1、1习题课 匀变速直线运动规律的综合应用匀变速直线运动规律的应用要点归纳 1.匀变速直线运动四个常用公式的比较公式 一般形式 v00 时涉及的物理量不涉及的物理量速度公式 vt v0 at vt at vt、 v0、 a、 t 位移 x位移公式 x v0t at212x at212 x、 v0、 t、 a 末速度 vt速度与位移的关系式v v 2 ax2t 20 v 2 ax2tvt、 v0、 a、 x 时间 t平均速度求位移公式x tv0 vt2x tvt2x、 v0、 vt、 t 加速度 a2.常用公式的三点说明(1)表中四个公式共涉及匀变速直线运动的初速度 v0、末速度 vt、加速度 a、
2、位移 x 和时间t 五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向(通常取 v0方向为正方向)，并注意各物理量的正负。2(2)灵活选用公式，已知五个量中任意三个可求另外两个。(3)速度公式和位移公式是两个基本公式，利用这两个公式可求解匀变速直线运动的所有问题，而灵活选用其他公式可在某些具体问题中大大简化解题过程。精典示例例 1 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是 24 m和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求物体的初速度和末速度及加速度。解析 法 1 基本公式法如图所示，由位移公式得x1 vAT aT212x2 vA2T a(2T)2(
3、 vAT aT2)12 12vC vA a2T将 x124 m， x264 m， T4 s 代入以上三式解得 a2.5 m/s 2， vA1 m/s， vC21 m/s法 2 平均速度法连续两段相等时间 T 内的平均速度分别为1 m/s6 m/sv x1T 2442 m/s16 m/sv x2T 644且 1 ， 2v vA vB2 v vB vC2由于 B 是 A、 C 的中间时刻，则vB m/s11 m/svA vC2 v 1 v 22 6 162解得 vA1 m/s， vC21 m/s加速度 a m/s22.5 m/s 2vC vA2T 21 124法 3 逐差法由 x aT2可得 a
4、m/s22.5 m/s 2 xT2 64 24163又 x1 vAT aT212vC vA a2T联立解得 vA1 m/s， vC21 m/s答案 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s 2(1) 适用于任何形式的运动。v xt(2) 只适用于匀变速直线运动。v v0 vt2(3)用平均速度求位移，因为不涉及加速度，比较简单方便。 x t t 也是矢量式。v v0 vt2(4) x aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。(5)实验中根据打出的纸带求物体的加速度时常用到推论式 x x aT2。 针对训练 1 如图 1 所示，木块 A、 B 并排且固定在水平桌面上
5、， A 的长度是 L， B 的长度是2L。一颗子弹沿水平方向以速度 v1射入 A，以速度 v2穿出 B。若子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动。则子弹穿出 A 时的速度为( )图 1A. B.2v1 v23 2v12 v223C. D. v12v12 v223 23解析 设子弹的加速度为 a，则：v v 2 a3L2 21v v 2 aL2A 21由两式得子弹穿出 A 时的速度vA ，C 正确。2v12 v223答案 C运动图像问题4要点归纳x t 图像与 v t 图像的比较比较内容 x t 图像 v t 图像图像物理意义 反映的是位移随时间的变化规律反映的是速度随时间的变化规律 表示物体
6、从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并超过零位移处表示物体先做正向匀减速直线运动，再做反向匀加速直线运动 表示物体静止不动表示物体做正向匀速直线运动表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动物体的运动性质 表示物体做加速直线运动表示物体做加速度逐渐增大的加速运动图像与坐标轴围成的“面积”的意义无实际意义 表示相应时间内的位移精典示例例 2 (多选)物体甲的 x t 图像和物体乙的 v t 图像如图 2 所示，则这两物体的运动情况是( )图 2A.甲在整个 t6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 mB.甲在整个 t6 s 时间内有往返运动，
