1、第 2节 矩形、菱形、正方形(建议答题时间：60 分钟)基础过关1. (2017 益阳)下列性质中，菱形不一定具有的性质是( )A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直C. 对角线相等 D. 既是轴对称图形又是中心对称图形2. (2017广安)下列说法：四边相等的四边形一定是菱形；顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；对角线相等的四边形一定是矩形；经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，其中正确的有( )个A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. (2017上海)已知平行四边形 ABCD， AC、 BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行
2、四边形为矩形的是( )A. BAC DCA B. BAC DACC. BAC ABD D. BAC ADB4(2017 重庆八中一模)在菱形 ABCD中，对角线 AC8， BD6，则菱形的高为( )A. B. 5 C. D. 485 245 1255. (2017重庆南岸区期末模拟)矩形的两条对角线的一个夹角为 60，对角线长为 10，则这个矩形的面积为( )A. 25 B. 25 C. 50 D. 1003 3 36. (2017兰州)如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O， ADB30， AB4，则OC( )A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3第 6题图 第 7题图7
3、(2017 海南)如图，在菱形 ABCD中， AC8， BD6，则 ABC的周长( )A. 14 B. 16 C. 18 D. 208. (2017山西)如图，将矩形纸片 ABCD沿 BD折叠，得到 BC D， C D与 AB交于点 E.若135，则2 的度数为( )A. 20 B. 30 C. 35 D. 55 第 8题图 第 9题图9. (2017淮安)如图，在矩形纸片 ABCD中， AB3，点 E在边 BC上，将 ABE沿直线 AE折叠，点 B恰好落在对角线 AC上的点 F处，若 EAC ECA，则 AC的长是( )A. 3 B. 6 C. 4 D. 5310. (2017河北)求证：菱
4、形的两条对角线互相垂直注 重 阐 述 依 据已知：如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC， BD交于点 O.求证： AC BD. 以下是排乱的证明过程：又 BO DO， AO BD，即 AC BD. 四边形 ABCD是菱形， AB AD. 证明步骤正确的顺序是( )A. B. C. D. 第 10题图11. (2017陕西)如图，在矩形 ABCD中， AB2， BC3.若点 E是边 CD的中点，连接AE，过点 B作 BF AE交 AE于点 F，则 BF的长为( )A. B. C. D. 3102 3105 105 355第 11题图 第 12题图12. (2017攀枝花)如图，正方形 AB
5、CD中，点 E， F分别在边 BC、 CD上， AEF是等边三角形，连接 AC交 EF于点 G，过点 G作 GH CE于点 H，若 S EGH3，则 S ADF( )A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 13(2017 兰州)在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，要使四边形 ABCD是正方形，还需添加一组条件下面给出了四组条件： AB AD，且 AB AD； AB BD，且AB BD； OB OC，且 OB OC； AB AD，且 AC BD.其中正确的序号是：_(写出所有正确的序号)14. (2017六盘水)如图，在正方形 ABCD中，等边三角形 AEF的顶点 E、
6、F分别在 BC和 CD上，则 AEB_度第 14题图 第 15题图 第 16题图15. (2017徐州)如图，矩形 ABCD中， AB4， AD3，点 Q在对角线 AC上，且 AQ AD，连接 DQ并延长，与边 BC交于点 P，则线段 AP_16. (2017重庆巴蜀一模)如图，在矩形 ABCD中，点 E， F分别在边 BC、 CD上，且 EAF CEF45.若 AD9， CD8，则 EF的长为_17. (2017陕西)如图，在正方形 ABCD中， E、 F分别为边 AD和 CD上的点，且 AE CF，连接 AF、 CE交于点 G.求证： AG CG.第 17题图18. (2017邵阳)如图所
