1、1第 2 讲 一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。问题 1： 二次函数 y x2 x6 的对应值表与图象如下：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6观察：由对应值表及函数图象可知当 x2，或 x3 时， y0，即 x2 x60；当 x2，或 x3 时， y0，即 x2 x60；当2 x3 时， y0，即 x2 x60思考：这就是说，如果抛物线 y= x2 x6 与 x 轴的交点是(2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2 x60 的解就是 x12， x23；同样，结合
2、抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式 x2 x60 的解是 x2，或 x3；一元二次不等式 x2 x60 的解是2 x3上例表明：由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集问题 2：对于一般的一元二次不等式 ax2 bx c0( a0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式 0 0 02二次函数y ax2 bx c(a0)的图象一元二次方程ax2 bx c0(a0)的根有 两 相 异 实 根x1,x2(x1 x2)有 两 相 等 实 根x1 x2b2a 无实根ax2 bx c0(a0)的解集xx2 x b2a一切实数a
3、x2 bx c0(a0)的解集x1 x x2 无解 无解 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式【典例解析】解下列一元二次不等式：（1） x22 x30； （2） x x260；（3）4 x24 x10； （4） x26 x90； （5）4 x x20（4）整理，得( x3) 20.由于当 x3 时，( x3) 20 成立；而对任意的实数 x，( x3) 20 都不成立，3原不等式的解为 x3（5）整理，得 x2 x400，所以，原不等式
4、的解为一切实数【解题反思】注意一元二次不等式的解题步骤为一看（二次项系数的正负） ；二判（ 的情况） ；三算（有根求根） ； 四写出解集。【变式训练】1.解下列不等式：（1） 20x；（2） 3；【解析】（1）原不等式可化为 20x， 0，方程 2的两根是123,1x，原不等式的解集为 31xx或（2）原不等式等价于 ()300；原不等式的解集为 31x2.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标（1，3.2）及部分图象（如图所示） ，其中图象与横轴的正半轴交点为（2，0） ，由图象可知：当 时，函数值随着 x 的增大而减小；关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解是
5、【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴得出答案即可；利用关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解，即为：y时，求出 x 的取值范围求出即可【解析】二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标（1，3.2） ，图象与横轴的正半轴交点为（2，0） ，4图象的对称轴为：x=1，图象与横轴的负半轴交点为：（4，0） ；图象开口向上，a0，图象的对称轴为：x=1，当 x1 时，函数值随着 x 的增大而减小；关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解即为：y时，求出 x 的取值范围：x2 或 x4故答案为：1；x2 或 x4【点评】主要考查了利用函数图象求自变量的取值范围以及二
6、次函数的增减性等知识，根据图象得出是解题关键3.已知不等式 20()axbca的解是 2,3x或 求不等式 20bxac的解【点评】本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题54.关于 x 的一元二次不等式 2kx2+kx 0 的解集为 R，求实数 k 的取值范围【分析】 （1）由题意得 ，由此能求出实数 k 的取值范围【解析】由题意得：，不等式（2）化作：k 2+3k0，解得：3k0则实数 k 的取值范围是3k0【点评】已知不等式解集的情况，求参数。可通过根的判别式来建立不等式求参数值。5.解关于 x的一元二次不等式 210(xa为实数).【分析】对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 的符号,而这里的 是关于未知系数的代数式, 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对 的符号进行分类讨论.【解析】由 24a,当 0,即 或 时 方程 10xa2的解为；21 4,.xx所以,原不等式的解集为2,a或24ax； 当 0，即 a2 时，原不等式的解为 x ；a2综上,当 a2，或 a2 时，为原不等式的解。【点评】求解 10x，由于 含有参数，使 的值不确定，故需要对 分三种情况处理。