7、它通过的总位移为零5C.乙在整个 t6 s 时间内有往返运动，它通过的总位移为零D.乙在整个 t6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 m思路指导 解答该题时应先区分两个图像是 x t 图像还是 v t 图像，再结合图像的斜率、截距以及交点的物理意义进行分析。解析 甲图为 x t 图像，图像的斜率表示速度，甲的斜率一直为正，故甲的运动方向不变，通过的总位移大小为 4 m，A 正确，B 错误；乙图为 v t 图像，速度有正负，表示有往返运动。 v t 图像中图线与时间轴所围面积表示位移的大小，在整个 t6 s 时间内乙通过的总位移为零，C 正确，D 错误。答案 AC运动学图像的
8、“五看”x t 图像 v t 图像轴 纵轴为位移 x 纵轴为速度 v线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动斜率 表示速度 表示加速度面积 无实际意义 图线与时间轴围成的面积表示位移纵截距 表示初位置 表示初速度针对训练 2 某高考考生进入考场后发现自己忘记带准考证了，他立即从考场出来，先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动跑向班主任，在班主任处拿好准考证后再匀速回到考场，关于该考生的运动情况，下列图像一定不正确的是( )解析 该考生先加速后同方向减速，再反方向匀速，故初、末的速度方向应相反，A 正确，B 错误；由于是先匀加速后匀减速，故其对应的位移时间图像是两段抛物线，在班主任
9、处停留一会，后匀速反向运动，故 C 正确；由于考生先匀加速后匀减速运动，故考生由考场到刚跑到班主任处过程加速度时间图像是两直线，之后加速度为零，D 正确。答案 B追及和相遇问题6要点归纳 两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。1.抓住一个条件、用好两个关系(1)一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。(2)两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。2.
10、常用方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。(2)图像法：将两者的 v t 图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为 t，根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别式进行讨论。若 0，即有两个解，说明可以相遇两次；若 0，说明刚好追上或相遇；若 0，说明追不上或不能相碰。精典示例例 3 一辆汽车以 3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以 6 m/s 的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求：(1)汽车在追上自行
11、车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？思路指导 讨论追及和相遇问题，实质是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。要注意两物体的时间、位移和速度关系，速度相等往往是分析判断的切入点。解析 (1)法 1 基本规律法汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为 t1，汽车的速度为 v1，两车间的距离为 x，则有v1 at1 v 自所以 t1 2 sv自a x v 自 t1 at 6 m12 217法 2 相对运动法以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
12、初速度 v0 v 汽初 v 自 06 m/s6 m/s末速度 vt v 汽车 v 自 0加速度 a a a 自 3 m/s 2所以最大距离 x 6 m负号表示汽车在后。经历的时间 t 2 svt v0a法 3 极值法或数学分析法设汽车在追上自行车之前经过时间 t1两车相距最远，则 x x1 x2 v 自 t1 at12 21代入已知数据得 x6 t1 t3221由二次函数求极值的条件知 t12 s 时， x 最大所以 x6 m法 4 图像法自行车和汽车运动的 v t 图像如图所示，由图可以看出，在相遇前， t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，t1 s2 sv1a
