1、Nonlinear time series Introduction 门限自回归模型 (Threshold AR) 平滑转换自回归模型 (Smoothing Transition AR) 非线性模型的设定与检验 STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇1Introduction 考虑如下情形：（ 1）假设利率制定规则为： R=alpha0+alpah1*defla+alph2*gdp+u。如果在通胀率处于不同状态下，央行政策（利率）对通货膨胀率和经济发展（ GDP增长率）的反应是不同的。（ 2）假设两个市场的价格差按照 AR(1)运行，即 :dp(t)=alpha0+alph
2、a1*dp(t-1)+u(t)由于交易成本，只有 dp超过一定幅度时，偏离才会作出修正。（ 3）市场价格收益率按照 AR(1)运行，即 :dp(t)=alpha0+alpha1*dp(t-1)+u(t)如果 dp对正向冲击与负向冲击的反应不同（非对称），应如何设定？（ 4）消费模型：consume(t)=alpha0+alpha1*income(t)+u(t)如果 D.income0,D.consume0。 D.income1，但 y是一个平稳过程。(2)虽然模型中没有常数项，但过程不是 0均值。（ 3） y取正数的比例远高于 y取负数的比例。 Y为几何遍历过程的充要条件（ geometric
3、ally ergodic） : alpha11, beta11, alpha1*beta11。 过程的均值是两种体制均值的加权，权数则是 y处于两种状态的概率。 STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇9门限自回归（ TAR） 门限参数设定落在门限变量的某个区间 ,比如 0.15,0.85分位数。 延迟参数 d可以与门限参数一起估计。由于 d只能取正整数，其 ols估计量具有超一致性。 STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇10TAR modelExmaple1: Hansen(1997):Inference in TAR model. use usune
4、m, clear. keep if tin(1959m1, 1996m7). gen q=L.y-L12.y. forvalues i=1/12 2. gen Liy=LiD.y3. . gen z=1. threg D.y , rx(z L1y-L12y) thrvar(q) thnum(1) grid(300). matrix LR=e(LR). _matplot LR, columns(1 2) yline(7.35, lpattern(dash) connect(direct) msize(small) mlabp(0) mlabs(zero) STATA应用高级培训教程 南开大学数量
5、经济研究所 王群勇11TAR model 练习：（ 1）模拟 tar数据，并进行回归；（ 2）回归 TAR模型. Use vec,clear. Gen ly=l.dlnftap. Gen l2y=l2.dlnftap. threg dlnftap , rx(ly l2y) thrvar(ly) iters(20) STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇12SETAR(Self-exciting TAR)( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )0 1 1 1 2( ) ( ) ( )0 1 1 1,: , o p e n - l o
6、o p T A R m o d e lt p t p t t dt p t p t t dtk k kt p t p t k t dt d ty y u i f yy y u i f yyy y u i f yN o t e i f y z STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇13SETAR 设定检验 H0: linear model;H1: SETAR model with k thresholds. 由于冗余参数 gamma,LR不服从卡方分布。可以利用Andrews(1983)， Andrews and Ploberger(1994)的方法计算Sup(LR(t),
7、Ave(LR(t)或 Exp(LR(t)，并计算其临界值和 p值。00( 1 , ., ) ( 1 , ., ) ( 1 , ., )1 0 1 110( , . , , )( , . , , , , . , )2( )pi k i k i kpkL nL L nLL nL L nLL R L nL L nL STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇14平滑转换自回归 设定 门限回归中，变量在不同状态下进行转换。这种转换是在某一期实现完全的转换，即直接从一种状态跳跃到另外一种状态，称之为突变。 平滑转换自回归模型中，变量逐渐地从一种状态过渡到另外一种状态，称之为渐变。其方法是
8、引入平滑转换函数。 1212( ) ( ( ) ) ( , ) , 0: ( , ) 1 e xp ( ): ( , ) 1 e xp ( )( , )0 L i ne a r A R m ode lT hr e sho l d A R m ode lt t t ttdtdy L y L y f c uL ogi st i c ST AR f c y cEx pon e nt i al ST AR f c y cfc STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇15平滑转换自回归 设定 221 2 321 2 32221 e xp ( ) , ( ) ,1 e xp ( )2 *
