1、1小专题(三) 求二次函数的解析式求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式:1 .若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;2 .若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式;3 .若给出抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标或给出对称轴、两交点的距离,通常可设交点式;4 .若抛物线进行了平移,可设平移式 .类型 1 三点型1.已知一个二次函数的图象经过 A(1,0),B(0,6),C(4,6)三点,则这个抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6 . 2.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)与坐标轴交于点 A,B,C 且 OA=1,OB=OC=3,求二次函
2、数的解析式 .解:根据题意及函数图象可得,点 A 的坐标为( -1,0),点 B 的坐标为(3,0),点 C 的坐标为(0, -3),把 A,B,C 三点坐标分别代入二次函数 y=ax2+bx+c 中,可得 c=-3,解得 二次函数的解析式为 y=x2-2x-3.3.若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表:2x -5 -4 -3 -2 -1 0y -3 3 5 3 -3 -13求这个二次函数的解析式 .解:把点(0, -13)代入 y=ax2+bx+c 得 c=-13,再把点( -4,3),(-3,5)代入,得解得所以抛物线解析式为 y=-2x2-12x-13.类
3、型 2 顶点型4.一个二次函数的图象的顶点坐标是(1, -4),且过另一点( -1,4),则这个二次函数的解析式为(B)A.y=-2(x-2)2+4B.y=2(x-1)2-4C.y=2(x+2)2-4D.y=2(x+2)2-45.已知二次函数的图象经过点 A(-2,4),B(4,4),且函数有最大值 13,求这个二次函数的解析式 .解:由题意知,该函数图象的对称轴是直线 x=1,顶点是(1,13),设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+13,根据题意得 9a+13=4,解得 a=-1.故二次函数的解析式为 y=-(x-1)2+13.36.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图
4、所示 .请你根据图象提供的信息,求出这条抛物线的解析式 .解:由图象可知抛物线的对称轴为 x=1,设抛物线的表达式为 y=a(x-1)2+k. 抛物线经过点( -1,0)和(0, -3), 解得 抛物线的表达式为 y=(x-1)2-4.类型 3 交点型7.已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点( -1,0),(1,-2).(1)求该二次函数的解析式;4(2)当 y 随 x 的增大而增大时,求 x 的取值范围 .解:(1)根据题意,得解得所以所求的二次函数的解析式为 y=x2-x-2.(2)因为 y=x2-x-2=,所以对称轴为 x=,所以当 x时, y 随 x 的增大而增大 .8.如图
5、,已知二次函数的图象与 x 轴交于 A(2,0),B(6,0)两点,与 y 轴交于点 D(0,4).(1)求该二次函数的解析式;(2)写出该抛物线的顶点 C 的坐标;(3)求四边形 ACBD 的面积 .解:(1)二次函数的解析式为y=(x-2)(x-6)=x2-x+4.(2)y=x2-x+4=(x-4)2-,所以该抛物线的顶点 C 的坐标为 .(3)S 四边形 ACBD=S ADB+S ACB=44+4.类型 4 平移型9.将抛物线 y=-3x2+6x+5 先向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 .(1)求平移后抛物线的解析式;(2)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与 y 轴的交点坐标;
6、(3)对于平移后的抛物线,当 x 取何值时, y 随 x 的增大而减小?5解:(1) y=-3(x+1)2+9.(2)由(1)知平移后抛物线解析式是 y=-3(x+1)2+9=-3x2-6x+6,所以该抛物线的对称轴是直线x=-1,与 y 轴的交点坐标是(0,6) .(3)由(2)知,抛物线的对称轴是直线 x=-1,且抛物线开口向下,所以当 x-1 时, y 随 x 的增大而减小 .10.(杭州中考)设函数 y=(x-1)(k-1)x+k-3(k 是常数) .(1)当 k=1 和 2 时的函数 y1和 y2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出 k 取 0 时的函数的图象;(2)根据图象,写出你发现的一条结论;(3)将函数 y2的图象向左平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位,得到函数 y3的图象,求函数y3的最小值 .解:(1)图略 .(2) 图象都过点(1,0)和点( -1,4); 图象总交 x 轴于点(1,0); 函数 y=(x-1)(k-1)x+(k-3)的图象都经过点(1,0)和( -1,4).(答案不唯一,合理即可)(3)平移后的函数 y3的解析式为 y3=(x+3)2-2,所以当 x=-3 时, y3取最小值 -2.
