1、三 角 形一、三角形的边与角1、主要定理三角形内角和定理：三角形三内角的和等于 180；外角定理：三角形每一个外角等于和它不相邻的两内角的和；不等定理：若三角形中的两边不等，则两边所对的角也不等，大边所对的角较大；不等定理的逆：若三角形的两角不等，则两角所对的边也不等，大角所对的边较大。2、角的证明与计算证明的主要内容：角的相等，角的互余（或互补），角的和、差、倍、分的等量关系；证明明与计算通常所用的主要知识：三角形（或多边形）的内角和定理；全等三角形、相似三角形的性质定理；共点圆的知识；三角形“ 五心 ”性 质、尤其是外心、内心、垂心 对于一边的张角公式；3、举例例 1：在ABC 中，O 为
2、内心，点 E、F 都在大边 BC 上，已知BF=BA，CE=CA，求证：EOF=B+C。讲解：如右图证一：利用三角形内角和定理及等腰三角形性质证明；证二：利用三角形内心性质和等腰三角形性质证明。例 2：在锐角ABC 中，AB 为大边，AC 为小边，O 为外心，H为垂心，证明：OAH=C-B。讲解：如右图利用垂心的性质及外心对于一边的张角公式和三角形内角和定理证明（另外还可以推得锐角三角形外心、垂心关于角的一个有用关系OBH OCH=OAH）。例 3：在平行四边形 ABCD 中， BAD 的平分线交 BC、DC 于F、E，O 是 CEF 的外心，求证明ABC=2 OBD。讲解：如右图利用平行四边
3、形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外心的性质证明。例 4：在ABC 中，A=70，点 I 是内心，已知 AC+AI=BC，求B 的度数。讲解：如右图利用三角形内心性质及等腰三角形性质进行计算。例 5：两个等腰三角形的顶角互补，一个三角形的边长a、a、b（ab），另一个三角形的边长 b、b、a，求它们的内角的度数。讲解：将两个三角形拼成右图形状，利用等腰三角形性质计算。二、三角形的全等1、全等三角形的性质；2、全等三角形的判定：定理：两个三角形如果满足下列条件，则两个三角形全等两边及夹角对应相等；两角及夹边对应相等；三边对应相等。另补充：1如果两三角形有两角及其中一个角的对边对应相等，则两三角
4、形全等；2如果两三角形有两 边及其中大边的对角分别对应相等，则两三角形全等。证明：如右图，设 AB=AB，AC=AC，且AC AB、B=B，若 BCBC，不防设BCB C，于是在 BC 上取一点 C，使 B C= BC，则AB CABC，由题设知 AC= AC= A C，C=ACC，在 ABC中，A CCB，从而 CB，于是AB AC，与 题设 ACAB 矛盾，所以 BC= BC，即 C与 C 重合，故ABC ABC。推论：1在三角形中，等边对等角，等角对等边（见等腰、等边三角形）；2等腰三角形两腰上的高、中线及两底角的平分线相等；3若三角形的两高、两中线、两角平分线相等，则是等腰三角形。补充
5、定理：若两三角形有两边相等而第三边不等，是第三边所对的角也不等，大边所对的角较大；若两三角形有两边相等而夹角不等，则夹角的对边也不等，夹角大的对边较大；两直角三角形的斜边相等而一锐角不等，则不等锐角所对的边也不等，大角所对的边较大；等腰三角形的底边上的中线、高线及顶角的平分线共线。证明：两中线相等的三角形等腰，如右图，设 BE=CF，G 是重心，连结AG 并延长交 BC 于 D，AD 也是 BC 边上的中线，若 ABAC，不妨设 ABAC ，则ADBADC ，在GBD 和GCD 中，BGCG ，即 BE CF，BECF，与题设32BE=CF 矛盾，反之，若 ACAB ，同样证 得 CFBE，也
6、与题设BE=CF 矛盾，所以 AB=AC。3、全等形的证明及相关知识的应用（略）；4、三角形的巧合点（五心）：外心：三角形三边中垂线交于一点外心（证明略）。简单性质：1三角形外心到三顶 点的距离都等于三角形外接圆的半径；2三角形外心对于边 的张角等于该边对角的 2 倍；3三角形外心是其中点三角形的垂心，反之亦然。垂心：三角形三边上的高线交于一点垂心（证明略）。简单性质：1三角形的垂心、三高线足和三角形的顶点分别构成三组四点共圆；2三角形的垂心到顶 的距离是外心到对边距离的 2 倍；3三角形的垂心是其垂足三角形的内心或旁心。内心：三角形三内角平分线交于一点内心（证明略）。简单性质：1内心到三边等