7、示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC， BD相交于点O， OBC OCB. (1)求证：平行四边形 ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形 ABCD为正方形第 18题图19. (2017张家界)如图，在平行四边形 ABCD中，边 AB的垂直平分线交 AD于点 E，交 CB的延长线于点 F，连接 AF， BE.(1)求证： AGE BGF；(2)试判断四边形 AFBE的形状，并说明理由第 19题图20. (2018原创)在 ABC中，点 D在 BC边上，点 E是线段 AD的中点，过点 A作 BC的平行线交 BE的延长线于点 F，连接 CF，若 AF DC.(1)求证： BD CD；(2
8、)当四边形 ADCF为正方形时，线段 AB与 BC有何数量关系？请说明理由第 20题图21. (2017盐城)如图，矩形 ABCD中， ABD、 CDB的平分线 BE、 DF分别交边 AD、 BC于点 E、 F.(1)求证：四边形 BEDF为平行四边形；(2)当 ABE为多少度时，四边形 BEDF是菱形？请说明理由第 21题图22. (2018原创)如图，在菱形 ABCD中，延长 BD到 E使得 BD DE，连接 AE，延长 CD交 AE于点 F.(1)求证： AD2 DF；(2)如果 FD2， C60，求菱形 ABCD的面积第 22题图23. (2017北京)如图，在四边形 ABCD中， B
9、D为一条对角线，AD BC， AD2 BC， ABD90， E为 AD的中点，连接 BE.(1)求证：四边形 BCDE为菱形；(2)连接 AC，若 AC平分 BAD， BC1，求 AC的长第 23题图满分冲关1(2017 广东)如图，已知正方形 ABCD，点 E是 BC边的中点， DE与 AC相交于点 F，连接BF，下列结论： S ABF S ADF； S CDF4 S CEF； S ADF2 S CEF； S ADF2 S CDF，其中正确的是( )A. B. C. D. 第 1题图 第 2题图 第 3题图 2. 如图，在菱形 ABCD中， AB5， AC8，点 P是 AC上的一个动点，过点
10、 P作 EF垂直于AC交 AD于点 E，交 AB于点 F，将 AEF沿 EF折叠，使点 A落在点 A处，当 A CD是直角三角形时， AP的长为_3. (2017重庆八中二模)如图，正方形 ABCD中， E， F分别在 AB， BC边上，且 DE AF于点G， H为线段 DG上一点，连接 AH， BH， BH交 AF于点 I，若 GAH45， GI1，正方形ABCD边长为 4，则 AHD面积为_第 4题图 第 5题图4(2017 潍坊)如图，将一张矩形纸片 ABCD的边 BC斜着向 AD边对折，使点 B落在 AD上，记为 B，折痕为 CE，再将 CD边斜向下对折，使点 D落在 B C上，记为
11、D，折痕为CG， B D2， BE BC. 则矩形纸片 ABCD的面积为_135(2017 重庆西大附中月考)如图，正方形 ABCD中， AB6，点 E为边 BC的中点，连接AE，将 ABE沿 AE翻折，点 B落在点 F处，点 O为对角线 BD的中点，连接 OF交 CD于点G，连接 BF、 BG，则 BFG的面积是_6. (2017杭州)如图，在正方形 ABCD中，点 G在对角线 BD上(不与点 B， D重合)， GE DC于点 E， GF BC于点 F，连接 AG.(1)写出线段 AG， GE， GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形 ABCD的边长为 1， AGF105，求线段
12、 BG的长第 6题图7(2017 重庆沙坪坝区校级一模)如图，在菱形 ABCD中， BAD60， M为对角线 BD延长线上一点，连接 AM和 CM， E为 CM上一点，且满足 CB CE，连接 BE，交 CD于点 F.(1)若 AMB30，且 DM3，求 BE的长；(2)证明： AM CF DM.第 7题图答案基础过关1. C 【解析】菱形所具有的性质包括：对角线互相平分，对角线互相垂直，既是中心对称图形又是轴对称图形，而对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有2. C 【解析】根据菱形的判定定理，四边相等的四边形一定是菱形，故正确；由于矩形的对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得顺次连接
13、矩形各边中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误；平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等图形，面积必然相等，所以经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故正确；综上所述正确的说法有2个3. C 【解析】要使平行四边形变成矩形，可证两对角线相等四个选项中只有 BAC ABD符合4. C 【解析】本题考查了菱形的有关性质和菱形的面积计算，因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD， AO AC， BO BD， AB2 AO2 BO2， AC8，
