1、课时分层训练(五十四) 双曲线A 组 基础达标一、选择题1(2017石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x210 y26 x26 y210A 已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则 c4， a2， b212，双曲线方程为 1，故选 A.x24 y2122(2018合肥调研)双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线与直线 x 2y10 垂x2a2 y2b2直，则双曲线的离心率为( )A. B.52 5C. D. 13 12 3B 由已知得 2，所以 e
2、，故选 B.ba ca a2 b2a2 5a2a2 53已知点 F1(3,0)和 F2(3,0)，动点 P 到 F1， F2的距离之差为 4，则点 P 的轨迹方程为( )A. 1( y0) B. 1( x0)x24 y25 x24 y25C. 1( y0) D. 1( x0)y24 x25 y24 x25B 由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，设其方程为 1( x0， a0， b0)，由题设知 c3， a2， b2945.x2a2 y2b2所以点 P 的轨迹方程为 1( x0)x24 y254(2018济南一模)已知双曲线 1( a0， b0)上一点到两个焦点的距离分别
3、为x2a2 y2b210 和 4，且离心率为 2，则该双曲线的虚轴长为( ) 【导学号：79140296】A3 B6C3 D63 3D 由题意得 2a1046，解得 a3，又因为双曲线的离心率 e 2，所以cac6，则 b 3 ，所以该双曲线的虚轴长为 2b6 ，故选 D.c2 a2 3 35(2017天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐x2a2 y2b2近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形( O 为原点)，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. y21 D x2 1x23 y23D 根据题意画出草图如图
4、所示(不妨设点 A 在渐近线 y x 上)ba由 AOF 是边长为 2 的等边三角形得到 AOF60， c| OF|2.又点 A 在双曲线的渐近线 y x 上， tan 60 .ba ba 3又 a2 b24， a1， b ，3双曲线的方程为 x2 1.y23故选 D.二、填空题6过双曲线 x2 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A， By23两点，则| AB|_.4 双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x2，渐近线方程为 x230，将 x2 代入 x2 0，得 y212， y2 ，| AB|4 .y23 y23 3 37设双曲线 1 的
5、左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线 l 交双曲线左支于 A， Bx24 y22两点，则| BF2| AF2|的最小值为_10 由双曲线的标准方程为 1，得 a2，由双曲线的定义可得x24 y22|AF2| AF1|4，| BF2| BF1|4，所以| AF2| AF1| BF2| BF1|8.因为|AF1| BF1| AB|，当| AB|是双曲线的通径时，| AB|最小，所以(| AF2| BF2|)min| AB|min8 810.2b2a8(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，x2a2 y2b2b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲
6、线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN60，则 C的离心率为_. 【导学号：79140297】233如图，由题意知点 A(a,0)，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y x，即 bx ay0，ba点 A 到 l 的距离 d .aba2 b2又 MAN60， MA NA b， MAN 为等边三角形， d MA b，即 b， a23 b2，32 32 aba2 b2 32 e .ca a2 b2a2 233三、解答题9已知椭圆 D： 1 与圆 M： x2( y5) 29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的x250 y225两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程解 椭圆
7、 D 的两个焦点为 F1(5,0)， F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x轴上，且 c5.设双曲线 G 的方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2渐近线方程为 bxay0 且 a2 b225，又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r3. 3，得 a3， b4，|5a|b2 a2双曲线 G 的方程为 1.x29 y21610已知双曲线的中心在原点，左，右焦点 F1， F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点2(4， )10(1)求双曲线的方程；(2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证： 1 20.MF MF 解 (1) e ，可设双曲线的方程为 x2 y2 ( 0)2双曲线过
8、点(4， )，1610 ，即 6，10双曲线的方程为 x2 y26.(2)法一：由(1)可知，双曲线中 a b ，6 c2 ， F1(2 ，0)， F2(2 ，0)，3 3 3 k ， k ，MF1 m3 23 MF2 m3 23 k k .MF1 MF2 m29 12 m23点 M(3， m)在双曲线上，9 m26， m23，故 k k 1， MF1 MF2，即 1 20.MF1 MF2 MF MF 法二：由证法一知 1(32 ， m)，MF 32(2 3， m)，MF 3 1 2(32 )(32 ) m23 m2，MF MF 3 3点 M 在双曲线上，9 m26，即 m230， 1 20.
9、MF MF B 组 能力提升11(2017康杰中学)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近x2a2 y2b2线交于 A， B 两点，若 OAB 的面积为 ，则双曲线的离心率为( )13bc3A. B.52 53C. D.132 133D 由题意可求得| AB| ，所以 S OAB c ，整理得 .因此2bca 12 2bca 13bc3 ca 133e .13312(2017山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1( a0， b0)的右支与焦x2a2 y2b2点为 F 的抛物线 x22 py(p0)交于 A， B 两点若| AF| BF|4| OF|，则该双曲
10、线的渐近线方程为_y x 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)22由Error! 得 a2y22 pb2y a2b20， y1 y2 .2pb2a2又| AF| BF|4| OF|， y1 y2 4 ，即 y1 y2 p，p2 p2 p2 p，即 ， ，2pb2a2 b2a2 12 ba 22双曲线的渐近线方程为 y x.2213(2018湖南五市十校联考)已知离心率为 的椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，双曲45线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为 2 .34(1)求椭圆及双曲线的方程(2)设椭圆的左、右顶点分别为 A， B，在第二象限内取双曲线上一点 P，连接 BP 交椭圆
11、于点 M，连接 PA 并延长交椭圆于点 N，若 ，求四边形 ANBM 的面积. BM MP 【导学号：79140298】解 (1)设椭圆方程为 1( a b0)，则根据题意知双曲线的方程为 x2a2 y2b2 x2a21 且满足y2b2Error!解方程组得Error!所以椭圆的方程为 1，x225 y29双曲线的方程为 1.x225 y29(2)由(1)得 A(5,0)， B(5,0)，|AB|10，设 M(x0， y0)，则由 得 M 为 BP 的中点，所以 P 点坐标为(2 x05, 2 y0)BM MP 将 M， P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得Error!消去 y0，得 2x 5 x0250.20解得 x0 或 x05(舍去)52所以 y0 .332由此可得 M ，(52， 332)所以 P(10,3 )3当 P 为(10,3 )时，3直线 PA 的方程是 y (x5)，33 10 5即 y (x5)，代入 1，得 2x215 x250.335 x225 y29所以 x 或5(舍去)，52所以 xN ， xN xM， MN x 轴52所以 S 四边形 ANBM2 S AMB2 10 15 .12 3 32 3