13、63 x m6 mv1t12 622(2)法 1 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为 t2，汽车的瞬时速度为 v2，则有v 自 t2 at12 28解得 t2 s4 s2v自a 263v2 at234 m/s12 m/s法 2 由图可以看出，在 t1时刻之后，由图线 v 自 、 v 汽 和 t t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知 t22 t14 s， v2 at234 m/s12 m/s。答案 (1)2 s；6 m (2)4 s；12 m/s针对训练 3 已知 A、 B 两列火车，在同一轨道上同向行驶
14、， A 车在前，其速度 v110 m/s， B 车在后，速度 v230 m/s， B 车在距 A 车 x075 m 时才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但 B 车要经过 x180 m 才能停下来。(1)B 车刹车时 A 仍按原速率行驶，两车是否会相撞？(2)若相撞，求 B 车从开始刹车到两车相撞用多少时间？若不相撞，求两车的最小距离。解析 (1)设 B 车加速度大小为 aB，刹车至停下来的过程中，由 v 2 aBx2解得： aB2.5 m/s 2B 车在开始刹车后 t 时刻的速度为 vB v2 aBtB 车的位移 xB v2t aBt212A 车的位移 xA v1t设 t 时刻两车速
15、度相等， vB v1解得： t8 s将 t8 s 代入得 xB160 m， xA80 m因 xB xA x0155 m故两车会相撞。(2)设 B 车从开始刹车到两车相撞所用时间为 t，则满足xB xA x09代入数据解得： t16 s， t210 s(不符合题意)故 B 车从开始刹车到两车相撞用时 6 s。答案 见解析1.汽车以 20 m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为 5 m/s2，那么开始刹车后2 s 内与开始刹车后 6 s 内汽车通过的位移之比为 ( )A.11 B.13 C.34 D.43解析 汽车从刹车到停止用时 t 刹 s4 s，故刹车后 2 s 和 6 s 内汽车
16、的位移分v0a 205别为 x1 v0t at2202 m 522 m30 m， x2 v0t 刹 at 204 m 542 12 12 12 2刹 12m40 m， x1 x234，故 C 正确。答案 C2.下列所给的图像中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( )解析 A 为位移时间图像，图线与 t 轴相交的两个时刻即为相同的初始位置，说明物体回到了初始位置；B、C、D 选项中的图像均为速度时间图像，要回到初始位置，则 t 轴上方的图线与坐标轴围成的面积和 t 轴下方的图线与坐标轴围成的面积相等，显然 B 选项中只有t 轴上方的面积，故 B 选项表示物体一直朝一个方向运动，不会回到初
17、始位置，而 C、D 选项在 t2 s 时刻，物体回到了初始位置，故选 B。答案 B3.一质点做匀加速直线运动，依次经过 O、 A、 B、 C 四点， A、 B 间的距离为 10 m， B、 C 间的距离为 14 m，已知物体通过 OA 段、 AB 段、 BC 段所用的时间相等。则 O 与 A 的距离为( )A.8 m B.6 m C.4 m D.2 m解析 根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔 T 内物体的位移之差 x aT2，则x3 x2 x2 x1，所以10x12 x2 x3210 m14 m6 m，选项 B 正确。答案 B4.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动， t0
18、 时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的 v t 图像中(如图 3 所示)，直线 a、 b 分别描述了甲、乙在020 s 的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )图 3A.在 010 s 内两车逐渐靠近B.在 1020 s 内两车逐渐远离C.在 515 s 内两车的位移相等D.在 t10 s 时两车在公路上相遇解析 由图像可以看出，010 s 内 v 甲 v 乙 ，两车逐渐远离；1020 s 内 v 甲 v 乙 ，两车逐渐靠近；10 s 时两车相距最远，20 s 时两车再次相遇。在速度时间图像上，图线与横坐标轴所包围的面积等于物体位移的大小。由此可知，515 s 内