7、距；2设 I 是ABC 的内心，联结 AI 并延长 交ABC 的外接圆于另一点 M，则 MI=MB=MC；3设 I 是ABC 的内心，则BIC=90+ A CIA=90+ B AIB=90+ C2121214欧拉公式： ABC 的内心为 I，外心为 O，设 R、r 分别是ABC 的外接圆与内切圆半径，则 OI2=R2-2Rr。旁心：三角形一内角平分线与不相邻的两外角平分线交于一点旁心（证明略）。简单性质：1三角形的内心与旁心能构成三组三点共线和三组四点共圆；2旁心与三角形的三个顶点构成三组三点共线；3设 IA、IB、IC分别是 ABC 的三个旁心， 则BIAC=90- BAC CIBA=90-
8、 CBA 21 21AICB=90- ACB4旁心与三角形的半周长联系密切（如右图）。重心：三角形三条中线交于一点重心。讲解：如右图，设 BE、CF 是ABC 的两条中线，延长 CF 至H，使 FH=FG，连接 AG 并延长交 BC 于 D，利用平行四边形的性质及三角形中位线相关知识证明。简单性质：1重心到对边 的距离等于重心到 顶点的 ；212三角形的中点三角形将原三角形分成四个相似三角形，其面积等于原三角形面积的四分之一；3中点三角形的顶点在垂足三角形的外接园周上。5、欧拉线：任意三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 三点共线，并且 = 。GHO216、举例：例 6：设ABC 的内心为 I
9、，联结 AI 与ABC 的外接圆O 交于另一点 E，AE 与 BC 相交于点 D，设 R、r 分别是ABC 的外接圆、内切圆半径，求证：E 为BCI 的外心 AD*AE=AB*ACAI*IE=2Rr OI2=R2-2Rr证明：如右图， 连结 BE、CE，因为 BE=CE=EI，所以 E 为 BCI 的外心；因为 ABDAEC，所以 ，AEBCDAD*AE=AB*AC；过 I 作 IFAC，垂足 为 F，则 IF=r，联结 EO 并延长交O于 J，联结 JC，则 RtAFIRtJCE，所以 ，CEIFJAI*CE=JE*IF，又由知 CE=IE，JE=2R，IF=r，所以 AI*IE=2Rr；设
10、直线 OI 与O 相交于点 M、N，由和相交弦定理，2Rr=AI*IE=IM*IN=（R+OI）（R-OI）=R2-OI2，所以 OI2=R2-2Rr。例 7：ABC 中， A90 ，ABAC，高线 BE、CF 交于 H，O为 ABC 的外心，且 AO=AH，BAC 的平分 线 AD 所在的直线交 BE、CF 的延长线于 M、N，求证：HM=HN。例 8；直角三角形中，直角的平分线平分斜边上中线和高线的夹角。例 9：锐角三角形的高和垂心到顶点线段的乘积之和等于三角形各边平方和的一半。例 10：关于三角形各边分别与垂心对称的三个点都在三角形的外接圆上。例 11：设 D、E、F 分别是正ABC 三
11、边上的三等分点，如右图，若 ABC 的面积为 S，求GHI 的面积 。解：连接 AG，容易证 明ABD BCEACF，AFHBDICEG，设HIG 的面积为 x，AFH 的面积为 z，四边形BIHF 的面 积为 y，已知 ，又 =2 即3sz2y积AGC的B=2，y=5z，与方程组联立求得数 x= 。z3y7例 12：三角形的高和侧边的夹角等于顶点与外心连线和侧边的夹角。例 13：以三角形 ABC 的三边为底边分别向外作正三角形，证明这三个三角形的外接圆共点。例 14：在三角形中，证明：若边长小于、等于或大于该边上中线的 2 倍，则该边的对角应为锐角、直角或钝角。例 15：等边三角形内一点到三
