1、课时分层训练(二十四) 正弦定理和余弦定理(对应学生用书第 243 页)A 组 基础达标一、选择题1在 ABC 中，若 ，则 B 的值为( )sin Aa cos BbA30 B45C60 D90B 由正弦定理知： ，sin Bcos B， B45.sin Asin A cos Bsin B2在 ABC 中，已知 b40， c20， C60，则此三角形的解的情况是( )A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定C 由正弦定理得 ，bsin B csin Csin B 1.bsin Cc 403220 3角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在3 ABC 中， c ， b1， B ，则 A
2、BC 的形状为( )3 6A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形D 根据余弦定理有 1 a233 a，解得 a1 或 a2，当 a1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a2 时，三角形 ABC 为直角三角形，故选 D.4在 ABC 中，若 AB ， BC3， C120，则 AC( )13A1 B2C3 D4A 由余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos C，即 13 AC292 AC3cos 120，化简得 AC23 AC40，解得 AC1 或 AC4(舍去)故选 A.5(2018南昌一模)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c
3、，cos 2Asin A， bc2，则 ABC 的面积为( ) 【导学号：79140133】A. B12 14C1 D2A 因为 cos 2Asin A，所以 12sin 2Asin A，则 sin A (舍负)，则 ABC 的12面积为 bcsin A 2 ，故选 A.12 12 12 12二、填空题6在 ABC 中， a2， b3， c4，则其最大内角的余弦值为_ 因为 c b a，所以在 ABC 中最大的内角为角 C，则由余弦定理，得 cos 14C .a2 b2 c22ab 4 9 16223 147如图 371 所示，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， AD AC，sin
4、BAC ， AB3223， AD3，则 BD 的长为_2图 371sin BACsin(90 BAD)cos BAD ，3223在 ABD 中，有 BD2 AB2 AD22 ABADcos BAD， BD218923 3 3，2223 BD .38(2017全国卷改编) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0， a2， c ，则 C_. 2【导学号：79140134】因为 a2， c ， 6 2所以由正弦定理可知， ，2sin A 2sin C故 sin A sin C.2又 B( A C)，故 sin Bsin A(
5、sin Ccos C)sin( A C)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又 C 为 ABC 的内角，故 sin C0，则 sin Acos A0，即 tan A1.又 A(0，)，所以 A .34从而 sin C sin A .12 22 22 12由 A 知 C 为锐角，故 C .34 6三、解答题9(2018银川质检)如图 372，在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且2acos C c2 b.图 372(1)求角 A 的大小；(2)
6、若 c ，角 B 的平分线 BD ，求 a.2 3解 (1)2 acos C c2 b，由正弦定理得 2sin Acos Csin C2sin B，2sin Acos Csin C2sin( A C)2sin Acos C2cos Asin C，sin C2cos Asin C.sin C0，cos A .12又 A(0，)， A .23(2)在 ABD 中，由正弦定理得 ，ABsin ADB BDsin Asin ADB .ABsin ABD 22又 AB BD， ADB . 4 ABC ， ACB . 6 6 AC AB ，2由余弦定理得a BC .AB2 AC2 2ABACcos A 6
7、10(2016全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cos C(acos B bcos A) c.(1)求 C；(2)若 c ， ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长7332解 (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(A B)sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C ，所以 C .12 3(2)由已知得 absin C .12 332又 C ，所以 ab6. 3由已知及余弦定理得 a2 b22 abcos C7，故 a2 b213，从而( a b)2
8、25.所以 ABC 的周长为 5 .7B 组 能力提升11在 ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C，则 A 的取值范围是( )A. B(0， 6 6， )C. D(0， 3 3， )C 由已知及正弦定理有 a2 b2 c2 bc，由余弦定理可知 a2 b2 c22 bccos A，于是 b2 c22 bccos A b2 c2 bc，cos A ，12在 ABC 中， A(0，)由余弦函数的性质，得 0 A . 312(2017山东高考)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 为锐角三角形，且满足 sin B(12cos C
9、)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是( )A a2 b B b2 aC A2 B D B2 AA 等式右边sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin (A C)sin Acos Csin B，等式左边sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由 cos C0，得 sin A2sin B.根据正弦定理，得 a2 b.故选 A.13在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数列，且 a2 c，则 c
10、os A_. 【导学号：79140135】 因为 sin A，sin B，sin C 成等差数列，所以 2sin Bsin Asin C.14因为 ，asin A bsin B csin C所以 a c2 b，又 a2 c，可得 b c，32所以 cos A .b2 c2 a22bc94c2 c2 4c2232c2 1414(2018兰州模拟)在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 tan Atan C (tan Atan C1)3(1)求角 B；(2)如果 b2，求 ABC 面积的最大值解 (1)tan Atan C (tan Atan C1)，3即 ，tan( A C) ，tan A tan C1 tan Atan C 3 3又 A B C，tan B ，3 B 为三角形内角， B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22ac 12 a2 c2 ac4， a2 c22 ac， ac4，当且仅当 a c2 时，等号成立， ABC 的面积 S acsin B 4 ，12 12 32 3 ABC 面积的最大值为 .3