19、两车的位移相等。答案 C5.为了安全，汽车过桥的速度不能太大。一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用 10 s时间通过一座长 120 m 的桥，过桥后的速度是 14 m/s。汽车可看做质点，请计算：(1)它刚开上桥头时的速度有多大？(2)桥头与出发点的距离有多远？解析 (1)设汽车刚开上桥头时的速度为 v1，则有 x tv1 v22v1 v2( 14) m/s10 m/s。2xt 212010(2)汽车的加速度 a m/s20.4 m/s 2v2 v1t 14 1010桥头与出发点的距离 x m125 m。10020.411答案 (1)10 m/s (2)125 m基础过关1.对于匀变速直线运
20、动的速度与时间关系式 vt v0 at，以下理解正确的是( )A.v0是时间间隔 t 开始的速度， vt是时间间隔 t 内的平均速度B.vt一定大于 v0C.at 在时间间隔 t 内，可以是速度的增加量，也可以是速度的减少量D.a 与匀变速直线运动的 v t 图像的倾斜程度无关解析 v0、 vt都是瞬时速度， at 是速度的变化量，A 错误，C 正确；在匀加速直线运动中vt v0，在匀减速直线运动中 vt v0，B 错误；在 v t 图像中， v t 图像的斜率表示加速度，D 错误。答案 C2.做匀加速直线运动的质点，运动了时间 t，下列说法中正确的是( )A.它的初速度越大，通过的位移一定越
21、大B.它的加速度越大，通过的位移一定越大C.它的末速度越大，通过的位移一定越大D.它的平均速度越大，通过的位移一定越大解析 由公式 x v0t at2可知，在时间 t 一定的情况下，只有当初速度 v0和加速度 a 都12较大时，位移 x 才较大，选项 A、B 错误；由公式 x t 可知，在时间 t 一定的情况下，v0 vt2只有当初速度 v0和末速度 vt都较大时，位移 x 才较大，选项 C 错误；由公式 x t 知，v 在时间 t 一定的情况下，平均速度 越大，位移 x 一定越大，选项 D 正确。v 答案 D3.某质点的位移随时间变化的规律是 x4 t2 t2， x 与 t 的单位分别为 m
22、 和 s，则该质点的初速度和加速度分别为( )A.4 m/s 和 2 m/s2 B.0 和 4 m/s2C.4 m/s 和 4 m/s2 D.4 m/s 和 0解析 匀变速直线运动的位移与时间的关系为 x v0t at2，与 x4 t2 t2对比可知 v04 12m/s， a4 m/s 2，选项 C 正确。12答案 C4.空军特级飞行员李峰驾驶歼十战机执行战术机动任务，在距机场 54 km、离地1 750 m 高度时飞机发动机突然停车失去动力。在地面指挥员的果断引领下，最终安全迫降机场，李峰成为成功处置国产单发新型战机空中发动机停车故障、安全返航的第一人。若战机着陆后以 6 m/s2的加速度做
23、匀减速直线运动，且其着陆速度为 60 m/s，则它着陆后 12 s内滑行的距离是 ( )A.288 m B.300 mC.150 m D.144 m解析 本题的易错之处在于不知战机着陆后 10 s 即停下，而误将 12 s 直接代入位移公式。由 vt v0 at，可求出从战机着陆到停止所用时间 t 10 s，由此可知战机在 12 vt v0as 内不是始终做匀减速运动，它在最后 2 s 内是静止的，故它着陆后 12 s 内滑行的距离为x v0t at2300 m，只有选项 B 正确。12答案 B5.一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过 3 s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减
24、速直线运动，又经 9 s 停止，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移大小之比是 ( )A.11 B.12C.13 D.31解析 设物体到达斜面底端时的速度大小为 v，则物体在斜面上的平均速度 1 ，在斜面v v2上的位移大小 x1 1t1 t1，在水平地面上的平均速度大小 2 ，在水平地面上的位移v v2 v v2大小 x2 2t2 t2，所以 x1 x2 t1 t213，故选项 C 正确。v v2答案 C6.在利用打点计时器探究匀变速直线运动的规律时得到如图 1 所示的一条纸带，在用下列测量数据求 4 计数点的瞬时速度时，下列说法正确的是( )图 1A.利用 3、5 两点的平均速度计算，
