1、12015-2016 学年度下学期有色一中期中考试数学试卷（高二理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知向量 ,若 ,则 （ ）1,2mnmn=A B C D432-12 设集合 ,则 ( )04|,|2xTxS TSR)(A. B. C. D.(,1(1,3 已知命题 , ;命题 , ,则下列命题中为真命题:pR3x:q32x的是: （ ）A B C Dqppqpq4 某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用 22 列联表进行独立性研究，经计算 K2=7.069，则至少有（ ）的把握认为
2、“学生的视力与座位有关”附：P（K 2k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A95% B99% C97.5% D90%5 由不等式 确定的平面区域记为 ，不等式 ，确定的平02xy 121yx面区域记为 ，在 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（ ）1 2A. B. C. D.81443876 将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第营区，从
3、301 到 495 住在第营区，从 496 到600 在第营区，三个营区被抽中的人数一次为（ ）A26, 16, 8 B 25，17，8 C25，16，9 D24，17，97 某班有 50 名学生，一次考试的成绩 （ N）服从正态分布N（100，10 2） 已知 P（90100）=0.3,估计该班数学成绩在 110 分以上的人数为（ ）A10 B20 C. 30 D408 在 ,内角 所对的边长分别为C,A且 ,则 ( ),.abc1sinosinco,2baB2A. B. C. D. 6323569 某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中最大的侧面的面积为（ ）A4 B8 C
4、2 D210 运行如下程序 框图,如果输入的 1,3t,则输出 s 属于（ ）A B C D3,45,24,2,511 抛物线 y2=2px（p 0）的焦点为 F，准线为 l，A、B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB= ，设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D412 设函数 （ ）22,0,8xefxfxffxfx满 足 则 时 ，A有极大值 ,无极小值 B有极小值, 无极大值 C 既有极大 值又有极小值 D既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中横线上 (注意：在试卷上作答无效)1
5、3 的二项展开式中的常数项为 _ _.61x14 已知函数 f（x）=f（ ）cosx+sinx ，则 f（ ）的值为 15 将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是_.16 已知 F1、F 2 为双曲线 的两个焦点， P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，下列四个命题：PF 1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=3 上；PF 1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=2 上；3PF 1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上；PF 1F2 的内切圆必过（3，0） 其中真命题的序号是 _
6、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 已知函数 .()4cosin()1fxx（）求 的最小正周期：（）求 在区间 上的最大值和最小值 .()f,6418 已知各项均为正数的等比数列a n的首项 a1=2，S n 为其前 n 项和，若5S1，S 3，3S 2 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log2an， ，记数列c n的前 n 项和 Tn若对nN*，T nk（n+4）恒成立，求实数 k 的取值范围19 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面ABC 是直角三角形，AB=AC=1，AA 1=2，点 P 是棱
7、 BB1 上一点，满足 = （01） （1）若 ，求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值；（2）若二面角 PA 1CB 的正弦值为 ，求 的值420 某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困救援队从入口进入之后有L1，L 2 两条巷道通往作业区（如图） ，L 1 巷道有 A1，A 2，A3 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是 ； L2 巷道有 B1，B 2 两个易堵塞点 ，被堵塞的概率分别为 ， （）求 L1 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（）若 L2 巷道中堵塞点个数为 X，求 X 的分布列及数学期望 EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“ 的标准，请你帮