14、BD6， AB5，由公式12 12S 菱形 ABCD ACBD ABDE，得 865 DE， DE ，12 12 245第 4题解图5. B 【解析】如解图，四边形 ABCD为矩形， ABC90，AO BO CO DO， BOC60， ACB BOC60， AC10， BC AC5， AB5 ， S 矩形 ABCD ABCB5 525 .12 3 3 3第 5题解图6. B 【解析】矩形 ABCD中， AB4， ADB30， BAD90， BD8，矩形对角线相等且互相平分， OC AC BD4.12 127. C 【解析】在菱形 ABCD中， AC8， BD6， AB BC， AOB90， A
15、O4， BO3， BC AB 5，42 32 ABC的周长 AB BC AC55818.8. A 【解析】四边形 ABCD是矩形， C90， CD AB， DBA135， CBD55，由折叠性质可知 C BD CBD55，2 C BD DBA20.9. B 【解析】由折叠可知， BAE EAC， EAC ECA， BAC2 BCA，四边形 ABCD是矩形， B90，3 ACB90， ACB30， AB3 AC2 AB6.【一题多解】由折叠性质得 AF AB3， AFE ABE90， EAC ECA， EF EF， AFE CFE90， EFAEFC， FC AF3， AC6.10. B 【解析
16、】要证明 AC BD，所以是第四步；由 AB AD可知 ABD是等腰三角形，又由 BO DO结合等腰三角形三线合一的性质可得到结论，故是第二步，是第三步；而AB AD是根据四边形 ABCD是菱形得到的，故是第一步，所以证明步骤正确的顺序是.11. B 【解析】在矩形 ABCD中， CD AB2， AD BC3， BAD D90，点 E是边 CD的中点， DE CD1，在 Rt ADE中，12AE ， BF AE， AFB90， FAB ABF 90，AD2 DE2 32 1 10 FAB EAD 90， ABF EAD， ABF EAD， ，则 ，解ABAE BFAD 210 BF3得 BF
17、.310512. A 【解析】如解图，由题易知， EAF60， EF AF AE， ABEADF， BE DF， BAE DAF， CE CF， AC垂直平分 EF， CG EF，即 EGH是等12腰直角三角形， GH BC， EH EC， S EGH S EGC S ECF，即 S ECF4 S EGH，将12 12 14ADF旋转至 ABF，作 F K AE于点 K，易知 F AE30， F K F A EF， S ADF S AEF AEF K EF2，又 S12 12 12 14 18ECF EFGC EF2， S ADF S ECF， S ADF2 S EGH236. 12 14 1
18、2第 12题解图13. 【解析】四边形 ABCD是平行四边形， AB AD，平行四边形 ABCD是矩形，又 AB AD，矩形 ABCD是正方形，故正确； AB BD， ABD90，正方形对角线将一组内角平分为两个 45的角，四边形 ABCD不是正方形，故不正确；四边形 ABCD是平行四边形， AO CO， BO DO，又 OB OC， AO CO BO DO，四边形ABCD是矩形，又 OB OC，即对角线互相垂直，矩形 ABCD是正方形，故正确；四边形 ABCD是平行四边形， AB CD， AD BC，若 AB AD，则 AB CD AD BC，四边形ABCD为菱形，又 AC BD，菱形 AB
19、CD是正方形，故正确综上所述，其中正确的序号是.14. 75 【解析】四边形 ABCD是正方形， AB AD， B D BAD90，在 Rt ABE和 Rt ADF中， ， ABEAB ADAE AF)ADF， BAE DAF(9060)215， AEB75.15. 【解析】 AC 5， AQ AD3， CQ2.又17 42 32 AD AQ， ADQ AQD. CQP AQD， ADQ CQP. AD BC， ADQ CPQ， CQP CPQ， CP CQ2， BP321， AP .AB2 BP2 42 12 1716. 5 【解析】如解图，将 ABE绕点 A逆时针方向旋转 90，得到2AE
20、 B， EAF CEF45， BAD90， E AF45， AEFAE F(SAS)， EF E F，过点 E作 E G CF，交 CF的延长线于 G，则E G B D981，设 CE x，则CF x， DG E B BE9 x， DF8 x， GF9 x8 x172 x，又EF2 CE2 CF2， E F2 E G2 GF2 CE2 CF2 E G2 GF2，即 2x2(172 x)21，整理得 x234 x1450，解得 x129(舍)，x25， CE CF5， EF25 25 250， EF5 .2第 16题解图17. 证明：四边形 ABCD是正方形， ADF CDE90， AD CD.