9、 ( 1 ) , 2 * ( ) , 2 * ( 1 )2 * * ( 1 ) * ( ) 4 * * ( 1 ) * * ( ) t t t ttttu y p p z c p Q sum ug z cQ Q Qu u g up p pQu p g z cQu p g z cc STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇16平滑转换自回归 转换函数 观察 Logistic转换函数与 Exponential转换函数的形状。c=1;gamma=2,10,50,100,200,300,400. twoway (function Logis=1/(1+exp(-10*(x-1), r
10、ange(0 2). twoway (function Exp=1-exp(-10*(x-1)2), range(0 2) STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇17平滑转换自回归 线性设定检验 Terasvirta(1994) LM statistics:p p p p231 1 2 31 1 1 1p p p21 1 21 1 1S t e p1: R e gr e ss A R ( p) m ode l , ( )S t e p2: L S T A R :EST A R :S t e p3: Htt i t i j t j t d j t j t d j t j t
11、d ti j j jt i t i j t j t d j t j t d ti j je re si dua le y y y y y y y ve y y y y y v 2220 , ,( 3 ) ( L S T A R )( 2 ) ( EST A R )N ote : D e l a y pa r a m e t e r d c a n be de t e r m a i ne d by se que nti a l L M t e stf r om t he l e a st p- v a l ueijijpL M N Rp STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群
12、勇18平滑转换自回归 模型选择 LSTAR与 ESTAR的选择（ Terasvirta(1994)） :p p p p231 1 2 31 1 1 133p p p21 1 21 1 1S te p1 :T e st t he joi nt signif ic a nc e of , 1 , ., . P r obS te p2 : t i t i j t j t d j t j t d j t j t d ti j j jjt i t i j t j t d j t j t di j je y y y y y y y vjpe y y y y y 22pp11111123T e st t h
13、e joi nt signif ic a nc e of 1 , ., . P r o bS te p3 : T e st t he joi nt signif ic a nc e of 1 , ., . P r o bI f P r ob P r obRul e : tjt i t i j t j t d tijjvjpe y y y vjp 21& P r ob P r ob E S T A RE l se , L S T A R STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇19平滑转换自回归 操作步骤（ 1） 直接设定延迟参数 d，并进行线性检验。或者在d=1,max依次进
14、行线性设定检验，最小 p值对应的 d作为最优延迟参数，并进行线性检验。（ 2）在 lstar和 estar之间进行选择。（ 3）模型估计和推断。*（ 4）模型的充分性检验。 Extension: 模型中可以包含其他外生解释变量 ,外生解释变量也可以作为转换变量 ,或者其参数随其他转换变量而变化 . STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇20平滑转换自回归 example Example 1: Terasvirta(2006), Applied Time Series Econometrics. . use german, clear. matrix b0=(-0.24, 0
15、.34, -0.20, -0.5, -1., -0.5, -0.24, -0.1, -0.1, -0.2, -0.05, -0.1, -0.01, -.16, -0.15, -0.2, -.13, 200, 0.001). smtreg D.m L(0 2)D.gnp L(0 1)D.R D.p L.ec s*, tvs(L(0 1)D.gnp L.ec) trv(D.p) init(b0) nolog Example 2: Mills(2000). use rsr20, clear. qui smtreg dlnr20, type(LSTR) tvs(L(1/2).dlnr20) trv(L2.dlnr20) nolog. estat lintest STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇21其他非线性模型的设定与检验 Q test of squared residuals. RESET test BDS test STATA应用高级培训教程 南开大学数量经济研究所 王群勇22
