1、121.4 第 2 课时 利用二次函数表达式解决抛物线形建筑问题 知识点 1 建立平面直角坐标系求有关抛物线形建筑物的表达式1如图 2144(1)是一座横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在直线 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是( )图 2144A y2 x2 B y2 x2 C y x2 D y x212 122如图 2145 所示的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线表达式是 y (x6)
2、 24，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线表达式是19_图 2145知识点 2 利用表达式由水平距离求垂直高度3某拱桥的截面是抛物线形，如图 2146 所示在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 y x2，当水面宽 AB12 m 时，水面到拱桥顶点 O 的距离为( )14A9 m B6 m C9 m D36 m图 21464图 2147是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为 10 米(即HF FG GM MP10 米)，拱桥顶点 D 到桥面的距离 DG2 米，将其置于如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 y ax26.(1)求 a 的值；(2)求支柱 EF 的高2图 2147
3、知识点 3 利用表达式由垂直高度求水平距离5某景区一个门洞为抛物线形，以门洞底部所在直线为 x 轴，门洞的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为 y2 x23，则 2 m 高处的门洞宽为( )A. m B1 m C. m D2 m22 26某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图 2148 所示若菜农身高为1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是_m.图 21487. 一座拱桥呈抛物线形，它的截面如图 2149 所示，现测得，当水面宽 AB1.6 m时，拱桥顶点与水面的距离为 2.4 m这时，离开水面 1.5 m 处，拱桥宽 ED 是多少？是否超过 1 m
4、?图 214938 2016青岛如图 21410，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y ax2 bx 来表示已知抛物线上 B， C 两点到地面的距离均为 m，到墙边 OA 的距离分别为 m， m.34 12 32(1)求该拋物线的函数表达式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该面墙的长度为 10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案？图 214109如图 21411，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB和矩形的三边 AE， ED， DB 组成，已知河底 ED 是水平的， ED16 米， AE8 米，抛物线的
5、顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h (t19) 28(0 t40)，且当水面到顶点 C 的距离不大1128于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？图 21411410 2016丽水如图 21412，地面 BD 上两根等长立柱 AB， CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y x2 x3 的绳子110 45(1)求绳子最低点离地面
6、的距离；(2)因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子(如图)，使左边抛物线 F1的最低点距 MN 为 1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长；(3)将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F2对应函数的二次项系数始终为 ，设 MN 离 AB 的距离为 m 米，抛物线 F2的顶点离地面的距离为 k 米，当142 k2.5 时，求 m 的取值范围图 214125教师详解详析1 C2y (x6) 24193 C4解：(1)根据题意可知 A(20，0)，将其代入 yax 26，得 400a60，解得 a .3200(2)把 x10 代入
7、y x26，3200得 y (10) 26 ，3200 92EF62 (米)92 725 C63 解析 设抛物线的表达式为 yax 2b.由图可知，点(0，2.4)，(3，0)在抛物线上， 解得b 2.4，9a b 0， ) a 415，b 2.4.)抛物线的表达式为 y x22.4.415菜农的身高为 1.8 m，即 y1.8，则 1.8 x22.4，解得 x1.5(负值已舍去)415故他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 3 m.7解：由题意可知，点 A(0.8，2.4)，O C2.4 m，OF0.9 m.设抛物线的表达式为 yax 2，将点 A 的坐标代入，得 0.64a2.4，解
8、得 a ，154y x2.154把 y0.9 代入，得 x20.9，154解得 x ，65DE m.2 65 1，2 65 2425离开水面 1.5 m 处，拱桥宽 ED 是 m，没有超过 1 m.2 6568解：(1)根据题意，得 B( ， )，C( ， )12 34 32 34把 B，C 两点的坐标分别代入 yax 2bx，得34 14a 12b，34 94a 32b， )解得 a 1，b 2， )拋物线的函数表达式为 yx 22x，图案最高点到地面的距离为 1( m) 224（ 1）(2)令 y0，即x 22x0，解得 x10，x 22，1025，最多可以连续绘制 5 个这样的拋物线形图
9、案9解：(1)设抛物线的函数表达式为 yax 211，由题意得 B(8，8)，则64a118，解得 a ，即 y x211.364 364(2)水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED 的距离 h 最多为 1156(米)，那么 6 (t19) 28，解得 t135，t 23，112835332(时)答：需 32 小时禁止船只通行10解：(1)a 0，110抛物线的顶点为最低点y x2 x3 (x4) 2 ，110 45 110 75绳子最低点离地面的距离为 米75(2)由(1)可知，BD8，令 x0，得 y3，A(0，3)，C(8，3)由题意可得抛物线 F1的顶点坐标为(2，
10、1.8)，设 F1的表达式为 ya(x2) 21.8.将(0，3)代入，得 4a1.83，解得 a0.3，抛物线 F1的表达式为 y0.3(x2) 21.8.当 x3 时，y0.311.82.1，MN 的长度为 2.1 米(3)MNCD3 米，根据抛物线的对称性可知抛物线 F2的顶点在 ND 的垂直平分线上，抛物线 F2的顶点坐标为( m4，k)，127抛物线 F2的表达式为 y (x m4) 2k.14 12把 C(8，3)代入，得 (8 m4) 2k3，14 12解得 k3 (8 m4) 2，14 12即 k (m8) 23，116从而 k 是关于 m 的二次函数又由已知条件得 m8，则二
11、次函数 k (m8) 23 在对称轴的左侧，116k 随 m 的增大而增大，当 k2 时， (m8) 232，116解得 m14，m 212(不符合题意，舍去)；当 k2.5 时， (m8) 232.5，116解得 m182 ，m 282 (不符合题意，舍去)2 2m 的取值范围是 4m82 .2121.4 第 3 课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题 知识点 1 体育运动型1小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度 h(m)与发球的时间 t(s)满足关系式h2 t22 t2，则小李发球后 0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为( )A1.5 m B2 m C2.5 m D3 m2小明在今年的校
