1、 导数中零点问题探究1已知函数，其中R求函数的零点个数探究2已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数探究3已知函数f（x）=ax2xlnx，aR（1）若1a0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围探究4已知函数f（x）=g（x）h（x），其中函数g（x）=ex，h（x）=x2+ax+a（1）求函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程；（2）当0a2时，求函数f（x）在x2a，a上的最大值；（3）当a=0时，对于给定的正整数k，问函数F（
2、x）=ef（x）2k（lnx+1）是否有零点？请说明理由（参考数据e2.718，1.649，e4.482，ln20.693）探究5【解析1题】由f (x)=0,得x22mx1=0,因为=4m2+40,所以y=f(x)既有极大值也有极小值.设f (x0)=0,即x022mx01=0，则f (x0)=x03mx02x0+m=mx02x0+m=x0(m2+1) 12分所以极大值f(m)=(m)(m2+1)0，极小值f(m+)=(m+)(m2+1)0,故函数f(x)有三个零点. 【解析2题】(1) 由题意， 2分因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得. 4分 (2) 法一：由，得，即对任意恒成立，
3、6分即对任意恒成立，因为，所以， 8分记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是 10分法二：由，得，即在上恒成立，6分因为等价于，当时，恒成立，所以原不等式的解集为，满足题意 8分当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意综合可知，所求的取值范围是10分 (3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. 11分 令，若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，所以，所以 ，同理， 所以，化简得，所
4、以，即， 所以所以，当时，有且仅有一个极值点； 14分若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；综上，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点 16分【解析3题】（1）由f（x）=ax2xlnx，得当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点，当1a0时，f（1）=a10，推出结果（2）由（2）知，当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点说明a0，由f（x）=ax2xlnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+）上单调递增要使得函数f（x）在（0，+）上有两个零点，只需要通过函数h（x）=2lnx+x1在（0，+）上是增函数，推出0
5、a1验证当0a1时，函数f（x）有两个零点证明：lnxx1设t（x）=x1lnx，利用导数求解函数的最值即可【解答】解：（1）由f（x）=ax2xlnx，得所以当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递减，所以当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点6分因为当1a0时，f（1）=a10，所以当1a0时，函数f（x）在（0，+）上有零点综上，当1a0时，函数f（x）有且只有一个零点 8分（2）由（2）知，当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点因为函数f（x）有两个零点，所以a0 9分由f（x）=ax2xlnx，得，令g（x）=2ax2x1因为g（0）=10，2a0，所以函数
6、g（x）在（0，+）上只有一个零点，设为x0当x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0；当x（x0，+）时，g（x）0，f（x）0所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+）上单调递增要使得函数f（x）在（0，+）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）0，即又因为，所以2lnx0+x010，又因为函数h（x）=2lnx+x1在（0，+）上是增函数，且h（1）=0，所以x01，得又由，得，所以0a1 13分以下验证当0a1时，函数f（x）有两个零点当0a1时，所以因为，且f（x0）0所以函数f（x）在上有一个零点又因为（因为lnxx1），且f（x0）0所以函数f（x）在上
7、有一个零点所以当0a1时，函数f（x）在内有两个零点综上，实数a的取值范围为（0，1） 16分下面证明：lnxx1设t（x）=x1lnx，所以，（x0）令t（x）=0，得x=1当x（0，1）时，t（x）0；当x（1，+）时，t（x）0所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0所以t（x）=x1lnx0，得lnxx1成立【解析4】（1）求出函数的导数，计算g（1），g（1），求出切线方程即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可；（3）问题转化为e令p（x）=e，q（x）=，根据函数的单调性判断即可【
8、解答】解：（1）g（x）=ex，g（x）=ex，g（1）=e，函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程为ye=e（x1），即y=ex；（2）f（x）=ex（x2+ax+a），f（x）=（x+2）（x+a）ex=0，可得x=a或x=22a2，即0a1时，f（x）在2a，a上递减，在a，a上递增，f（x）max=f（a）；2a2，即1a2时，f（x）在2a，2上递增，2，a】递减，在a，a上递增，f（x）max=maxf（2），f（a）=f（a）；综上所述，f（x）max=f（a）=（2a2+a）ea；（3）k=1，函数F（x）=ef（x）2k（lnx+1）无零点，k2，函数F（x）=ef（x）2k（lnx+1）有零点理由如下：k=1时，证明ex2ex2lnx20即可，即证明e令p（x）=e，q（x）=，而p（x）=，令p（x）0，解得：x1，令p（x）0，解得：x1，p（x）min=p（1）=e2，q（x）=，令q（x）0，解得：0x，令q（x）0，解得：x，故q（x）max=q（）=e2，e，故命题得证解析5
