1、课时分层训练(四十三) 垂直关系A 组 基础达标一、选择题1设 ， 为两个不同的平面，直线 l ，则“ l ”是“ ”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 依题意，由 l ， l 可以推出 ；反过来，由 ， l 不能推出l .因此， “l ”是“ ”成立的充分不必要条件，故选 A.2(2017中原名校联盟 4 月联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A 且 m B 且 m C m n 且 n D m n 且 n C 对于选项 A， 且 m ，可得 m 或 m 与 相交或 m ，故
2、A 不成立；对于选项 B， 且 m ，可得 m 或 m 或 m 与 相交，故 B 不成立；对于选项 C， m n 且 n ，则 m ，故 C 正确；对于选项 D，由 m n 且 n ，可得m 或 m 与 相交或 m ，故 D 不成立，故选 C.3设 a， b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“ a ， b ，且 ”的平面 ， ( )A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对D 过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平行时，两直线的公垂线与 b确定的平面 ，当平面 与 b 相交时，过交点作平面 的垂线与 b 确定的平面 .故选 D.4(2017全国卷)在正方体 ABCDA
3、1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E ACC 如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直，B，D 错； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C 正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1.又 A1E 平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故 A 错故选 C.5(2017河北
4、唐山一模)如图 7410，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 BC、 CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、 C、 D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( ) 【导学号：79140236】图 7410A AG平面 EFH B AH平面 EFHC HF平面 AEF D HG平面 AEFB 根据折叠前、后 AH HE， AH HF 不变， AH平面 EFH，B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确； AG EF， EF GH， AG GH G， EF平面 HAG，又 EF 平面
5、 AEF，平面HAG AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确故选 B.二、填空题6如图 7411， BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线是_；与 AP 垂直的直线是_图 7411AB， BC， AC； AB PC平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC. AB AC， AB PC， AC PC C， AB平面 PAC， AB AP，故与 AP 垂直的直线是 AB.7如图 7412 所示，在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边
6、都相等， M 是 PC上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图 7412DM PC(或 BM PC) 连接 AC， BD，则 AC BD， PA底面ABCD， PA BD.又 PA AC A， BD平面 PAC， BD PC.当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC 平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.8(2016全国卷) ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n， m ， n ，那么 .如果 m ， n ，那么 m n.如果 ， m ，那么 m .如果 m n， ，那么 m
7、与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 【导学号：79140237】 对于， ， 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线 l ， n l，又 m ，所以 m l，所以m n，故正确对于，因为 ，所以 ， 没有公共点又 m ，所以 m， 没有公共点，由线面平行的定义可知 m ，故正确对于，因为 m n，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等因为 ，所以 n 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，故正确三、解答题9(2017北京高考)如图 7413，在三棱锥 PABC
8、 中，PA AB， PA BC， AB BC， PA AB BC2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点图 7413(1)求证： PA BD；(2)求证：平面 BDE平面 PAC；(3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积解 (1)证明：因为 PA AB， PA BC，所以 PA平面 ABC.又因为 BD 平面 ABC，所以 PA BD.(2)证明：因为 AB BC， D 为 AC 的中点，所以 BD AC.由(1)知， PA BD，所以 BD平面 PAC，所以平面 BDE平面 PAC.(3)因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDE DE，所以 PA
9、DE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE PA1， BD DC .12 2由(1)知， PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC，所以三棱锥 EBCD 的体积 V BDDCDE .16 1310(2017江苏高考)如图 7414，在三棱锥 ABCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点 E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.图 7414求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB.又因为 EF 平面 ABC， AB 平面 ABC，/所以 E
10、F平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD，BC 平面 BCD， BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD 平面 ABD，所以 BC AD.又 AB AD， BC AB B， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC 平面 ABC，所以 AD AC.B 组 能力提升11(2017贵州贵阳二模)如图 7415，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，沿 AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P点在 AEF 内的射影为 O，则下列
11、说法正确的是( )图 7415A O 是 AEF 的垂心B O 是 AEF 的内心C O 是 AEF 的外心D O 是 AEF 的重心A 由题意可知 PA， PE， PF 两两垂直，所以 PA平面 PEF，从而 PA EF，而 PO平面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P，所以 EF平面 PAO，所以 EF AO，同理可知 AE FO， AF EO，所以 O 为 AEF 的垂心12.如图 7416，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当AF
12、_时， CF平面 B1DF.图 7416a 或 2a B1D平面 A1ACC1， CF B1D.为了使 CF平面 B1DF，只要使 CF DF(或 CF B1F)设 AF x，则 CD2 DF2 FC2， x23 ax2 a20， x a 或 x2 a.13. (2016四川高考)如图 7417，在四棱锥 PABCD 中，PA CD， AD BC， ADC PAB90， BC CD AD.12图 7417(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由；(2)证明：平面 PAB平面 PBD. 【导学号：79140238】解 (1)取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD
13、)，点 M 即为所求的一个点理由如下：连接 CM，因为 AD BC， BC AD，12所以 BC AM，且 BC AM.所以四边形 AMCB 是平行四边形，所以 CM AB.又 AB 平面 PAB， CM 平面 PAB，/所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明：由已知， PA AB， PA CD，因为 AD BC， BC AD，所以直线 AB 与 CD 相交，12所以 PA平面 ABCD，所以 PA BD.因为 AD BC， BC AD， M 为 AD 的中点，连接 BM，12所以 BC MD，且 BC MD，所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BM CD AD，所以 BD AB.12又 AB AP A，所以 BD平面 PAB.又 BD 平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.
