1、论文题目：五轴联动数控加工复杂型面工件插补方法的研究作 者 专 业 学 号 指 导 教 师 年 月 日1摘 要五轴联动数控机床广泛用来加工复杂型面工件，本文对复杂曲面插补数据的数学处理方法进行了分析，并对测量得到的复杂曲面零件的图表数据进行了数学处理，使之能够满足数控加工的需要；插补方法采用双 NURBS 曲线插补可以基本消除非线性误差，提高了数控机床的走刀精度和加工质量，分析了 NURBS 曲线定义及表示方法、NURBS 曲线的实时插补算法和双 NURBS 曲线的插补格式。关键词：五轴联动；数控加工；数据处理；非均匀有理 B 样条；插补 2五轴联动数控加工复杂型面工件插补方法的研究1 引言数
2、控加工技术是一个国家机械制造水平的衡量标志之一。五轴联动数控加工技术作为机械加工领域的关键技术，其研发和应用得到了科研院所，高校和企业的极大关注。五轴联动数控技术不仅提高了机械加工的生产效率，更重要的是主要应用在航空航天，军工模具等行业，对于实现国防现代化有着重要意义。所谓五轴联动加工是指一台机床上五个坐标轴同时控制协调运动进行加工。五轴联动加工一般是指三个坐标轴 X-Y-Z 和两个转动轴同时协调加工，旋转轴的参与是刀具切削过程中始终处于最佳的切削状态成为了可能。五轴联动数控加工与一般的三轴联动数控加工相比，主要有以下优点：(1)通过定义适当的刀轴变化，可以避开刀具干涉，能够加工一般三轴数控机
3、床所不能加工的复杂曲面。(2)适合于直纹面的加工，采用侧面铣削的方法，能够实现一刀精加工成型，提高了加工质量和效率。(3)对曲率半径大且变化较小的大型曲面，采用大直径刀具端面铣削，能够实现刀具大跨度切削，从面可以显着提高加工表面质量和加工效率。(4)刀具的可变化使复杂零件一次装卡加工多个表面，实现了多工序的集中加工，有利于提高各加工要素的相互位置精度。(5)五轴机床加工过程中由于刀具/工件位姿角随时可调，则不仅可以避免球头铣刀的端部参与切削，而且还可以充分利用刀具的最佳切削点来进行切削。(6)某些复杂曲面的清角问题，可以利用大直径的刀具实现，刀具刚性好，能够提高整个加工系统的刚性，可采用更高的
4、切削速度，从而提高加工质量和加工效率。对复杂型面零件的数控加工，一般都采用五轴联动。但是，传统 CNC 系统都是将由 CAD/CAM 系统生成的几何型面和刀具路径按精度要求离散成大量直线段，再进行线性插补加工。理论和实验证明，采用直线段逼近复杂曲线并使用线性插补加工存3在很多不足，如导致进给速度剧烈波动,进给速度下降，又如代码段数量庞大。更致命的是,这种方法对精度和速度的要求是一对矛盾。要克服这些不足, 必须用曲线直接插补。其中，NURBS（非均匀有理 B 样条）曲线曲面可以统一表达自由曲线曲面和解析曲线曲面，并具有平滑性、局部可控性等优点，被国际标准化组织（ ISO） 确定为自由型零件、产品
5、几何表达的唯一形式,并已在 CAD/ CAM 领域得到成功应用。因此在CNC 领域对 NURBS 曲线直接插补的研究具有重要意义。2 数据数学处理方法复杂曲面一般是指除球面，双曲线，抛物线，椭球面等第二次曲线方程所能表达的曲面，一般有两种：一种是高次曲面，一般用通过理论计算得到的曲面方程来表示；另一种是由许多曲面的连接和剪切得到的混合曲面，其表面数据往往是通过反求工程获得的。前者理论计算得到的曲面方程可以利用 CAD 软件来进行建模处理，用 CAM软件来进行数控加工程序的编制；后者一般为通过反求工程得到的工程数据列表，对工程数据列表的快速高效处理一直都是 CAD 技术研究的热点。现实生产过程中
6、，复杂曲面的零件轮廓形状是通过实验或试制方法得到的，因而确定零件形状的轮廓的测量得到的数据点往往是离散的，各坐标点之间往往没有确定的数学关系，但在加工过程中，要求加工的曲线能够平滑的通过或接近已知的各坐标点，并且限制了加工精度。这就要求对所获得的数据进行一定的数学处理，以获得能够满足加工精度的曲线作为复杂曲面的数学模型。从而为数控加工提供了条件。本文利用一种用于工程计算的高性能程序设计语言 MATLAB 来进行数据处理，采用最小二乘法的判别准则，对所得数据进行了拟合，满足了拟合精度要求。2.1 最小二乘法及拟合方法最小二乘法的基本思想是对应数据确定的拟合曲线与各坐标点的偏差的平方和最小。设由实
