,BLP 的下层规划问收稿日期:20060705作者简介:董银红(1982 一),男,湖北黄冈人,硕士研究生,研究方向为最优化理论与应用基金项目:国家自然科学基金资助项目(70371032).1O6 武汉大学(工学版)2006题的约束域:n(z)一YlBy,.,y0(3)对于任意给定的 z0,BLP 的下层规划问题的合理反应集:M(z)=YlYargmaxf(x,),YQ
7、(z)(4)BLP 的诱导域:/R 一 (z,)l(z,)Q,yM(z)为了保证 BLP 有解,假定 Q 和豫是非空有界的.从二层线性规划的模型可以看出,它是一种具有递阶结构的嵌套优化问题.其中上层决策者独立地优化其目标函数,同时也受下层规划问题反应的影响;下层决策者在上层之后进行决策,虽然下层的决策者不能控制上层的决策,但是下层的最终决策却影响上层和全局的结果.因此该问题是非凸的并且非处处可微,这就给它的数值求解带来了极大困难.Bard 证明了二层线性规划是 NPHard问题,甚至寻找二层线性规划的局部最优解也是一个 NP-Hard 问题 l_3.然而,像工程设计,管理,经济政策以及交通等许
8、多实际问题中的决策都可以归结为二层规划的模型.因此它的广泛应用吸引众多学者对它进行深入的研究,并且提出了许多算法,大致可以归纳为下面几类:极点搜索算法,分枝定界算法咖,下降算法,罚函数法以及遗传算法.等.2 算法设计对于给定的上层决策变量0,Y 是下层规划的解的充分必要条件是满足:By,. 一Y0aBd0(XBd)y=0(,.一 AxBy)一 0用下层规划的 Kuhn-Tucker 条件来代替下层规划问题,这样就把 BLP 转化为如下等价形式的单层规划:ma,xa+ls.t.+,.1z,Y0d(2)I0I(aBd)y=0l(,.一 AxBy)一 0在该问题中,除了互补松弛条件是非线性约束之外都
9、是线性约束,因此可以考虑寻找一种方法来松弛该约束,从而求解一系列线性规划问题来代替求解问题(2).注意到 V=lBd,O为下层规划问题的对偶的可行解集.根据线性规划的理论可知 V至多有有限个顶点.所以可以利用线性规划的方法来得到 V 的所有顶点 u,记为 V 一,z,.这样就可以把问题(2) 转化为一系列如下形式的线性规划问题:(LP()fmax+ls.t.+B,.z,Y0(3)I(B d)一 0Il(,.一一By)一 0这个问题的求解相对于问题(2)就简单了许多.因为 Q 是非空紧集,因此对于 i1,2,t,问题 LP(R)有最优解或者没有可行解.令1,2,t,当 i时,问题 LP()有最优
10、解.如果原问题(1)有最优解 ,那么肯定存在 i 使得问题LP()有最优解.因此 I.对于I,令(xj,)是问题 LP()的最优解,F(,Y)一 maxF(一,J,)lJ. 因此可以得到下面的结论:定理(,y)是二层线性规划问题(1) 的最优解.综上所述,首先利用线性规划的方法来得到 V的所有顶点,将问题(2)转化为求解一系列问题(3),因此可以并行地用单纯形法求解问题(3) 来得到问题(1)的解 .下面给出求解问题(1) 的算法步骤;步骤 1:用线性规划方法来获得 V 的所有顶点V 一, ,.步骤 2:分别用单纯形法求解问题 LP(A)(屉=1,2,).如果没有可行解,记最优解为(o,O),
11、最优值 F 一一.;否则记最优解为(,Y),最优值为 F 一 F(x,Y).步骤 3:比较 F(=1,2,),令 FmaxF,七一 1,2,t,并且相应的(,Y)为最优解(z,).步骤 4:如果 F=一 o.,那么问题(1)没有可行解;否则(,Y) 是问题(1) 的最优解 ,F 是BLP 上层规划的最优值 .第 6 期董银红等:二层线性规划问题的全局收敛算法 1O73 数值试验为了检验本文算法的可行性与有效性,我们用本文提出的方法来求解下面的例子:maxfl(,)=一S.t.0Y:maxfz(,)一一 YS.t.+Y2zY0Y0将下层问题用其 KuhnTucker 条件代替就可以把该二层线性规
12、划转化为如下形式的等价单层规划问题:maxfl(,)=一S.t.z+Y2Y0,Y0一l2一 1l,20(一 1 一 2+1)=0l(一 2+j,)+2(j,一)=0很显然 V=IB,O的顶点为:=(O,o),对偶问题可行域的顶点将其转化为一系列线性规划问题,这样就可以用单纯形法来求解一系列线性规划来得到原二层线性规划问题的解.参考文献:E1王先甲,冯尚友 .二层系统最优化理论 M.北京:科学出版社,1995.234567.=(1,0),.一(0,1).用单纯形法分别求解LPO.),得到的结果如表 1 所示.裹 1-t-m$8从表 1 不难看出,线性二层规划的最优解为(,Y)一(O,2).二层规
13、划上层问题的最优值为F-0,与文献中的结果相符.由此可见,本文的算法是可行的.4 结语本文基于单纯形法提出了一种全局收敛的二层线性规划问题算法.在该方法中,首先用下层规划的 KuhnTucker 条件来代替下层问题从而将原二层线性规划转化为单层规划.然后利用下层规划BardJF.SomepropertiesofthebilevellinearprogrammingJ.JournalofOptimizationTheoryandApplications,1991(32):146164.VicenteL,SavardG,JudiceJ.Decentapproachesforquadraticbil
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