1、67实验五 连续线性时不变系统分析 一、 实验目的1. 掌握连续 LTI 系统单位冲激响应、单位阶跃响应和任意激励对应的响应的求解方法；2. 掌握连续 LTI 系统的频域分析方法；3. 掌握连续 LTI 系统的复频域分析方法；4. 掌握连续 LTI 系统时域、频域和复频域分析方法的相互转换。二、 实验原理及编程准备1 连续 LTI 系统的时域分析（1）单位冲激响应impulse(b,a)impulse(b,a,t)y=impulse(b,a, t)：不绘制冲激响应波形，只计算数值解（2）单位阶跃响应 step(b,a)step(b,a,t)step(b,a,t1:p:t2)y=step(b,a
2、,t1:p:t2)：不绘制阶跃响应波形，只计算数值解（3）任意激励下的零状态响应连续 LTI 系统可用常系数线性微分方程 (5.1)式来描述，可用lsim( )求其零状态响应68lsim(sys,u,t) y,t = lsim(sys,u,t)y,t,x = lsim(sys,u,t) 其中 sys=tf(b,a)为系统函数对象， u 为输入矩阵，t 为时间向量。（4）卷积积分卷积积分也是 LTI 系统求解零状态响应的重要工具之一。假设系统的输入信号为 ，单位冲激响应为 ，则系统的零状)(te)(th态响应 为：)(tr()yehtd对连续时间系统，matlab 不提供卷积函数，只能用离散卷积
3、近似实现。若有两个连续信号 和 进行卷积，首先要对这两个信号进行()etht采样，设采样时间间隔为 ，则采样后得到两个离散序列 和()nte，然后构造相应的两个时间向量 n1 和 n2(n1 和 n2 的元素不再()hnt是整数，而是采样时间间隔 的整数倍)，接着调用计算离散卷积和t的函数 conv( )计算连续卷积积分 的近似向量 。(y)yt需要说明的是，函数 conv()只能计算离散卷积和的数值，用函数conv()作两个信号的卷积积分时，应该在这个函数之前乘以时间步长方能得到正确的结果。也就是说，正确的语句形式应为：y = t*conv(e,h)。对于定义在不同时间段的两个时限信号 e(
4、t)，t 0 t t1，和 h(t)，t2 t t3。 如果用 y(t)来表示它们的卷积结果，则 y(t)的持续时间范围要比 x(t)或 h(t)要长，其时间范围为 t0+t2 t t1+t3。这个特点很重要，利用这个特点，在处理信号在时间上的位置时，可以很容易地将信号的函数值与时间轴的位置和长度关系保持一致性。下面给出任意时间段信号的卷积函数，tx 为表示 x 存在时间的向量，ty 同理。function y,ty = conv_m(x,tx,h,th,ts)tyb = tx(1)+th(1);tye = tx(end) + th(end);69ty = tyb :ts:tye;y = ts
5、*conv(x,h);%测试代码ts=0.01;tx=-1:ts:2;th=0:ts:3;x=double(tx=0);h=exp(-th);y ty=conv_m(x,tx,h,th,ts);plot(ty,y)（5）任意激励下的全响应线性系统的全响应 可以分解为自由响应（齐次解）和强迫响()yt应（特解） ，也可以分解为零输入响应和零状态响应，即 ()()()hpzizsttytytMatlab 提供了求连续系统响应的函数 dsolve( )，其调用格式有dsolve(eqn1,eqn2,， 初始条件 ， 自变量):解符号形式的微分方程，输入参数可以是 n 个微分方程，也可以是初始条件。值
6、得注意的是，无论是输入参数还是输出参数都是符号形式的变量。可以求微分方程的通解或定解问题，可求零输入解和零状态解。例5-1 描述某线性时不变系统的微分方程为 )(2)(23)( tftftytty70且 ；试求系统的全响应，并指出其零输入响2(),(0)1,()fty应、零状态响应自由响应与强迫响应。通过解微分方程得到的全响应为Matlab 参考程序：b=1 2;a=1 3 2;dt=0.01;t=0:dt:5;x=t.2;h=impulse(b,a,t);s=step(b,a,t);yzs1=dt.*conv(x,h);yzs2=lsim(b,a,x,t);figure(1)subplot(
7、211)plot(t,3*exp(-t)-2*exp(-2*t);title(零输入响应);subplot(212)plot(t,-2*exp(-t)+t.2-2*t+2);title(零状态响应 );figure(2)subplot(221)plot(t,h);title(单位冲激响应);subplot(222)plot(t,s);title(单位阶跃响应);)(入入入2222() 3tttttytteeet入入 071subplot(223)plot(t,yzs1(1:length(t);title(卷积积分计算的零输入响应);subplot(224)plot(t,yzs2);title(
