1、课时分层训练(二十六) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标一、选择题1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a， b 都是单位向量，则a b；向量 与 相等则所有正确命题的序号是( )AB BA A BC DA 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量 与 互为相反AB BA 向量，故错误2(2018武汉调研)设 a 是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( ) 【导学号：79140147】A a 与 a 的方向相反B| a| a|C a 与 2a 的方向相同D| a| |aC A 中，
2、当 0 时， a 与 a 方向相同，故 A 不正确；B 中，当1 1 时，| a| a|，故 B 不正确；C 中，因为 20，所以 a 与 2a 方向相同，故 C 正确；D 中，向量不能比较大小，故 D 不正确，故选 C.3(2017广东东莞二模)如图 411 所示，已知 3 ， a， b， c，则下列AC BC OA OB OC 等式中成立的是( )图 411A c b a32 12B c2 b aC c2 a bD c a b32 12A 因为 3 ， a， b，所以 ( )AC BC OA OB OC OA AC OA 32AB OA 32OB OA 32 b a，故选 A.OB 12O
3、A 32 124(2017全国卷)设非零向量 a， b 满足| a b| a b|，则( )A ab B| a| b|C ab D| a| b|A 法一：| a b| a b|，| a b|2| a b|2. a2 b22 ab a2 b22 ab. ab0. ab .故选 A.法二：在 ABCD 中，设 a， b，AB AD 由| a b| a b|知| | |，AC DB 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB AD，故 ab .故选 A.5(2017河南中原名校 4 月联考)如图 412 所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E为 AO 的中点，若 ( ， 为实数)，则 2 2(
4、 )DE AB AD 图 412A. B. C1 D.58 14 516A ( ) ，所以DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD ， ，故 2 2 ，故选 A.14 34 58二、填空题6已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式OA OB OC OD ，则四边形 ABCD 的形状为_OA OC OB OD 平行四边形 由 得 ，OA OC OB OD OA OB OD OC 所以 ，所以四边形 ABCD 为平行四边形BA CD 7(2015全国卷)设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则
5、实数 _. a b 与 a 2b 平行， a b t(a2 b)，12即 a b ta2 tb，Error!解得Error!8在 ABC 中，点 M， N 满足 2 ， .若 x y ，则AM MC BN NC MN AB AC x_； y_. 【导学号：79140148】 2 ， .12 16 AM MC AM 23AC ， ( )，BN NC AN 12AB AC ( )MN AN AM 12AB AC 23AC .12AB 16AC 又 x y ， x ， y .MN AB AC 12 16三、解答题9如图 413，在 ABC 中， D， E 分别为 BC， AC 边上的中点， G 为
6、BE 上一点，且GB2 GE，设 a， b，试用 a， b 表示 ， .AB AC AD AG 图 413解 ( ) a b.AD 12AB AC 12 12 ( )AG AB BG AB 23BE AB 13BA BC ( )23AB 13AC AB 13AB 13AC a b.13 1310设 e1， e2是两个不共线的向量，已知 2 e18 e2， e13 e2， 2 e1 e2.AB CB CD (1)求证： A， B， D 三点共线；(2)若 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值BF 解 (1)证明：由已知得 (2 e1 e2)( e13 e2) e14 e2
7、，BD CD CB 2 e18 e2， 2 .AB AB BD 又 与 有公共点 B，AB BD A， B， D 三点共线(2)由(1)可知 e14 e2，BD 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，BF ( R)，BF BD 即 3e1 ke2 e14 e2，即Error! 解得 k12.B 组 能力提升11(2017河北衡水中学三调考试)在 ABC 中， ，若 P 是直线 BN 上的一点，且AN 14NC 满足 m ，则实数 m 的值为( ) AP AB 25AC 【导学号：79140149】A4 B1C1 D4B 根据题意设 n (nR)，则 n n( ) nBP BN AP
8、AB BP AB BN AB AN AB AB (1 n) ，又 m ，Error!解得Error!故选 B.(15AC AB ) AB n5AC AP AB 25AC 12设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 2 0，则 ABC 的面积与 AOC 的OA OB OC 面积的比值为( )A3 B4 C5 D6B 如图， D 为 AB 的中点，则 ( )，又 2 0，OD 12OA OB OA OB OC ， O 为 CD 的中点，OD OC 又 D 为 AB 中点， S AOC S ADC S ABC，则 4.12 14 S ABCS AOC13(2017辽宁大连高三双基测试
9、)如图 414，在 ABC 中，AB2， BC3， ABC60， AH BC 于点 H， M 为 AH 的中点若 ，则AM AB BC _.图 414因为 AB2， ABC60， AH BC，所以 BH1.因为 BC3，所以 BH BC.23 13因为点 M 为 AH 的中点，所以 ( ) ，又 AM 12AH 12AB BH 12(AB 13BC ) 12AB 16BC AM ，所以 ， ，所以 .AB BC 12 16 2314已知 O， A， B 是不共线的三点，且 m n (m， nR). OP OA OB 【导学号：79140150】(1)若 m n1，求证： A， P， B 三点共线；(2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n1.证明 (1)若 m n1，则 m (1 m)OP OA OB m( )，OB OA OB m( )，OP OB OA OB 即 m ， 与 共线BP BA BP BA 又 与 有公共点 B，BP BA A， P， B 三点共线(2)若 A， P， B 三点共线，则存在实数 ，使 ，BP BA ( )OP OB OA OB 又 m n .OP OA OB 故有 m ( n1) ，OA OB OA OB 即( m ) ( n 1) 0.OA OB O， A， B 不共线， ， 不共线，OA OB Error! m n1.
