1、合工大（共创）线性代数冲刺 殷明 1 合工大（共创）考研辅导中心 2009 冲刺班（线代代数部分）讲义 一、 现阶段数学复习策略 1 归纳整理 ，查漏补缺, 注意自己总结复习；2 实战演练，做真题及模拟题（真实环境），提高解题速度，找出差错。3 积极备考, 注意身体及心态； 二、 线性代数复习概论 线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点。技巧少，方法比较固定。 1、吃透概念，掌握性质 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩 (矩阵、向量组、二次型) ，等价( 矩阵、向
2、量组) ，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形， 正定，合同变换与合同矩阵。 2 正确熟练运用基本方法及基本运算 基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式( 数字型、字母型) 的计算，求逆矩阵， 求矩阵的秩，求方阵的幂， 求向量组的秩与极大线性无关组， 线性相关的判定或求参数， 求基础解系， 求（非）齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量( 定义法 )，判断与求相似对角矩阵， 用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵 (亦即用正交变换化二次型为标准形) 。 3注重知识点的转换与联系 线
3、性代数各章节的内容，如 行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 A 是 n 阶方阵，若，A 0(称 A 为非奇阵) A 是可逆阵 有 n 阶方阵 B，使得AB=BA=E B=A-1A* A r(A)=n( 称 A 是满秩阵) 存在若干个初等阵P1，P2 ，PN，使得 PNPN-1P1A=E(A E)(E A-1)A 可表示成若干个可逆阵的乘积A 可表示成若干个初等阵的积。A 的列向量组线性无关( 列满秩) AX=0 ，唯一零解A 的行向量组线性无关( 行满秩) A 的列( 行) 向量组是Rn 空间的基 任何 n 维列向量 b 均可由
4、A 的列向量线性表出( 且表出法唯一) 对任意的列向量 b，方程组 AXb 有唯一解，且唯一解为 A-1bA 没有零特征值，即 iO， i1 ，2 ， ，n nn ,21null 是 维列向量，已知 n21 =A ，32 =A ， ,nullnnA =1， 0=nA ，且 0n （1 ） 证明：n ,21null 线性无关；（2 ）求的解；（3 ）求出0=AxA的全部特征值与特征向量，并证明 A不可对角化。 解： 设 02211=+nnkkk null ，依次在等式两边左乘 ，分别得 12,nAAA null013221=+ nnkkk null ， 024231=+ nnkkk null ，
5、 0211=+ nnkk ，01k =n ，因 为 ,0n 故 ，并依次回代得 01=k 032=nkkk null ，所 以n ,21null线性无关。 （ 2 ） 由题意=0101010),()0,(),(12132121nullnullnullnullnullnnnnnA 又因为n ,21null 线性无关，故 1)( = nAR ，而 0,0 =nnA ，因此n 为 的基础解系，所以0=Ax0=Ax 的通解为nk 。 （3 ）记 ()nP null21= P，则 可逆。且 =1PAP ，由此可得 A的特征值全为 0，其特征向量为 )0( kkn ，从而属于特征值 0 的线性无关特征向量
6、仅有 1 个，故 A不可对角化。 8合工大（共创）线性代数冲刺 殷明 9 例 13 设二次型222123 12 13 2342Tx Ax x x x ax x bx x cx x=+ + + + 矩阵 A满足 ，其中 ， 0AB =123011105B=（1 ） 用正交变换化二次型Tx Ax为标准形，并写出所用的正交变换；（ 2）求 。 6(3)AE解： （ 1 ）由 知矩阵 0AB = B 的列向量是齐次方程组 的解，记，则0Ax=()(12101, 2 10TT=)211200, 00,AA = =所以 0 = 是矩阵A 的特征值（至少是二重），12, 是 0 = 的线性无关的特征向量。根
7、据300 114+ =+，知矩阵 A有特征值 6 = ，因此矩阵 A的特征值为 0，0 ，6. 设 6 = 的特征向量为3123(, , )Tx xx = ，则由13 1 323 1 2020TTxxxx = += =，解出，将()312 1T =12, 正交化。令11 = ，()2122 111(,)111(,)T = =。 单位化，得 () ()()11 112 323 6101, 111 121TT =T)，(123Q = ，经正交变换 x Qy= ，二次型可化为标准形236TTx Ax y y y= 。 (2) 因为 ，又 ，所以得 ，于是。 66,( 3 ) ( 3 )AAE E 3
8、333E = 1QAQ=16 6(3) (3)3QAEQ E E=6666161(3) (3) (3) 3AE Q EQ QEQ E= = =例 14 .设 n 阶实对阵矩阵 A满足2AE= ，且 ()rA E k n+ =TB B为正定矩阵。 (备用) 已知 4 维向量组12,3 线性无关，若 ( 1,2,3,4)ii = 非 0 且与123, 均正交，则秩1234( , , , ) _r = 解 记123TTTA=， A是秩为 3 的 34 的矩阵，由于i 与123, 均正交，故i 是齐次方程组 的非 0 解，由因0Ax =i 非 0，故 112341(,) ()rnr1A =，所以123
9、4(, , , )1r = 。 ( 备用) 已知 54 的矩阵 ( )1234A = ，若 ，是齐次线性方程组()131 21T =(10101T = ) 0Ax= 的基础解系，则下列命题 （1 ）13, 线性无关 （2 ）1 可由23, 线性表出 （3 ）34, 线性无关 (4) 11 2 3 4(, , )3r + = 中正确的是 （A ）(1), (3) （B ）(2), (4) （C ）(2), (3) （ D）(1), (4) 。 解：由12, 是齐次方程组 0Ax= 的解，有 ()11234 12 343132 021A =+,(*)+=0()2 1234 24010,(*)01A =+(*) (*) 得 1332 =或212303 =+，故命题（1 ）错误，故命题（2 ）正确。 由12, 是齐次方程组 0Ax = 的基础解系，知 () 2nrA = ，那么，如果()1234() 2r=rA34, 线性相关，则4k3 = ，又2133 = ，24 = ，与 ()1234() 2r rA= = 矛盾。故命题（3 ）正确 .用排除法知（4 ）11合工大（共创）线性代数冲刺 殷明 12 错误。当然也可由11 2 3 4 12(, , ) (, ,0)2rr += ，得到命题（4 ）错误。综上分析，应选（C ）. 12
