1、1第 1 讲 公式法与分组分解法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2（3）立方和公式 23()；（4）立方差公式 2abab；2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式3因式分解与整式乘法的
2、区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘4因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止5因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） 探究一 公式法分解因式公式法主要由乘法公式与因式分解
3、的逆向关系，套用公式进行因式分解。（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 22；（3）立方和公式 3()；（4）立方差公式 22abab.2【典例解析】分解因式：（1） 21ab；（2） 64； （3） 8x-；【分析】由题观察式子结构可联系乘法公式，进行因式分解；【解析】：（1） 21ab+-=2()ab (1)()ab；(2) 64= )2(44222 a；(3) 38()()xxx-+；【解题反思】进行因式分解首先要善于观察和联系，同时要熟记乘法公式，注意因式分解的一般步骤。【变式训练】1.分解因式：（1） 3234abab；（2） 5x-； （3） 378 ； （4） 4
4、1ab；提示：（先提取公因式再运用立方和公式： 322()abab） 3【点评】(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 327()b，这里逆用了法则 nab；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号探究 2 分组分解法（1）分组后能提取公因式的【典例解析】把 22()()abcdabcd分解因式。【解析】：分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。 2222()()c abcd()()()()abdabcdabdca【点评】分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公
5、因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。（2）分组后能直接运用公式【典例解析】把 2248xyz分解因式。【点评】如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。【变式训练】1.分解因式：（1） 321x； （2） 2xy；（3） 93x； （4） yx2；（5） 4；4（6） 22456xyxy；【解析】（1） (1)； （2） 2()2)xyxy；（3） ()3；（4） -；（5） 24x 24x 2()4(1)xx 22()4(1)x (1) 1；（6） 2256yy= 22()56yy (4)()3x= 3)x；
