1、第33卷第2期 2015年4月 江 西 JIANGXI 科 学 SCIENCE V0133 No2 Apr2015 doi：1013990jissnl0013679201502018 夹层环形板非线性弯曲问题的数值分析 杨静宁，张亚民，胡晓伟，谭 杰 (兰州理工大学理学院，730050，兰州) 摘要：基于Reissner理论，应用变分原理得到了夹层环形板的基本控制方程，采用打靶法求得了夹层环形板在 外边缘夹紧固定，内边缘自由边界条件下的非线性弯曲问题数值解，最后讨论了不同几何、物理参数对夹层环 形板弯曲问题的影响。 关键词：夹层环形板；非线性；打靶法；数值解 中图分类号：03438 文献标识码
2、：A 文章编号：10013679(2015)0222004 Numerical Analysis for The Nonlinear Bending Problem of Annular Sandwich Plates YANG Jingning，ZHANG Yamin，HU Xiaowei，TAN Jie (School of Science，Lanzhou University of Technology，730050，Lanzhou，PRC) Abstract：This paper is based on the theory of Reissner，using variational
3、principle，we get the gover ing equations of the annual sandwich plateA numerical solution of the nonlinear bending of the an nual sandwich in which the external border is clamped and the inner edge is free is obtained with shooting methodIn addition，the effect of the geometric and physical parameter
4、s on the bending problem of the annual sandwich plate is discussed Key words：annular sandwich plate；nonlinear；shooting method；numerical solution 0 引言 自20世纪40年代以来，各种复合材料以及 复合材料结构相继问世并迅速在各个领域得到了 广泛应用。作为一种新型结构元件，夹层结构不 仅具有比强度高、比刚度大等优点，还有很好的吸 音、抗腐蚀、隔热、耐疲劳等特性，因此在航空、航 天和船舶工业等工程领域得到了愈来愈广泛的应 用。近几十年来，国内外诸多学者对
5、夹层结构做 了大量工作，在等厚度板壳问题上，其中Reiss ner_1 建立了具有软夹心的复合材料夹心矩形板 弯曲问题的非线性理论，程华 对大挠度、软夹 心的复合材料夹层板的弯曲问题，引入了夹心弹 性支撑作用对变形和应力的修正，提出了一种新 的修正的Reissner理论，使计算更为精确、简便。 刘人怀 应用变分法导出具有软夹心的夹层矩 形板的非线性弯曲理论的基本方程和边界条件， 用摄动法研究了横向均布载荷作用下简支夹层矩 形板的非线性弯曲问题，得到了相当精确的解析 解。文献49先后讨论了夹层圆板、夹层环形 板和夹层矩形板的非线性弯曲和振动问题。本文 在Reissner理论基础上，应用变分原理得
6、到均布 载荷作用下夹层环形板的基本控制方程，采用打 靶法求得了夹层环形板的大挠度问题的数值解， 收稿日期：20150129；修订日期：20150310 作者简介：杨静宁(1969一)，男，甘肃静宁人，副教授，硕士生导师，主要研究方向：复合材料结构的非线性力学分析。 基金项目：国家自然科学基金项目资助人(05020317)，项目名称：功能梯度材料结构的非线性稳定性理论分析。 第2期 杨静宁等：夹层环形板非线性弯曲问题的数值分析 221 讨论了不同的几何、物理参数对夹层环形板弯曲 问题的影响，得到了夹层环形板内边缘处无量纲 挠度与无量纲载荷的非线性特征关系曲线和径 向、环向应力的关系曲线。 1 基
7、本方程 如图1所示，考虑在均布载荷q作用下的夹 层环形板。外半径为口，内半径为b，其夹心的厚 度为h ，表层的厚度为t(假设 。)。以r表示 径向坐标。在分析夹层环形板的大挠度变形时， 采用板的Reissner理论，即假定：1)材料服从胡克 定律；2)夹层环形板表层处于薄膜应力状态；3) 夹心横向不可压缩；4)夹心沿板面方向不能承受 载荷；5)板中面的法线在变形时保持为直线。 l l l J l Jl l l 一6一 i l 1 夹层环形板的几何尺寸(一半 彤) 在上述假设基础上，应用变分原理可得到在 均布载荷作用下的大挠度控制方程 Dr d_1 d r dw=2 (1一 D r d 1 d)
8、 (ror，。警)+ 1 q ) (1) d了l d(F20“)：一 (警)。 (2) 了 一 z 其中： Eth E du M 1 ， ro Z“r+ + ( dr) 舯= + du+ ( dr-dr) 舯 l了+ +芎 考虑外边缘为夹紧固定，内边缘自由的夹层 环形板，边界条件为 当r=0时， =0， ：0，M=0 (3) 当r=埘，g =Do(警+ 予)=0， ，o=o (4) 其 = +(1 一 2t ，。 一g 二 一 dr 2G2h0o dr。 为方便计算，引入下列无量纲 p= ， = ，s，= P= D ， 则式(1)、式(2)以及边界条件式(3)、式(4)的无 量纲形式分别为 p