8、助救援队选择一条抢险路线，并说明理由21 已知椭圆 （ ab 0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切（）求椭圆 C 的方程；（）设 P（4，0） ，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q；（）在（）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求的取值范围22 已知函数 （1）函数 f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当 x0 时， 恒成立，求整数 k 的最大值；（3）试证明：（1+1 2）（1+2 3）（1+34）（1+n（n
9、+1） ）e 2n3 52015-2016 学年度下学期有色一中期中考试数学试卷（高二理科）答案一选择题1 B 2 C 3 B 4 B 5D 6B 7A 8A 9D 10A 11A 12 D二填空题13 15 14 1 15 96 16 (1),(4)三解答题17 解：（）因为（4 分）所以 的最小正周期为 （5 分）（）因为于是，当 时， 取得最大值 2；当 取得最小值1 （10 分）18 解：（1）5S 1，S 3，3S 2 成等差数列，2S 3=5S1+3S2即 2（a 1+a1q+a1q2）=5a 1+3（a 1+a1q），化简得 2q2q6=0解得：q=2 或 q= （3 分）因为数
10、列a n的各项均为正数，所以 q= 不合题意所以a n的通项公式为： an=2n（6 分）（2）由 bn=log2an 得 bn= =n6c n= = = （8 分）T n=1 + + = = k（n+4）k = = n+ +52 +5=9，当且仅当 n= ，即 n=2 时等号成立 k 的取值范围 ，+ ） （12 分）20 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A 1（0，0，2） ，P =（1，0，2） ， =（1，1，0） ， = 设平面 A1BC 的法向量为 =（x，y，z） ，则 ，即 ，取 =（2，2，1） ，设直线 P
11、C 与平面 A1BC 所成角为 ，则 sin= = = = （6 分）（2）设二面角 PA 1CB 的平面角为 ，由图可知为锐角，sin= ，cos= = = （01） ，P（1，0，2） =（1，1，2） ， =（1，0，22） 设平面 A1CP 的法向量为 =（ x0，y 0，z 0） ，7则 ，即 ，取 =（22，2，1） ， = = = = 化简解得： 2+89=0 ，01，解得 =1 （12 分）20 解：（）设”L 1 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件 A则（4 分）（）依题意，X 的可能取值为 0，1，2所以，随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2P设 L1 巷道中
12、堵塞点个数为 Y，则 Y 的可能取值为 0，1，2，3，8，所以，随机变量 Y 的分布列为：Y 0 1 2 3P因为 EXEY ，所以选择 L2 巷道为抢险路线为好 （12 分）21 解：（）由题意知 ，所以 即 又因为 ，所以 a2=4，b 2=3故椭圆 C 的方程为 (3 分）（）由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y=k（x4） 由 得（4k 2+3）x 232k2x+64k212=0设点 B（x 1，y 1） ，E（x 2，y 2） ，则 A（x 1，y 1） 直线 AE 的方程为 令 y=0，得 将 y1=k（x 14） ，y 2=k（x 24）代入，整理，得 由
13、得 ， 代入整理，得 x=1所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q（1，0） （8 分）9（）当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y=m（x1） ，且M（x M，y M） ，N（x N，y N）在椭圆 C 上由 得（4m 2+3）x 28m2x+4m212=0易知0所以 ， ， 则 = 因为 m20，所以 所以 当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时，其方程为 x=1解得 ，N（1， ）或 M（1， ） 、N （1， ） 此时 所以 的取值范围是 （ 12 分）22 解：（1）由题 ，（1 分）故 f（x）在区间（0，+）上是减函数；（2 分）（2）解：当 x0 时
14、， 恒成立，即 在（0，+）上恒成立，取 ，则 ，（4 分）再取 g（x）=x1ln（x+1） ，则 ，故 g（x）在（0，+）上单调递增，而 g（1）=ln2 0，g（2） =1ln3 0，g（3）=2 2ln20，（6 分）故 g（x）=0 在（0，+ ）上存在唯一实数根 a（2，3） ，a1ln（a+1）=0 ，故 x（0，a）时， g（x）0；x （a，+）时，g（x） 0，故 ，故 kmax=3（8 分）10(3）证明：由（2）知： ，令 ，（10 分）又 ln（1+1 2） （1+2 3）（1+34） （1+n（n+1） ）=ln（1+12）+ln（1+23）+ln（1+n （n+1） ） =即：（1+12） （1+2 3） （ 1+34） 1+n（n+1）e 2n3 （12 分）