7、验所得 n 个点的坐标是（x 0, y0）(x 1, y1)(xn, yn)。设拟合公式为 )(xfy，则拟合曲线在第一点结点处与实际值的偏差为 ei=f(xi)y i，则偏差的平方和为niiii12所求拟合多项式的相应系数值的原则是上式中各偏差的平方和最小。设拟合公式是多项式为：4myxpxpf210)(已知 n 个点坐标是（x 0, y0）(x 1, y1)(xn, yn)(nm)则各点偏差的平方和为： ),()()( 2101 2212 mni imiiiiiii pfyxxfe （1）上式的最小值既是偏差平方和的最小值，根据连续函数求极值的方法，对 ),(210mppf各变量求偏导数，
8、令其偏导数等于零，所得方程组为 ),210()(1 2210 mjpyxxjni im （2）上式中有 m+1 个未知数，有 m 个方程，因此联立方程组可求各系数值。上述拟合过程在数控加工的编程工作中，一般被称为第一次逼近（或称第一次数学处理） 。2.2 工程数据的第二次数学处理第一次逼近所得的结果一般都不能直接用于编程，而必须取得逼近列表曲线的直线或圆弧数据，这一拟合过程在编程中被称为第二次数学处理（或称为第二次逼近） 。虽然高档的数控控制系统已经能够对样条曲线进行处理，但大多数的数控控制系统只能用圆弧和直线的方法来逼近。从而得到适用的加工程序。本文采用等误差直线逼近法来处理用数学方程来表示
9、的轮廓图形。一般来说，由于弦线法的插补节点均在曲线轮廓上，容易计算，程序编制也简单一些，所以常用弦线法来逼近非圆曲线，其关键在于插补段长度及插补误差控制。由于各种曲线上各点的曲率不同，如要使各段插补误差相同，则各插补段长度不等。此种方法的优点是插补段数目比较少。这对于大型和形状复杂的曲线零件有较大意义。实际加工曲线过程中，机床控制刀具按设计的曲线运动即可，其轮廓的形状由刀具的包络而成。曲线加工的理论刀具轨迹是曲线本身，不必考虑刀具的补偿问题。但一般数控系统只具有直线，圆弧等少数插补功能，因此拟合所得的曲线不能被数控系统处理，此时需要对给定的曲线按照允许的逼近误差进行离散逼近。对于复杂曲线的逼近
10、，可以采用等参数，等步长，等误差三种方法对其进行逼近处理。52.3 工程数据的处理过程本文利用 MATLAB 强大的计算功能来进行计算，并核算其拟合的精度。设拟合精度为 001mm。在 MATLAB 中，求解多项式可以通过数组或矩阵的方法，前者采用的函数是polycval( )，后者采用的函数为 polyvalm( )，两者的区别主要在于矩阵计算和数组计算的差别。对一曲面沿 X 轴方向第隔 1 测量点的坐标，得到数表如表 1 所示。表 1 数据图表points 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y 1.36 1.44 1.49 1.53 1.5
11、9 1.62 1.68 1.73 1.8 1.88设拟合精度为 0.01mm。基于最小二乘法的判别准则，第一次做 2 次拟合，求出各系数，并对测量数据点比较，求出拟合误差 iY。处理程序及结果如图 1 所示:01.)max(iY，即拟合结果不能满足精度要求。图 1 二次拟合程序及拟合误差利用上述方法编制计算处理程序，求出各项系数，并求出拟合误差与要求拟合精6度相比较，若超差，则进行更高次拟合。处理程序及结果如图 2 所示：01.)max(iY，拟合结果显然已满足精度要求。图 2 三次拟合程序及拟合误差拟合图形如图 3 所示，图形结果显示三次拟合能够更加准确表示的各数据之间的趋势。同样利用 MA
12、TLAB 这个数学工具，避免了计算的复杂性，提高了工作效率。图 3 多项式拟合曲线图73 NURBS 曲线插补方法3.1 NURBS 曲线定义及表示方法NURBS 是 Non-Uniform Rational B-Spline 的缩写，称为非均匀有理 B 样条。NURBS 曲线不仅能够精确的统一表示标准解析曲线和自由曲线，如圆锥曲线、Bzier曲线等，而且它的形状控制能力也十分强大、灵活。1991 年国际标准化组织将NURBS 方法规定为 STEP（Standard for the Exchange of Product Model Data 工业产品模型数据交换标准）标准中定义工业产品几何形