8、lsim 函数计算的零状态响应 );y=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t2,y(0)=1,Dy(0)=1)yzi=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=1)yzs=dsolve(D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t2,y(0)=0,Dy(0)=0)t=0:0.01:5;subplot(221)ezplot(y,0 5);title(全响应);subplot(222)ezplot(yzi,0 5);title(零输入响应);subplot(223)ezplot(yzs,0 5);title(零状态响应);2 连续 LTI 系统的频域分析（
9、1）系统的频率响应Matlab 提供了专门用于求连续系统频率响应的函数 freqs(),其调用格式如下：H,w = freqs(b,a)： b 和 a 仍是式(5.2)和(5.3)所定义的连续时间LTI 系统的微分方程右边的和左边的系数向量 ，返回的频率响应为各72频率点的样点值（复数）存放在 H 中，系统默认的样点数目为 200 点；H = freqs(b,a,w)：在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。在使用这种形式的 freqs 函数时，要在前面先指定频率变量 w 的范围。例如在语句 H = freqs(b,a,w)之前加上语句： w = 0:2*pi/256:2*pi。Hm = a
10、bs(H)：求模数，即进行 运算，求得系统的幅度频Hm率响应，返回值存于 Hm 之中。phi = angle(H)：求相位频率相应特性；tao = grpdelay(b,a,w)：计算系统的相频响应所对应的群延时。下面举例说明如何利用上述函数计算并绘制系统频率响应特性曲线的编程方法。例 5-2 假设给定一个连续时间 LTI 系统，描述其输入输出之间的关系的微分方程为2()()32()dyttytx编写 MATLAB 范例程序，绘制系统的幅频响应、相频响应、频率响应的实部和频率响应的虚部，如图 5-6 所示。程序如下：% 计算并绘制系统频率响应b = 1; % 系统函数分子系数a = 1 3 2
11、; % 系统函数分母系数H,w = freqs(b,a); % 计算频率响应 HHm = abs(H); %计算幅频响应 Hmphai = angle(H); % 计算相频响应 phai73subplot(121)plot(w,Hm, linewidth, 3), grid on, title(幅频响应), xlabel(频率(rad/sec)subplot(122)plot(w,phai), grid on, title(相频响应), xlabel(频率(rad/sec)（2）系统响应的频域求解方法下面举例说明系统响应的频域求解方法。例 5-3 如图 5-1（a ）所示的 RC 电路，1）若
12、输入信号为门函数（如图 5-7（b） ） ，求系统的响应；2）若输入信号为周期矩形脉冲（如图 5-7（c ） ） ，求系统的响应。R()ft ()yt+-t()ft00 . 5- 0 . 51C（ a） （b）图 5-1 RC 电路及输入信号Matlab 程序如下：% RC 电路的频率响应为 ，首先会出1()()RCHj时，系统的幅频响应。1,0RC74RC_n=1 0.1 0.01;N=length(RC_n);omega=0:0.01:100*pi;for k=1:NRC=RC_n(k);H=(1/RC)./(j*omega+1/RC);subplot(N,1,k),plot(omega,
13、abs(H);end该 RC 电路是一个低通滤波器，截止频率和带宽都随着 的增1()RC大而增大。% 输入信号为门函数且 时，RC 电路的输出信号。1,0RCRC_n=1 0.1 0.01;N=length(RC_n);omega=-10*pi:0.01:10*pi;F=sinc(omega/(2*pi); %输入信号的频谱subplot(N+1,1,1),plot(omega,abs(F);for k=1:NRC=RC_n(k);H=(1/RC)./(j*omega+1/RC);Y=F.*H; %输出信号的频谱subplot(N+1,1,k+1),plot(omega,abs(Y);end7
14、5随着 的增大，输出信号的频谱越来越接近输入信号的频谱，1()RC这是因为随着带宽的增加，允许更多的高频分量通过。下面再从时域这个角度来观察。RC_n=1 0.1 0.01;M=length(RC_n);t=-2:0.01:4;f=u(t,0.5)-u(t,-0.5);subplot(M+1,1,1),plot(t,f);domega=0.01;omega=-10*pi:0.01:10*pi;F=sinc(omega/(2*pi); for m=1:MRC=RC_n(m);H=(1/RC)./(1j*omega+1/RC);Y=F.*H;y=Y*exp(1j*omega*t).*domega.