25、接近 4 计数点的瞬时速度B.利用 2、5 两点的平均速度计算，接近 4 计数点的瞬时速度13C.利用 1、6 两点的平均速度计算，接近 4 计数点的瞬时速度D.利用 0、6 两点的平均速度计算，接近 4 计数点的瞬时速度解析 计算平均速度时，相邻的两个点越靠近，平均速度越接近瞬时速度，并且 4 计数点是3、5 两点的中间时刻的点，匀变速直线运动中点时刻的速度等于这一段的平均速度。故选项 A 正确。答案 A7.(多选)如图 2 所示为在同一直线上运动的甲、乙两物体的 v t 图像，则由图像可知( )图 2A.它们速度方向相同，加速度方向相相反B.它们速度方向、加速度方向均相反C.在 t1时刻它
26、们相遇D.在 0 t2时间内它们的位移相同解析 由图知，甲做匀加速运动，乙做匀减速运动，速度方向相同、加速度方向相反， t1时刻两物体速度相等，在 0 t2时间内图线与时间轴所围面积相等，即位移相同。答案 AD能力提升8.(多选)一汽车在公路上以 54 km/h 的速度行驶，突然发现前方 30 m 处有一障碍物，驾驶员立刻刹车，刹车的加速度大小为 6 m/s2，为使汽车不撞上障碍物，则驾驶员的反应时间可以为 ( )A.0.5 s B.0.7 sC.0.8 s D.0.9 s解析 本题的易错之处在于不知汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，而误以为是直接做匀减速直线运动。汽车在驾驶员的反应时间
27、内做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动。根据题意和匀变速直线运动的规律可得 v0t x，代入数据解得 t0.75 s，故A、B 正确。答案 AB149.(多选)如图 3 为一质点做直线运动的速度时间图像，如图中实线所示，其初速度为v0，末速度为 vt，则它在 t0时间内的平均速度和加速度应是( )图 3A.平均速度小于v0 v2B.平均速度大于v0 v2C.加速度逐渐减小D.加速度逐渐增大解析 如图所示，若物体运动的 v t 图线为，则 ；而实际上物体运动位移为v v0 v2下的阴影部分，与表示的相比较小，而时间相等，所以 。v v0 v2由 a 知过某一时刻图线上对应的点的切线的斜率可表示
28、该时刻加速度的大小。由图可 v t看出图线的斜率在不断变大，也就表示加速度在不断变大。答案 AD10.(多选)如图 4 所示， a、 b 分别表示先后从同一地点以相同的初速度做匀变速直线运动的两个物体的速度时间图像，则下列说法正确的是( )图 4A.4 s 时两物体的速度大小相等B.4 s 时两物体在途中相遇15C.5 s 时两物体的速率相等D.5 s 时两物体相遇解析 由图像可知 4 s 时两物体速度大小相等，方向相反，故 A 正确；由图像与坐标轴围成的面积表示位移的大小可知 4 s 时两物体的位移相等，所以 4 s 时两物体相遇，故 B 正确；5 s 时两物体速率一个为 0，一个不为 0，
29、不相等，故 C 错误；5 s 内两者位移不同，所以没有相遇，故 D 错误。答案 AB11.一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，设斜面足够长，最初 3 秒的位移为 x1，第 2个 3 秒内的位移为 x2，且 x2 x11.8 m。试求：(1)x1、 x2分别为多大；(2)物体下滑的加速度；(3)6 s 末的速度。解析 由 x2 x1 at2知 a m/s20.2 m/s 2x2 x1t2 1.89由 x1 at12 0.29 m0.9 m12 12及 x2 x11.8 m 知 x2 x11.8 m2.7 m。6 s 末的速度 v at0.26 m/s1.2 m/s答案 (1)0.9 m 2.7
30、 m (2)0.2 m/s 2 (3)1.2 m/s12.某段高速公路最大限速为 30 m/s，一辆汽车以 25 m/s 的速度在该路段紧急刹车，滑行距离为 62.5 m。(汽车刹车过程可认为做匀减速直线运动)(1)求该汽车刹车时的加速度大小；(2)若该汽车以最大限速在该路段行驶，驾驶员的反应时间为 0.3 s，求该汽车的安全距离。(安全距离即驾驶员从发现障碍物至车停止运动的距离)解析 (1)根据题意，由匀变速直线运动公式得v v 2 ax，2t 20将 v025 m/s， vt0， x62.5 m 代入公式解得a5 m/s 2。则该汽车刹车时的加速度大小为 5 m/s2。(2)汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，位移为 x1 v0 t1300.3 m9 m。16汽车在驾驶员刹车后做匀减速直线运动直至停止，设位移为 x2，由匀变速直线运动规律得 v v0 22 ax2，将 v030 m/s， vt0， a5 m/s2代入解得： x290 m，故该汽车的2t安全距离 x3 x1 x299 m。答案 (1)5 m/s 2 (2)99 m
