1、1第 1 讲 二次函数的图像与性质二次函数 2 (0)yaxbc是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式： y ax2 bx c(a0).顶点式： y a(x m)2 n(a0)，顶点坐标为( m， n).零点式： y a(x x1)(x x2)(a0)， x1， x2为 f (x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式 y ax2 bx c(a0) y ax2 bx c(a0)图象对称性 函数的图象关于 x 对称b2a3.二次函数 y a(x h)2 k(a0)中， a 决定了二次函数图象的开口大小及方向； h 决定了二次
2、函数图象的左右平移，而且“ h 正左移， h 负右移” ； k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“ k 正上移， k 负下移” 。【高效演练】1. 抛物线 y ( x 2) 2 +3 的顶点坐标是（ ） A. (2,3) B. (2,3) C. (2，3) D. (2，3)【解析】二次函数 y a ( x h ) 2 + k ( a 0)的顶点坐标是( h ， k )，所以 y ( x 2) 2 +3 的顶点坐标是(2，3)，故选：A.【答案】A2. 把抛物线 y x 2 向右平移 1 个单位，然后向下平移 3 个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. y ( x 1) 2 +3 B.
3、y ( x +1) 2 +3C. y ( x 1) 2 3 D. y ( x +1) 2 3【解析】根据二次函数的图象平移规律可知：2把抛物线2yx向右平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为：2()yx故选 C.【答案】C3对于二次函数 y=（x1） 2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）A. 开口向下 B对称轴是 x=1C顶点坐标是（1，2） D与 x 轴有两个交点【解析】二次函数 y=（x1） 2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2） ，对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴没有公共点故选：C【答案】C4已知反比例函数 y= （a0） ，当 x0 时，它的
4、图象 y 随 x 的增大而减小，那么二次函数 y=ax2ax 的图象只可能是（ ）A BC D5如图，平面直角坐标系中，点 M 是直线 y=2 与 x 轴之间的一个动点，且点 M 是抛物线 y= x2+bx+c 的顶点，则方程 x2+bx+c=1 的解的个数是（ ）3A 0 或 2 B0 或 1 C1 或 2 D0，1 或 2【解析】分三种情况：点 M 的纵坐标小于 1，方程 x2+bx+c=1 的解是 2 个不相等的实数根；点 M 的纵坐标等于 1，方程 x2+bx+c=1 的解是 2 个相等的实数根；点 M 的纵坐标大于 1，方程 x2+bx+c=1 的解的个数是 0故方程 x2+bx+c
5、=1 的解的个数是 0，1 或 2故选：D【答案】D6若抛物线 y=2x2mxm 的对称轴是直线 x=2，则 m= 8 【解析】由题意得， =2，解得 m=8【答案】87. 已知抛物线 y ax 2 + bx + c ( a 0)的对称轴为直线 x 1，且经过点(1， y 1 )，(2， y 2 )，试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1 _ y 2 (填“” “”或“”)【解析】试题解析：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴为直线 x=1，而 1-（-1）=2，2-1=1，点（-1，y 1）离对称轴的距离比点（2，y 2）要远，y 1y 2【答案】8如图，抛物线与两坐标轴的交
6、点坐标分别为（1，0） ， （2，0） ， （0，2） ，则抛物线的对称轴是 ；若 y2，则自变量 x 的取值范围是 4【解析】抛物线与 x 轴的交点坐标分别为（1，0） ， （2，0） ，对称轴为 x= = ；抛物线与 y 轴的交点坐标分别为（0，2） ，对称轴为 x= ，抛物线还经过点（1，2） ，y2，则自变量 x 的取值范围是 0x1，【答案】x= ，0x19.某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数 623,054mx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件销售价 x之间的函数关系式；(2) 若商场
7、要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？10.在数学拓展课上，小明同学根据学习函数的经验，对新函数 y=x22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：【初步尝试】求二次函数 y=x22x 的顶点坐标及与 x 轴的交点坐标；【类比探究】当函数 y=x22|x|时，自变量 x 的取值范围是全体实数，下表为 y 与 x 的几组对应值x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 1 0 3 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；5根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质【深入探究】若点 M（
8、m，y 1）在图象上，且 y10，若点 N（m+k，y 2）也在图象上，且满足 y23 恒成立，求 k 的取值范围【分析】利用配方法将 y=x22x 化为顶点式，即可求出顶点坐标，令 y=0，解方程 x22x=0，求出 x 的值，即可得出抛物线与 x 轴的交点坐标；类比探究：根据表中数据描点连线，即可画出该函数图象的另一部分；根据画出的函数图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；深入探究：根据图象可知 y10 时，2m2；y 23 时，m+k3 或 m+k3，根据不等式的性质即可求出 k 的取值范围【解析】 【初步尝试】y=x 22x=（x1） 21，此抛物线的顶点坐标为（1，1）
9、；令 y=0，则 x22x=0，解得 x1=0，x 2=2，此抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0） ， （2，0） ；【类比探究】如图所示：函数图象的性质：61图象关于 y 轴对称；2当 x 取 1 或1 时，函数有最小值1；【深入探究】根据图象可知，当 y10 时，2m2，当 y23 时，m+k3 或 m+k3，则 k5 或 k5故 k 的取值范围是 k5 或 k5【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键11. 【问题情境】已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少
10、？【数学模型】设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数表达式为 y=2（x+ ） （x0） 【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 y=x+ 的图象性质（1）结合问题情境，函数 y=x+ 的自变量 x 的取值范围是 x0，下表是 y 与 x 的几组对应值x 1 2 3 m y 4 3 2 2 2 3 4 写出 m 的值；画出该函数图象，结合图象，得出当 x= 1 时，y 有最小值，y 最小 = 2 ；提示：在求二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到试用配方法求函数 y=x+ （x0）的最小值，解决问题（2）【解决问
11、题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论7【分析】 （1）由题意可得 m=4；根据图象所反映的特点写出即可；根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b） 2=a2+2ab+b2，进行配方得到 y=2（ ） 2+2 ，即可求出答案；【解析】 （1）由题意 m=4函数 y=x+ 的图象如图：观察图象可知，当 x=1 时，函数 y=x+ （x0）的最小值是 2 故答案为 1，2y=x+ = = +2x0，所以 0，所以当 x=1 时， 的最小值为 0，函数 y=x+ （x0）的最小值是 2（2）y=2（ ） 2+2 =2（ ） 2+4 ，当 = 时，y 的值最小，最小值为 4 ，当 x= 时，y 的值最小，最小值为 4 ，8答：矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是 4 【点评】本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键