12、运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 h3.5 t4.9 t2(t 的单位：s； h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )A0.71 s B0.70 s C0.63 s D0.36 s图 214133小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y x23.5 的一部分(如图1521414)若恰好命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l 是( )A3.5 m B4 m C4.5 m D4.6 m图 21414知识点 2 水流抛物型4如图 21415，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y (x1)( x7)的一部分铅球落在 A 点处，则 OA_
13、米15图 214155某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图 21416，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y x24 x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A4 米 B3 米 C2 米 D1 米2图 214165某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图 21416，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y x24 x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A4 米 B3 米 C2 米 D1 米6如图 21417(a)，某灌溉设备的喷头 B 高出地面 1.25 m，喷出的抛物线形水流在
14、与喷头底部 A 的距离为 1 m 处达到最大高度 2.25 m，试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式图 21417学生小龙在解答该问题时，具体解答如下：以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b)所示的平面直角坐标系；设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为 y ax2；根据题意可得点 B 与 x 轴的距离为 1 m，故点 B 的坐标为(1，1)；代入 y ax2，得 1 a(1) 2，所以 a1；所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为 y x2.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的 ”(1)请指出小龙的解答从第_步
15、开始出现错误，错误的原因是_；(2)请写出正确的解答过程37 教材习题 21.4 第 4 题变式如图 21418，某学生的一次抛物线形传球，球出手(点 A 处)的高度是 m，出手后球沿抛物线运动到最高点时，运行高度 y3 m，水平距离53x4 m.(1)试求篮球运行的高度 y 与水平距离 x 之间的函数表达式；(2)若队友接球的最佳高度约为 m，则队友距这名学生多远处接球？53(3)此时防守队员断球的最大高度是 2.25 m，则这名学生传球瞬间，防守队员距他多远才能抢断成功？图 214188公园水池中央有一个喷泉，从 A 喷出的水流呈抛物线形，如图 21419 所示，已知水流的最高点 M 距离
16、地面 2.25 米，距离 y 轴 2 米，水流落地点 B 距离点 O5 米，且恰好不流出池外(1)求水管 OA 的高度；(2)现在公园欲将水管 OA 增加 0.75 米，喷出的水恰好不流出池外(水流的形状不变)，求水池的半径要增加多少米(结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.73)3图 2141949如图 21420，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出(A 在 y 轴上)，运动员乙在距点 O6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原
17、来最大高度的一半(1)求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式；(2)足球第一次落地点 C 距 O 处的守门员约多少米？(取 4 7)3(3)运动员乙要抢到足球的第二个落地点 D，他应再向前跑约多少米？(取 2 5)6图 214205教师详解详析1 C2 D 解析 h3.5t4.9t 24.9(t )2 .4.90，当 t 0.36 s514 58 514时，h 最大故选 D.3 B 解析 把 y3.05 代入 y x23.5，解得 x11.5，x 21.5(舍去)，则所15求距离为 1.52.54( m)47 解析 铅球落地时，y0，则 (x1)(x7)0，解得 x17，x
18、21(舍15去)5 A 解析 水在空中划出的曲线是抛物线 yx 24x 的一部分，水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线 yx 24x 的最大值yx 24x(x2) 24，y 的最大值为 4，水喷出的最大高度为 4 米故选 A.6解：(1) 点 B 的坐标错误，应为(1，1)(2)以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图( b)所示的平面直角坐标系；设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为 yax 2；由题意可得点 B 与 x 轴的距离为 1 m，故点 B 的坐标为(1，1)；从而1a1，所以 a1；所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为 yx 2.7解：(
19、1)根据抛物线的顶点为(4，3)，由已知可设抛物线的函数表达式是 ya(x4)23(a0)抛物线经过点 A(0， )，53 a(04) 23，解得 a .53 112故所求的函数表达式为 y (x4) 23.112(2)令 y ，则 (x4) 23 ，解得 x18，x 20(舍去)53 112 53队友距这名学生 8 m 远处接球最佳(3)令 y2.25，则 (x4) 232.25，112解得 x11，x 27(舍去)防守队员距他 1 m 内才能抢断成功8解：(1)设这条抛物线的表达式为 ya(xk) 2h.由题意知顶点 M(2，2.25)，则表达式为 ya(x2) 22.25.将 B(5，0
20、)代入，可求得 a0.25，所以抛物线的表达式为 y0.25(x2) 22.25，即 y0.25x 2x1.25.6令 x0，得 y1.25，所以水管 OA 的高度为 1.25 米(2)因为水流的形状不变，所以抛物线的形状和对称轴均不变，设抛物线为y0.25(x2) 2m.将(0，2)代入，得 m3，则抛物线的表达式为 y0.25(x2) 23.当 y0 时，0.25(x2) 230，解得 x12 2(舍去)，x 22 25.5，3 35550.5(米)所以水池的半径要增加 0.5 米9解：(1)设足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式为ya(x6) 24.当 x0 时，y1，即 136a4，a ，112抛物线对应的函数表达式为 y (x6) 24.112(2)令 y0，即 (x6) 240，112(x6) 248，解得 x14 613，x 24 60(舍去)3 3足球第一次落地点 C 距 O 处的守门员约 13 米(3)如图，第二次足球弹出后的距离为 CD.根据题意，得 CDEF(即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位)，2 (x6) 24，112解得 x162 ，x 262 .6 6CD|x 1x 2|4 10，6BD1361017(米)即他应再向前跑约 17 米