21、 AE CF， DE DF， ADF CDE(SAS)， DAF DCE，又 AGE CGF， AE CF， AGE CGF(AAS)， AG CG.18. (1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， DAO OCB， ADO OBC，又 OBC OCB， DAO ADO， OB OC， OA OD. OB OD OA OC，即 AC BD，平行四边形 ABCD是矩形(2)解：使矩形 ABCD为正方形的条件为： AB BC.(答案不唯一)19. (1)证明：在平行四边形 ABCD中， AD CF，则 AEG BFG， AB的垂直平分线交 AD于点 E， AG BG，又 AGE B
22、GF， AGE BGF(AAS)；(2)解：四边形 AFBE为菱形理由如下：由(1)得 AE BF， AE BF, 则四边形 AFBE为平行四边形， EF垂直平分 AB， AE BE，四边形 AFBE为菱形20. (1)证明： E是 AD的中点， AE DE. AF BC， FAE BDE， AFE DBE.在 AFE和 DBE中， ， FAE BDE AFE DBEAE DE ) AFE DBE(AAS) AF BD. AF DC， BD DC.(2)解： AB BC，22理由如下：四边形 ADCF为正方形， AD DC且 AD DC，由(1)知 BD CD， AD BD， AB BD，2
23、BD BC， AB BC.12 2221. (1)证明：四边形 ABCD是矩形 AB DC， AD BC， ABD CDB， BE平分 ABD， DF平分 CDB， EBD ABD，12 FDB CDB，12 EBD FDB， DF EB，又 AD BC，四边形 BEDF是平行四边形；(2)解：当 ABE30 时，四边形 BEDF是菱形，理由如下： BE平分 ABD， ABD2 ABE60， EBD ABE30，四边形 ABCD是矩形， A90， EDB EBD30， EB ED，又四边形 BEDF是平行四边形，四边形 BEDF是菱形22. (1)证明：四边形 ABCD是菱形， AD AB，
24、CD AB， BD DE， EF FA， DF是 EAB的中位线， AB2 DF， AD2 DF；(2)解：如解图，过点 D作 DM AB， FD2， AB4， C60， DAB60， DAB为等边三角形， ADM30， AM2， DM ，可得 DM2 ，AMtan30 3 S 菱形 ABCD ABDM42 8 .3 3第 22题解图23. (1)证明： 在 Rt ABD中， ABD90，点 E为 AD的中点， AE DE BE AD，12又 AD2 BC， DE BC，又 AD BC，四边形 BCDE为平行四边形，又 BE DE, 四边形 BCDE为菱形；(2)解：如解图，连接 AC.第 2
25、3题解图 AC平分 BAD，12，又 AD BC，13，23， AB BC，又 AE BE BC， AB AE BE， ABE为等边三角形， BAE60，在 Rt ABD中， ADB90 BAE30，12 ADB30，在菱形 BCDE中， ADC2 ADB60， ACD1801 ADC 90，又 BC1，在菱形 BCDE中， CD BC1，在 Rt ACD中， AC CDtan ADC .3满分冲关1. C 【解析】序号 逐个分析正误 如解图，过点 F分别作 FM AB， FP AD，延长 MF、 PF，分别交 CD、 BC于点 N、 Q，四边形 ABCD是正方形， AB BC CD AD，
26、AC分别平分 BAD、 BCD， FM FP， FN FQ. S ABF ABFM， S12ADF ADFP， S ABF S ADF12第 1题解图 S CDF CDFN， S CEF CEFQ BCFQ CDFN S12 12 12 12 12 12 12CDF， S CDF2 S CEF4 S CEF AD BC， S ADF S CEF, S ADF S CEF( AD CE)241， SADF4 S CEF2 S CEF S CDF2 S CEF， S ADF4 S CEF, S ADF2 S CDF 综上所述，结论正确，故选 C.2. 2或 【解析】如解图，连接 BD交 AC于 O