15、/(2*pi); subplot(M+1,1,m+1),plot(t,abs(y);end其中function y,t=u(t,tau)y=double(t=-tau);76随着 的增大，输出信号的波形越来越接近输入信号的波形，1()RC输出波形的上升和下降的时间缩短，由于高频成分增多，在波形的顶部和底部震荡更多。(1) 系统函数的意义及其表达式为了利用系统函数的零极点分布来分析系统特性，首先说明如何求出系统函数的零极点，Matlab 提供的求系统的零极点的函数有roots()：利用多项式求根函数来确定系统函数的零极点位置；roots(a)：求极点位置，a 为系统函数 分母多项式所构成的系)(
16、sH数向量；roots(b)：求零点位置，b 为系统函数 分子多项式所构成的系数向量；zero(sys)：求系统 sys 的零点pole(sys)：求系统 sys 的极点z, p, k = tf2zp(b, a)：求系统函数的零极点，返回值 z 为零点行向量，p 为极点行向量，k 为系统传递函数的零极点形式的增益。b为系统函数分子多项式的系数向量，a 为系统函数分母多项式系数向量。pzmap(sys)：画出系统的零极点图。1）零极点分布与系统冲激响应时域特性的关系例 5-4 已知系统函数为 ，试用 Matlab 画出系230.8()1sH统的零极点分布图、冲激响应波形、阶跃响应波形、幅频响应曲
17、线和相频响应曲线，并判断系统的稳定性。77Matlab 程序如下：num=1 -2 0.8;den=1 2 2 1;subplot(231)pzmap(num,den);t=0:0.01:15;subplot(232)impulse(num,den,t);grid onsubplot(233)step(num, den, t);grid onomega=0:0.01:2*pi;H=freqs(num,den,omega);subplot(223)plot(omega, abs(H);grid onsubplot(224)plot(omega, angle(H);grid on系统的极点全部分布
18、在左半平面，所以系统稳定。由例 5-4 可知，只要知道系统的系统函数或者描述系统的微分方程，那么系统的时域特性、频域特性就很容易得到。三、 实验内容及步骤1.图 5-14 所示为一 RLC 串联电路，已知 R=5，L=1H ，C=(1/6)F，781) 请用 Matlab 绘制出该系统的单位冲激响应和单位阶跃响应的波形；2）当输入信号 时，请画出该系统的零状态响应波形图；2()0.5tsvte-=3）当电阻 R 分别为 4、2 、0.8、0.4时，画出系统冲激响应的波形，并对波形的变化作出解释。 ()itLRC()sVt ()cVt图 5-14 RLC 串联电路2. 绘出图 5-14 所示系统的幅频响应和相频响应特性曲线，并讨论随着 R 的变化，幅频响应的变化规律。3. 给出图 5-14 所示系统的零极点分布图，并讨论随着 R 的变化，系统的稳定性的变化。三、 实验报告要求1. 简述实验目的和实验原理。2. 按实验内容和步骤给出程序的源代码和运行结果，并对结果加以理论说明。3. 总结实验中的主要结论，你的收获和体会。
