1、题型专项(八)二次函数与几何图形综合题类型 1 探究图形面积数量关系及最值等问题1(2016贵港模拟)如图甲，四边形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x轴于点 A，D，交 y 轴于点 C.已知 A(3，0)，D(1，0)，C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；(2)设AOC 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0t3)时，AOC 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并指出 t 的取值范围；(3)当 0t 时，求 S 的最大值32解：(1)设抛物线的解析式为 ya(x3)(x1)将 C(0，3
2、)代入，得3a3，解得 a1.yx 22x3.yx 22x3(x1) 24，B(1，4)(2)设直线 AB 的解析式为 ykxb.将 A(3，0)，B(1，4)代入 ykxb 得 解得3k b 0，k b 4， ) k 2，b 6， )y2x6.过点 C 作射线 CFx 轴交 AB 于点 F.将 y3 代入直线 AB 的解析式得：2x63，得 x ，F( ，3)32 32图 1当 0t 时，如图 1 所示32设AOC 平移到PNM 的位置，PM 交 AB 于点 H，MN 交 AC 于点 G.则 ONAPt，过点 H 作 LKx 轴于点 K，交 CF于点 L.由AHPFHM，得 ，即 .解得 H
3、K2t.APFM HKHL t32 t HK3 HKSS MNP S GNA S HAP 33 (3t) 2 t2t t23t.12 12 12 32图 2当 t3 时，如图 2 所示：32设AOC 平移到PQR 的位置，RQ 交 AB 于点 I，交 AC 于点 V.直线 AC 的解析式为 yx3，直线 AB 的解析式为 y2x6，V(t，t3)，I(t，2t6)IV2t6(t3)t3，AQ3t.SS IVA AQIV (3t) 2 t23t .12 12 12 92综上所述，S 32t2 3t（ 0t 32） ，12t2 3t 92（ 32t 3） .)(3)当 0x 时，S t23t (t
4、1) 2 ，当 t1 时，S 最大 .32 32 32 32 322(2016十堰模拟)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx3(a0)经过点 A(1，0)和点B(3，0)(1)求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标；(2)若点 P 在直线 x2 上运动，当点 P 到直线 AD 的距离 d 等于点 P 到 x 轴的距离时，求 d 的值；(3)如图 2，直线 AC：yxm 经过点 A，交 y 轴于点 C.探究：在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M，使得 SCDA2S ACM ？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线 yax 2bx3(a0)经过点 A(1
5、，0)和点 B(3，0)， 解得a b 3 0，9a 3b 3 0， ) a 1，b 2. )yx 22x3(x1) 24.D(1，4)(2)设 P(2，y P)，过 P 作 PEAD 于点 E，设直线 AD 与直线 x2 交于点 G，则 PEd|y P|，直线 AD 的解析式为 y2x2，G(2，6)PG6y P. sinAGP ，ANAG 335 .PG |yP| d.PEPG 15 5 5若点 P 在第一象限，则 PG6d， d6d，解得 d .535 32若点 P 在第四象限，则 PG6d， d6d，解得 d .535 32d 的值为 或 .35 32 35 32(3)直线 AC 过点
6、 A，所以可求得直线 AC：yx1.过点 D 作 DEAC，交 y 轴于点 E，可求得直线 DE：yx5.E(0，5)EC 的中点 F(0，2)过点 F 平行于 AC 的直线为 yx2. y x 2，y x2 2x 3.)解得 或 (舍去)x1 3 132 ，y1 1 132 .) x2 3 132 ，y2 1 132 .)M( ， )3 132 1 1323(2016玉林模拟)已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.其中点 A 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA，OC 的长(OAOC)是方程 x25x40 的两个根，且抛物
7、线的对称轴是直线 x1.(1)求 A，B，C 三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点 D 是线段 AB 上的一个动点(与点 A，B 不重合)，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，连接 CD，设 BD 的长为m，CDE 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)OA，OC 的长是x25x40 的根，OAOC，OA1，OC4.点 A 在 x 轴的负半轴，点 C 在 y 轴的负半轴，A(1，0)，C(0，4)抛物线 yax 2bxc 的对称轴为 x1，由对称性可得
8、 B 点坐标为(3，0)A，B，C 三点坐标分别是 A(1，0)，B(3，0)，C(0，4)(2)点 C(0，4)在抛物线 yax 2bxc 图象上，c4.将 A(1，0)，B(3，0)代入 yax 2bx4，得解得a b 4 0，9a 3b 4 0.) a 43，b 83.)所求抛物线解析式为 y x2 x4.43 83(3)根据题意，BDm，则 AD4m.在 RtOBC 中，BC 5.OB2 OC2DEBC，ADEABC. .DEBC ADABDE .ADBCAB 5（ 4 m）4 20 5m4过点 E 作 EFAB 于点 F，则 sinEDF sinCBA . .OCBC 45 EFDE 45EF DE 4m.45 45 20 5m4S CDE S ADC S ADE (4m)4 (4m)(4m) m22m(0m4) 12 12 12S (m2) 22，a 0，12 12当 m2 时，S 有最大值 2.点 D 的坐标为(1，0)