13、状的唯一数学方法。 NURBS 曲线是用分段有理 B 样条多项式定义的，一条 k 次 NURBS 曲线可表示为一分段有理多项式矢函数，其形式如下：nikiniikii ii uRVWuNup0,0, )()()(（3）其中， niikiiiki WuNR0, )()(Vi控制点坐标；Wi权重参数；n加法总和的上标，由 0 到 n 共（n+1）个控制点；kNURBS 曲线的级数，其阶数为（k-1）阶；Ni,k(u)基底函数；Ri,k(u)有理式基底函数。而基底函数满足下列数学式：8（4）0 )()()( , 11,1,1, 1,规 定 其 他若 uNuNuNkiikikikiiki iii其中
14、ui 为节点，由节点所形成的 向量称为节点向量：（5）,10muUNURBS 曲线在使用上的特性分别描述如下：（1）NURBS 曲线的级数 k、节点参数 m 以及控制点参数 n 之间必须满足m=n+k （6）其中，节点向量长度为（m+1） 。（2）将 NURBS 表示为 。假如 ，则 Ri,k(u)=0。因此，nikiuRVup0,)()( ),kiuNURBS 曲线中任一权重参数或控制点的变化仅会影响曲线 k 个节点区间。根据 B 样条曲线的几何特性可知： k 次 B 样条曲线的 r 阶导矢是 k - r 次 B 样条曲线。所以求 B 样条曲线上某点处的导矢也就是求新的 k - r 次 B
15、样条曲线上的点。要计算 NURBS 曲线上某点处的导矢，可以将 NURBS 曲线定义式的分子分母部分分别看成是 B 样条曲线，分别计算它们相应的点值和导矢值后再求解即可。M 阶导矢的计算：（7）nikimmuRVup0 )()(，为有理式基底函数的 m 阶微分，其一次微分为：)(,uRmki（8） 20,1,0,1 1 )()()( nikiikiikinikiikiki uNWuNWu，而 B 样条基函数是由下式迭代可得（9）1,1, )()()( ikimikimkim uuuN9NURBS 曲线的参数连续性由定义域内的重复节点决定，在定义域内，节点具有最高重复度为 r 的 k 次 B 样
16、条基函数是 k - r 次可微的，也就是 Ck - r 。这导致所定义的 k 次 B 样条曲线也是 Ck - r 。NURBS 曲线可微性的完整表述为： k 次 NURBS 曲线在其定义域内的非零节点区间内部或在每一曲线段内部是无限次可微的；在定义域内重复度为 r 的节点处则是 k - r 次可微的。由此可知，NURBS 曲线在参数连续性的基础上解决了线性插补中的段与段的连接问题。在通常采用的 NURBS 插补中，多采用三次 NURBS 曲线，以实现在一阶节点重复度下能实现曲线的二阶连续性 C2 连续。3.2 NURBS 曲线的实时插补算法从本质上看，用伺服电机作驱动装置的数控设备,其数控系统
17、是一个离散的数据采样系统。工作时，在每个数据采样周期内,数控系统根据设定的进给速度 V ( t) 实时插补出下一周期刀具要到达的位置，并由此控制伺服系统的运动。在加工 NURBS 曲线这种参数曲线时，由于曲线上点的位置与参数值是一一对应的，所以插补过程也就是连续递推计算参数 ui 的过程。根据微分几何可知曲线弧长对时间的微分为：（10）dtustV)(所以，（11）ustdt/)(注意式中的曲线速度 V (t) 不是进给速度 V (t) ,因为实际进给速度是走过的微小直线段与时间的比值,而曲线速度是微小曲线弧段与时间的比值。因为插补周期非常小, 每个周期内刀具走过的距离也就非常小,可以近似认为
18、其与该弧段弧长相等,所以可近似认为 V (t) 等于设定的进给速 V (t) 。根据微分几何可知：（12）)()()(uzyuxds所以，（13）)()(uzyuxtVt将上式展开成泰勒级数：10+高阶项 （14）ii uiiiudttdt 21)()(11iiii t式中 ti+1-ti=T 是插补周期，当被插补曲线的曲率不是很小、插补周期也很短时，上式只取一次项就足够精确了。即（15）)()(1 iiiiuii uzyxTtVdtui 此为泰勒一次展开之近似插值法， 描述正规化参数 uk+1、u k 与进给率及 之间的关系式。在实际计算时，上式中 V (t) 是设定的进给速度，T 是yxt
