1、第四节 不定方程（一） 不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数，二未知数的取值范围受某些限制（如 整数、正整数、有理数等）的方程，不定方程是数论的一个重要课题，数学竞赛中也有涉及 这方面的问题。 初等范围内，处理不定方程主要有三种方法：分解方法，同余方法，以及（不等式） 估值方法。分解方法则是最为基本的方法。 分解方法的主要功效，大致地说，是通过“分解”将原方程分解为若干个易于处理的 方程，这里说的“分解”包含两个方面的手法：其一，是代数（整式）的分解；其二，似乎 应用整数的某些性质（惟一分解定理，互素的性质等）导出适用的 fenijeze。 分解方法当然没有固定的程序可循。有时，分解相当困
2、难，或分解方式较多而难以选 择；有时，进一步的论证则很不容易。本节的一些例子就已表现了这些。 分解方法常和别的方法结合使用，请参考本单元及后面的一些例子。 例 1 一个正整数，加上 100，为一完全平方数，若加上 168，则为另一个完全平方数， 求此数。 例 2 求不定方程： 4 4 4 22 22 22 2 2 2 24 xyz xy yz xz += + + + 的全部整数解。例 3 证明：两个连续正整数之积不能是完全平方，也不能是完全立方。 证明： 反证法，我们假设有正整数x、 y ，使得 2 ( 1) xx y += 。 将方程两边乘以 4，得： 2 2 (21) 4 1 x y +=
3、 + ，这可分解为 (212)(212)1 x yx y + +-= 。 右边两个因数都是正整数，故有 2121, 2121. x y x y += +-= 解得 0 xy = ，矛盾，这就证明了问题中的第一个断言。 然而，对于方程 3 ( 1) xx y += 。 上面的分解方法不易奏效。我们采用另一种（基于数的性质的）分解：设所说的方程有正整 数解 , xy，则对于x和 1 x+ 互素，而它们的积是一个完全平方，故x和 1 x+ 都是正整数的 立方，即 3 xu = ， 3 1 x v += ， yuv = , uv都是正整数，由此产生 2 2 1 vu -= ，故 2 2 ( )( )1
4、 vuvuvu - += 。 这显然不可能，不难看到，用类似的论证，可证明连续两个正整数之积不会是整数的k 次幂 （这里 2 k ）。 判断一个乘积中的各个因数互素往往非常重要。下面的例 4，例 5均是如此。 例 4 证明：方程 2 2 3 yyxxx +=+ 没有 0 x 的整数解 证明：设方程有 0 x 的整数解，将它分解为 3 ( )( 1) yxxy x - += 我们先证明( , 1)1 yxyx - += 。 若上式不成立， 则存在素数 p 为 yx - 与 1 yx + 的一个 公约数，由知 3 | px 。故素数 p 整除x ，结合 |( ) pyx - 知 | py ，但 |
5、( 1) pxy + ，从 而 |1 p ，这不可能。故的左边两因数互素。因的右边是一个完全立方，从而有素数a、 b ，使得 3 yxa -= ， 3 1 yx b += ，xab = 。 消去x、 y 得到 3 3 2 1 ba ab -= + 现在证明方程无整数解将分解为： 2 2 ( )( )2 1 bababa ab - += + 注意xab = ，且 0 x ，故 0 ab 。若 0 ab ，则由易知 0 ba - ，因a、b 为整数， 故 1 ba - ，于是的左边 2 2 3 baba ab + 右边；若 0 ab ，因右边的绝对值 2| | ab ，除非 2 x= ；但 2 x
6、= 时断言显然成立， 从而 3 k = 时结论成立。 对 4 k ，我们有： 3 2 3 2 3 2 3 3 3 1 2 3 ( 1)( 2)( 2)( 1)( 1) 2 2 ( 1)1) ( 1) ( 1) ( 1) k k k k k k k k k k k k k x xx a a a a aa aka a ka a ka kaa - - +=- - + =- -+- = -+- -+ - - - （为了看出最后一步，我们注意，因x为偶数，故a是奇数且 3 a 。当 3 a= 时，易知这成 立；当 5 a 时，由 4 k 知 3 1 12 1 32(1) 2 ( 1) ( 1)( 1)
7、( 1) k k k k k a a aa a a a - - - - - =- + - 。） 综合（）及（），我们便证明了，在 3 k 时，连续四个正整数之积不是k 次幂，在 2 k = 时，这结论的证明甚为容易，请读者自己完成。 习题 1. 证明：连续四个正整数之积不能是一个完全平方 证明：设 2 ( 1)( 2)( 3) xx x x y + += ，其中 , xy 都是正整数，则有 2 2 2 ( 31) 1 x x y +-= ，易知这不可能2. 求出所有可以表示为两个整数平方差的整数 解设整数n可以表示为两个整数的平方差： 3. 求不定方程组 3 3 3 3, 3 xyz xyz += += 的全部整数解。 解：从方程中消去z ，得到 2 2 2 2 8993 6 3 0 xz x xyyxyxy -+-= 变形为： 2 83(3)3(3) (3) (3)0 x x y xxyxy x - - -+ -+ -= 即： 2 (3)(33 )8 xxyxyy - +-= 。故(3)|8 x - ，从而3 1, 2, 4,8 x -= 。即 5, 1,1,2,4,5,7,11 x=- 。逐一带入原方程组检验，可求出全部整数解为 (,)(1,1),(5,4,4),(4,5,4),(4,4,5) xyz = - - -
