1、暨南大学数学学科 2015 年 硕士 研究生入学考试自命题科目 数学分析 考试大纲 本数学分析考试大纲适用于暨南大学数学学科各专业 （基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制轮） 硕士研究生入学考试。数学分析是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。它的主要内容包括 极限与连续 、 一元函数 的 微分学 、 一元函数 的积 分学 、 无穷级数 、 多 元函数 的 微分学 与积分学 、 含参变量积分 。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。 一、 考试的基本要求 要求考生比较系统地理解 数学分析的基本概念
2、 ， 掌握数学分析的基本理论 、 基本思想和方法 ， 具有 一定的 综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力 ，以便为以后继续学习和从事科研 奠定坚实的分析基础 。 二、 考试内容 1 极限与连续 （ 1） 极限的 、 N 定义及其证明；极限的性质及运算、 无穷小量的概念及基本性质 ； （ 2） 函数的连续性及一致连续性概念，函数的不连续点类型，连续函数的性质 的 证明及其应用； （ 3） 上、下极限概念，实数集完备性的基本定理及其应用 ； （ 4） 二元函数的极限的定义及 性质， 重极限与累次极限概念， 二元函数的连续性概念及 性质 ； （ 5） 数列极限的计算，一元与二元函数极限的计算。
3、 2 一元函数 的 微分学 （ 1） 函数的 导数 与 微分 概念 及其 几何意义 ， 函数 的 可导 、可微 与连续之间的关系； （ 2） 求 函数 （包括 复合函数 及 分段函数 ） 的 各阶 导 数与微分 ； （ 3） Rolle中值定理 、 Lagrange中值定理 、 Cauchy中值定理 、 Taylor定理及其应用 ； （ 4） 用 导数研究函数的单调性、极值 、 最值和凸凹性 ； （ 5） 用 洛必达法则求不定式极限 。 3 一元函数 的积 分学 （ 1） 不定积分的概念 及 不定积分的基本公式，换元积分法 与 分部积分法， 求 初等函 数、有理函数和 可化为 有理函数的 不定
4、 积分 ； （ 2） 定积分的概念 ， 可积条件与可积函数类 ； （ 3） 定积分的性质， 微积分 学 基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法 ， 积分 第一、二 中值定理 及其应用 ； （ 4） 用定积分计算平面图形的面积 、 平面曲线的弧长 、 旋转体的体积 、 平行截面面积已知的立体体积 、 变力做功和物体的质量 ； （ 5） 反常 积分的概念 及性质，两类反常 积分 的 比较判别法 、 阿贝耳 判别法和 狄 立克雷 判别 法 ，两类反常 积分 的计算。 4 无穷级数 （ 1） 数项级数敛散性的概念 及 基本性质 ； （ 2） 正项级数 收 敛 的充分必要条件、 比较 原则、比式 判别
5、法 、 根式 判别法 与 积 分判别法 ； （ 3） 一般 数 项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系 ， 绝对收敛级数的 性质 ， 交错级数的 莱布尼兹 判别法 ，一般数 项级数 的阿贝耳 判别法和 狄立 克雷 判别 法； （ 4） 函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的 Weierstrass 判别法 、 Cauchy 判别法 、 Abel 判别法 和 Dirichlet 判别法 ； （ 5） 幂级数 的 收敛半径 、收敛域的求法 ， 幂级数 的性质与运算；函数的 幂级数 展开及 幂级数 的和函数的性质与求法； （ 6） 周期函数的 Fourier 级数展开及 Fourier
6、级数 收敛定理 。 5 多 元函数 的 微分学 与积分学 （ 1） 多元函数 的 偏导数和全微分的概念 、几何意义与应用 ， 连续、可微与可偏 导之间的关系， 多元函数的偏导数 （包括高阶偏导） 与全微分 的计算， 方 向导数与梯度的定义与计算 ； （ 2） 多元函数 的无条件 极值 、中值定理与泰勒公式； （ 3） 隐函数存在定理 及 求 隐函数 的偏导数 ； （ 4） 曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 ； （ 5） 重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算 ； （ 6） 格林 公式 、高斯 公式和 斯托克斯 公式及其应用。 6 含参变量积分 （ 1） 含参变量 正常 积分的 概念 及 性质； （ 2） 含参变量 反常 积分一致收敛的概念及其判别法 ， 一致收敛的含参变量 反常 积分的性质及其应用 。 三、 考试题型 填空题 、单项 选择题、计算题 、 证明题。 四 、考试方法和考试时间 采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。 五、 主要参考教材 数学分析：数学分析 第四版，上、下册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2011