19、V、)(z已知采样周期，当前点处的切矢 可由德布尔算法求出，故下一点)( ,)(iiiuzyx对应的参数 ui +1 也可求出。3.3 双 NURBS 曲线的插补格式在数控机床上实现 NURBS 插补有两种途径：一种是在数控系统内部首先将 CAM得到的线性刀具加工轨迹在一定容差范围内插值或拟合成 NURBS 插补刀具轨迹，然后 CNC 系统执行 NURBS 实时插补运算，GE-FANUC 系统将这一种插补方式称为光顺插补；另一种是 CAM 系统进行数控编程时直接将 CAD 中由 NURBS 曲线定义的几何模型直接转化成含有 NURBS 插补代码的 NC 文件，数控系统能够识别这些代码并进行NU
20、RBS 插补运算。显然，与第一种方法相比，第二种方法不存在刀轨转化时的拟合误差，精度也更高。现行三坐标 NURBS 指令还没有统一的标准格式，比较典型的 G 代码格式如图 1所示。程序段由 G06.2 作为 NURBS 插补开始的标志，数控装置读入其后的 3 组数据从而实现 NURBS 插补。然而，这种格式的代码所提供的信息量明显不足以进行五轴联动插补加工。这是因为三轴联动刀具轴向固定，不必考虑刀轴的方位问题，而五轴联动加工中必须实时确定每个插补周期刀具轴向方位，这就要求必须在 NURBS 插补代码中加入可以确定刀轴方位矢量的数据信息。在用 CAM 系统进行五轴数控编程阶段，根据所选取的刀具路
21、径生成方法、初始给定的刀倾角和刀转角以及干涉检验修正后，可以分别计算出刀心点坐标和刀轴单位矢量。所提出的双 NURBS 曲线插补格式就是在现行使用的三坐标 NURBS 指令格式的基础上进行扩充，加入一个表示方位的NURBS 样条曲线。加入这个方位样条后，加上原有的刀心点样条，插补格式中就有两11个样条。图 2 所示的是五轴双 NURBS 样条曲线插补指令格式，该格式以 NURBSON作为插补开始的标识而 NURBS OFF 标志插补结束。方位样条的控制点坐标用关键字TX_TY_TZ_表达，对应权值和定义样条的节点矢量与刀心点样条相同。图 4 现行三轴 NURBS 插补格式图 5 五轴双 NUR
22、BS 插补格式4 结论五轴联动数控加工技术作为机械加工领域的关键技术，其研发和应用得到了科研院所，高校和企业的极大关注，复杂形状零件的加工正是由于五轴联动数控加工中心的应用得到了突破的可能。作为五轴联动数控加工技术中的关键技术之一，双NURBS插补技术是发展高速、高精度五轴联动 CNC的关键技术，而且NURBS 格式规范的几何数据描述也为CAD/ CAM 和CNC 的集成提供了可能。参 考 文 献 ：1 吴 宇 燕 ， 彭 志 牛 ， 王 宇 晗 .NURBS 曲 线 数 控 插 补 方 法 及 误 差 控 制 .机 械 设 计 与 研 究 .2006(22), 4: 75-78.2 徐 志
23、明 ， 王 宇 晗 . 五 轴 联 动 NURBS 曲 线 插 补 方 法 的 研 究 . 上 海 电 机 学 院 学 报 . 2008(11), 1: 76-80.3 姚 哲 ， 冯 景 春 ， 王 宇 晗 . 面 向 五 轴 加 工 的 双 NURBS 曲 线 插 补 算 法 . 上 海 交 通 大 学 学 报 . 2008(42), 2: 235-238.4 陈 良 骥 ， 王 永 章 ， 富 宏 亚 . 五 轴 联 动 双 NURBS 曲 线 的 生 成 与 插 补 方 法 研 究 . 机 械 制 造 . 122006(44), 497: 67-70.5 李 文 昊 . 交 叉 耦 合 控 制 在 轮 廓 误 差 之 改 善 . 中 山 大 学 硕 士 论 文 . 2004, 6.6 刘 宇 ， 戴 丽 ， 刘 杰 ， 王 健 . 泰 勒 展 开 NURBS 曲 线 插 补 算 法 . 2009(30), 1: 117-120.7 施 法 中 . 计 算 机 辅 助 几 何 设 计 与 非 均 匀 有 理 B 样 条 . 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， 2001.8.