9、 d l d dV+d 1 d(ps, dV)-pS,4o P p + 警-P(p (5) p d 1 d 5r)+( 。 (6) 当P=1时， =0 Sr dV+(1一卢 )P+ dW=。， 警+(1 Ls，=0 (7) 当P= 时， dSr+I卢：L，“d V+2 s _0(8) 引入微分算子()=p d 1 d()，则式 (5)、式(6)也可表示为 dg)+(kL-1)(pJs 警 )= 0 (9) L(p2s，)+( dig) =0 (10) 2 问题的求解 将式(9)、式(10)可记为下列标准形式的一 阶常微分方程的初值问题 dY=1t(1，p；P)( p1) (11) 取P= 处的
10、值作为初值 l，(卢)=V1 I2 一( +等) 一2 P 0 正) (12) (V )为未知参数，而在P=1处应满足条 件 222 江西科学 2015年第33卷 Yl=0， y4Y2+(1一JB )P+Y2=0，Y5+(1 。 一 )Y4=0 (13) 其中 Y4 y5 =I v 垫I 2 H=Y2 Y3 1 Y5 2 式中： = (一3 一Y；)， P y 一Y，一 _y y2p+ 。 YzY5+T4Y3+PY2v2+2py5Y3+PYnY2+P(P 一 ) 显然式(11)式(13)与式(7)式(10)等价。 对于给定的控制方程，采用四阶Runge-Kutta 积分格式和NewtonRap
11、hson迭代法有机结合，建 立联立数值求解问题(11)(12)的数值计算过 ， 程，从而获得问题(11)(12)在数值意义上的精 确解。对于这类非线性常微分方程两点边值问题 。 的打靶法求解过程的论述可见文献101 1。 3 数值结果及讨论 本文采用打靶法求得了夹层环形板在外边缘 为夹紧固定，内边缘自由情况下非线性弯曲问题 的数值解。在计算过程中，误差控制限定为10。 图2给出了不同 值下的无量纲载荷和挠度 的特征关系曲线。可以看出，夹层环形板的特征 曲线呈单调上升，且在同一载荷下，挠度 随孔 半径 的增大而增大，而当中心孔较大时，结果则 相反 00 0 5 1 0 1 5 20 2 5 3
12、0 35 40 4 5 5 0 (t=03，k=005) 图2 不同JB值下的特征关系曲线 l 2 3 4 5 6 7 (x=03，p=O3) 不同 值下的特征关系曲线 00 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 30 W ( =03，k=005) 图4外边缘处的径向应力曲线 00 U 5 l U 1， 2 U 2) 3U ( =03， =005) 图5外边缘处的环向应力曲线 图3给出了不同 值下的无量纲载荷和挠度 的特征关系曲线。可以看出，对于给定的无量纲 载荷P， 值越大，环板的内边缘挠度越大，非线 性特征越明显。 图4、图5分别给出了外边缘处的径向和环 向的应力曲线。可以看出，夹层环形
13、板外边缘的 径向应力和环向应力随挠度 的增大而增加。 中心孔等大小时，其值随着 的增大而增加。 参考文献： 1 E ReissnerFinite deflection of sandwich platesJJ O 5 0 5 0 5 0 如 =2 加 伽 瑚 o a 第2期 杨静宁等：夹层环形板非线性弯曲问题的数值分析 223 (上接第219页) 城市综合承载力模型，克服了多因素、多角度分析 方法的主观片面性 J，并且数据标准化消除了单 位量纲对数据分析的影响，熵值法计算指标权重 系数更加强了分析结果的客观性。 本文把鄱阳湖生态经济区32个县(市)划分 了承载力强、较强、中等、弱四个等级，从划
14、分的结 果来看，承载力强弱程度由城市中心向周边城市 递减，符合鄱阳湖生态经济区发展状况，因此物元 模型研究鄱阳湖生态经济区的城市综合承载力是 可行的。 由于城市综合承载力评价是一项复杂性的工 作，本文指标体系构建还有待进一步完善，而且物 元模型中各指标的标准值的确定也有待深入探 讨。 参考文献： 1 高红丽成渝城市群城市综合承载力评价研究 D重庆：西南大学图书馆，2011：12 2 傅鸿源，胡焱城市综合承载力研究综述J城市 问题，2009(5)：2731 3 石忆邵，尹昌应，王贺封，等城市综合承载力的研 究进展及展望J地理研究，2013(1)：133145 4 王丹，陈爽城市承载力分区方法研究
15、J地理科 学进展，2011(5)：577584 5 欧朝敏，刘仁阳长株潭城市群综合承载力评价 J湖南师范大学：自然科学学报，2009(3)：108 112 6 翁美娥福州城市综合承载力评价D福州：福建 师范大学，2013：4161 7 苑涛，何秉字干旱区水资源承载力分析及应用 J水土保持研究，2007(3)：341345 8 冯波物元模型在综合评价旅游环境承载力中的应 用J环境科学导刊，2010(2)：8992 9 余敦，陈文波基于物元模型的鄱阳湖生态经济区 土地生态安全评价J应用生态学报，2010(10)： 26812685 10谭波长株潭城市群土地综合承载力评价研究 D长沙：湖南师范大学，2006：3334 1 1卢真珍基于物元模型的高校教育用地集约利用评 价研究D南昌：江西师范大学，2013：2425 12张会涓基于可拓物元模型的区域水环境承载力研 究D南京：南京农业大学，2011：3032 13李东序城市综合承载力结构模型及耦合机制研究 J可持续发展，2008(6)：3742