12、边的距离之和为定值。例 16：设 G 是ABC 的重心，延长 BG、CG 分别至 E、F，使GE=2BG，且 GF=2CG，求证 A、E、F 三点共线。例 17：设 O 是正三角形 ABC 的中心，证明 BO、CO 的中垂线必三等分 BC。例 18：设 O 是ABC 的外心，则 BOC=2A 或 360-2A。例 19：设 H 是ABC 的垂心，则 BHC=180-A 或A。例 20：从ABC 的边 BC 的中点作 A 的平分线的垂线，那么这条直线将 AB、AC 分成两条线段，分 别等于 和2ACB（ABAC）。2ACB例 21：在ABC 的两边 AB、AC 上向外作正方形 ABDE 和ACF
13、G（D 和 F 是 A 的对顶点），证明：线段 EG 垂直于从点 A 所引对边的中线，并且等于中线的2 倍；以 E、A、G 为顶点的平行四边形的第四个顶点 I 在由点 A所引三角形的高线上；CD、BF 分别垂直于 BI、CI，并且也交于由点 A 所引三角形的高线上。例 22：三角形任意两条高线足的连线与三角形另一顶点和三角形外接圆心的连线相互垂直。例 23：已知三角形两底角的差等于 90，求证：顶角的内角平分线和外角平分线相等。三、三角形的相似1、比例线段定理：一组平行线截两直线，截得的线段对应成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的线段对应成比例，其逆成立。定理（角平分线定理）
14、：三角形的内（外）角平分线，内（外）分对边所得两条线段与三角形的两邻边对应成比便（外分时，三角形其夹角的两边不等），其逆成立。2、相似三角形相似三角形的性质；相似三角形的判定。定理：两三角形满足下列条件之一，两三角形相似：1三角形的两角分别对应 相等；2两条对应边 分别对应 成比例且夹角相等；3三条边分 别对应成比例；4两双对应边 分别成比例且其中大 边所对的角相等；5对应边分 别平行；6对应边分 别垂直。定理：两直角三角形若具备下列条件之一，两直角三角形相似：1一 锐 角对应 相等； 2勾股成比例；3弦勾或弦股成比例。推论：1相似三角行 的对应 高、对应中线、对应角平分线成比例；2相似多边
15、形周长比等于相似比、面 积比等于相似比的平方；3边 数相同的正多边 形相似，它们的外接圆半径或边心距的比等于它们的相似比。3、勾股定理：勾 2+股 2=弦 2定理：在直角三角形中，1弦的高是勾股在弦上射影的比例中项；2勾或股各是它们自己在弦上射影与弦的比例中项；3勾股的平方之比等于它们在弦上的射影之比。推论：1在 ABC 中，一设 CDAB 于 D，则BC2=AB2+AC2-2 * 恒成立。AB2三角形的一角是直角、锐角、钝角，该角对边的平方等于、小于或大于其它两边的平方和，共逆成立。3平行四边 形四边平方的和等于两 对角线的平方和。4、举例例 24：勾股定理证一：证二：例 25：设ABC 的
16、边长AB=c，BC=a，AC=b，满 足 a2=b2+bc，证明A=2 B简证：由 a2=b2+bc=b（b+c），联想圆幂定理，延长 CA 到 D，使 AD=AB=c，由切割线定理的逆易知 BC 是圆的切线，CD 是 圆的割线，又由弦切角定理：ABC=D=ABD，BAC=D+ABD=2D=2ABC，所以A=2 B。例 26：设 M 是三角形外接 圆上的任意一点，求证：M 点到三角形任一条边上的距离和它到该边所对顶点距离的积都相等。例 27：如果两直角三角形面积之比等于它们斜边的平方比，则两三角形相似。例 28：ABC 中，BC 边的中垂线和 A 的平分线相交在外接圆周上，它们的交点距离 B、C 两点、距内切圆的圆心、距A 内的旁切圆圆心都等远，且三个旁切圆半径的和等于内切圆半径加上 4 倍外接圆半径。例 29：在ABC 的三边上向外作三个正三角形BCA的、CAB的、ABC的，并引线段 AA的、BB的、CC的，证明：此三线段相等；此三线段交于同一点，三角形各边在此点的视角相等；若此点在三角形 ABC 内，则它与三角形各顶点距离之和等于 AA、BB的、CC的中的任一条；若 O1、O2、O3分别是三个正三角形的中心，则O 1O2O3也是正三角形。