27、；四边形 ABCD是菱形，78 AB BC CD AD5， DAC BAC， AC BD， OA OC4， OB OD， OB OD3， EF AA， EPA FPA90， EAP AEP90，AB2 OA2 FAP AFP90， AEP AFP， AE AF， A EF是由 AEF翻折， AE EA， AF FA， AE EA A F FA，四边形 AEA F是菱形， AP PA，分两种情况：当 DA C90时， A与 O重合，此时 AA4， AP2；当 A DC90时，设 AP PA x，则OA42 x， AC BD， A OD DOC90，由角的互余关系得： A DO DCO， A OD
28、 DOC， ，即 ，解得 x ，即 AP .OAOD ODOC 4 2x3 34 78 78第 2题解图3. 1 【解析】如解图，延长 DE到 M，使 GM GH，连接7AM， BM， DE AF， GAH45， AHG45， AM AH， AMH45， MAH90， MAB HAD，可证 MAB HAD(SAS)，则HD BM， AMB AHD135， DMB90， GI MB， DH MB2 GI2，设AG x，则 DG2 x， AG2 DG2 AD2， x2 4 2，解得 x11 (舍)，(2 x)2 7x21 ， S ADH DHAG 2 1.712 12 (7 1) 7第 3题解图4
29、. 15 【解析】设 CD x，则 CD x， BC x2，则 BE ， AE AB BE ，x 23 2x 23在 Rt B AE和 Rt B DC中，由勾股定理得 AB ， B D（ x 23） 2 （ 2x 23 ） 2，又 AB B D BC x2，即 （ x 2） 2 x2（ x 23） 2 （ 2x 23 ） 2 x2，化简得 x2 x0，解得 x3 或 x0(舍)，则 CD3， BC5，（ x 2） 2 x249 43故面积为 15.5. 2.4 【解析】如解图，延长 GO交 AB于点 H，过点 F作 PQ BC于点 Q，交 AD于点 P，交 BD于点 M，易证 APF FQE，
30、 2，设 PF x，则 EQ x， FQ6 x，APFQ PFEQ AFEF 12又 EQ2 QF2 EF2，即( )2(6 x)23 2，解得 x6(舍) 或 x3.6， PF3.6, x2FQ2.4, EQ1.8, BQ4.8, PD CQ1.2， DM ， OM OD DM3 ，又625 2 625 925FM PF PM3.61.22.4，且 ， ， DG4， HG过点 O易得OMOD MFDG 92532 2.4DGBH DG4，又 ， ，即 S BFG2.4.S BFGS BHG FGHG PDAD S BFG1246 1.26第 5题解图6. 解：(1) AG2 GE2 GF2；
31、理由如下：如解图，连接 CG，四边形 ABCD是正方形， ADG CDG45， AD CD， DG DG， ADG CDG， AG CG，又 GE DC， GF BC， ECF90，四边形 CEGF是矩形， CF GE，在 Rt GFC中，由勾股定理得， CG2 GF2 CF2， AG2 GE2 GF2；(2)过点 A作 AM BD于点 M， GF BC， ABG GBC45， BAM BGF45， ABM， BGF都是等腰直角三角形， AB1， AM BM ，22 AGF105， AGM60， tan 60 ， GM ，AMGM 66 BG BM GM .22 66 32 66第 6题解图7
32、. (1)解：四边形 ABCD是菱形， BAD60， ABD， BCD是等边三角形， ABD CBD ADB BAD60， BA BC， AMB30， ADB AMB DAM， DAM DMA30， BAM90， DA DM AB BC CE3，在 BMA和 BMC中， ，BM BM MBA MBCBA BC ) BMA BMC(SAS)， BCM BAM90，在 Rt BCE中， BE 3 ；BC2 CE2 2(2)证明：如解图，在 BD上取一点 G，使得 BG DF，连接 CG交 BE于 O，第 7题解图 BG DF， CBG BDF， BD BC， GBC FDB， BGC BFD， DBF BCG， MGC BFC， COF CBO OCB CBO DBF60，在 COE中， ECO EOC CEO180，在 BCF中， BFC CBF BCF180， CB CE， CBE CEO， BCF COE60， ECO BFC MGC， MC MG.由(1)可知 BMA BMC， AM MC MG， MG DG DM， BD CD， BG DF， DG CF， AM CF DM.
