1、课时分层训练(七十) 离散型随机变量的均值与方差A 组 基础达标一、选择题1若离散型随机变量 X 的分布列为( )X 0 1P a2 a22则 X 的数学期望 EX( )A2 B2 或12C D112C 因为分布列中概率和为 1，所以 1，即 a2 a20，解得 a2(舍去)或a2 a22a1，所以 EX .122已知某一随机变量 X 的分布列如下，且 EX6.3，则 a 的值为( )X 4 a 9P 0.5 0.1 bA5 B6C7 D8C 由分布列性质知：0.50.1 b1， b0.4， EX40.5 a0.190.46.3， a7.3(2018湖北调考)已知随机变量 满足 E(1 )5，
2、 D(1 )5，则下列说法正确的是( )A E 5， D 5B E 4， D 4C E 5， D 5D E 4， D 5D 因为 E(1 )1 E 5，所以 E 4. D(1 )(1) 2D 5，所以D 5，故选 D.4罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4 次，设 X为取得红球的次数，则 X 的方差 D(X)的值为( ) 【导学号：79140379】A. B.125 2425C. D.85 265B 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为 ，连续摸354 次(做 4 次试验)， X 为取得红球(成功)的次数，则 X B ，
3、(4，35)所以 DX4 .35 (1 35) 24255(2018合肥二检)已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 E ( )A3 B72C D4B 的可能取值为 2,3,4， P( 2) ， P( 3)A2A25 110 ， P( 4) ，则A3 C12C13A2A35 310 A3C12C13 A3C23C12A45 35E 2 3 4 ，故选 B.110 310 35 72二、填空题6(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是_法一：先求出成功
4、次数 X 的分布列，再求均值32由题意可知每次试验不成功的概率为 ，成功的概率为 ，在 2 次试验中成功次数 X 的14 34可能取值为 0,1,2，则 P(X0) ， P(X1)C ，116 12 14 34 38P(X2) .(34)2 916所以在 2 次试验中成功次数 X 的分布列为X 0 1 2P 116 38 916则在 2 次试验中成功次数 X 的均值为EX0 1 2 .116 38 916 32法二：此试验满足二项分布，其中 p ，所以在 2 次试验中成功次数 X 的均值为34EX np2 .34 327设 X 为随机变量， X B ，若随机变量 X 的均值 EX2，则 P(X
5、2)等于(n，13)_由 X B ， EX2，得80243 (n， 13)np n2， n6，13则 P(X2)C .26(13)2 (1 13)4 802438某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到 3 次为止设甲每次击中的概率为 p(p0)，射击次数为 Y，若 Y 的数学期望EY ，则 P 的取值范围是_. 74【导学号：79140380】由已知得 P(Y1) p， P(Y2)(1 p)p， P(Y3)(1 p)2，(0，12)则 EY p2(1 p)p3(1
6、 p)2 p23 p3 ，解得 p 或 p ，74 52 12又 p(0,1)，所以 p .(0，12)三、解答题9在一袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4)，现从袋中任取一球， X 表示所取球的标号(1)求 X 的分布列、期望和方差；(2)若 Y aX b， EY1， DY11，试求 a， b 的值解 (1) X 的取值为 0,1,2,3,4，其分布列为X 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15 EX0 1 2 3 4 1.5，12 120 110 320 15DX(01.5) 2 (11.5) 2 (21
7、.5) 2 (31.5) 2 (41.5)12 120 110 3202 2.75.15(2)由 DY a2DX 得 2.75a211，得 a2，又 EY aEX b，当 a2 时，由 121.5 b，得 b2；当 a2 时，由 121.5 b，得 b4，Error! 或Error!10(2017天津高考)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， .1213 14(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率解 (1)
8、随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ，(112) (1 13) (1 14) 14P(X1) ，12 (1 13) (1 14) (1 12) 13 (1 14) (1 12) (1 13) 14 1124P(X2) ，(112) 13 14 12 (1 13) 14 12 13 (1 14) 14P(X3) .12 13 14 124所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量 X 的数学期望 EX0 1 2 3 .14 1124 14 124 1312(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个
9、数，则所求事件的概率为 P(Y Z1) P(Y0， Z1) P(Y1， Z0) P(Y0) P(Z1) P(Y1) P(Z0) .14 1124 1124 14 1148所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .1148B 组 能力提升11从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 EX3，则 DX( )A. B.85 65C. D.45 25B 由题意， X B .(5，3m 3)又 EX 3，所以 m2.53m 3则 X B ，故 DX5 .(5，35) 35 (1 35) 6512一射击测试每人射击三次，每
10、击中目标一次记 10 分，没有击中记 0 分某人每次击中目标的概率为 ，则此人得分的数学期望为_；方差为_. 23【导学号：79140381】20 记此人三次射击击中目标 X 次，得分为 Y 分，则 X B ， Y10 X，2003 (3， 23)所以 EY10 EX103 20，23DY100 DX1003 .23 13 200313(2018云南二检)为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动对于 A， B 两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏 A，若绿灯闪亮，获得 50 分，若绿灯不闪亮，则扣除 10 分(即获得10 分)，绿灯闪亮
11、的概率为 ；玩一次游戏 B，若出现音乐，获得 60 分，若没有出现音乐，则扣12除 20 分(即获得20 分)，出现音乐的概率为 .玩多次游戏后累计积分达到 130 分可以25兑换奖品(1)记 X 为玩游戏 A 和 B 各一次所得的总分，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)设某人玩 5 次游戏 B，求该人能兑换奖品的概率解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 110,50,30，30，分别对应以下四种情况：玩游戏 A，绿灯闪亮，且玩游戏 B，出现音乐；玩游戏 A，绿灯不闪亮，且玩游戏 B，出现音乐；玩游戏 A，绿灯闪亮，且玩游戏 B，没有出现音乐；玩游戏 A，绿灯不闪亮，且玩游戏 B，
12、没有出现音乐所以 P(X110) ，12 25 15P(X50) ，(112) 25 15P(X30) ，12 (1 25) 310P(X30) .(112) (1 25) 310所以 X 的分布列为X 110 50 30 30P 15 15 310 310故 EX110 50 30 30 32.15 15 310 310(2)设某人玩 5 次游戏 B 的过程中，出现音乐 n 次(0 n5， nN )，则没出现音乐 5 n 次，依题意得 60n20(5 n)130，解得 n ，238所以 n3 或 4 或 5.设“某人玩 5 次游戏 B 能兑换奖品”为事件 M，则 P(M)C C .35 (25)3 (35)2 45 (25)4 35 (25)5 9923 125
