1、专题四十三 不等式选讲,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100绝对值不等式 1.(2017课标,理23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,【解】 (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x-1时,式化为x2-3x-40,无解; 当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1x1;,(2)当x-
2、1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,2.(2017课标,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,3.(2016课标,理24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (
3、1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围. 【解】 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3. (2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x= 时等号成立,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3. (分类讨论) 当a1时,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+).,考点100,考点101,
4、试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,4.(2015课标,理24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,透析真题 5.(2016课标,理24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,(图象有一处错误就
5、不得分),考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,【说明】 (1)考生在原图上画y=|f(x)|的图象,并标示出来,不扣分;(2)不画图只叙述得解集,给2分.,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,阅卷者言 本题作为高考题选做题中的一个,试题难度中等,是考生全力得满分的题目.但是在细节上可能会出现很多问题. 一、出现问题 1.将函数f(x)=|x+1|-|
6、2x-3|去掉绝对值化为分段函数的时候,书写x 的范围时漏掉等号的情况,造成失分. 2.在画图象的时候,观察不仔细,把某个点的坐标找错,造成全部失分.这体现平时训练的认真程度和细致程度不够. 3.第二问中,求解的是不等式的解集,而部分考生直接得到x 的范围,而没写出区间或者集合的形式,造成丢分.,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,二、考场经验 1.学会检验 不等式解集,参数的取值范围,都可以通过代入一个特殊值进行有效的检验,达到快速地复查目的. 2.画图遵循先画再描的原则对于画图的题目,考生要充分借用试卷中的图片进行绘制,确认没有问题之后,在答题纸上的图片上先用铅
7、笔画出,再用签字笔描好,确保无误,千万不能直接在答题纸的图片上画错,修改非常麻烦.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,那么|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,
8、当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. (3)推论1:|a|-|b|a+b|. (4)推论2:|a|-|b|a-b|.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,典例导引1(1)已知函数f(x)=|x-a|. 若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,求实数a的值; 在的条件下,若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. (2)(2017广西南宁、梧州摸底联考)已知函数f(x)=|x-2|+|x+a|.若a=1,解不等式f(x)2|x-2|.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练
9、,考点100,考点101,由图象知,当x5; 当-3x2时,g(x)=5; 当x2时,g(x)5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 若f(x)+f(x+5)m, 即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5). (2)当a=1时,f(x)2|x-2|,即|x+1|x-2|,两边平方, 得x2+1+2xx2+4-4x,解得x .,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,高招1含绝对值不等式的解法,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,典例导引2(2017河北衡水六调)已
10、知函数f(x)=|a-3x|-|2+x|.若存在实数x,使得不等式f(x)1-a+2|2+x|成立,求实数a的取值范围. 【解】 不等式f(x)1-a+2|2+x|等价于|a-3x|-3|2+x|1-a, 即|3x-a|-|3x+6|1-a. 因为|3x-a|-|3x+6|(3x-a)-(3x+6)|=|a+6|, 所以若存在实数x,使得不等式f(x)1-a+2|2+x|成立,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,高招2求解与绝对值不等式相关的最值问题的方法,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,1.(2017湖北孝感模拟)已知函数f(x)=
11、|2x+1|+|2x-3|. (1)解方程f(x)-4=0; (2)若关于x的不等式f(x)a的解集为空集,求实数a的取值范围.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,2.(2017湖北荆州模拟)已知函数f(x)=|x-a|+|2x-1|(aR). (1)当a=1时,求f(x)2的解集; (2)若f(x)|2x+1|的解集包含集合 ,求实数a的取值范围.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,考点101不等式的证明
12、1.(2017课标,理23)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 【解】 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,所以(a+b)38,因此a+b2.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,所以f(x)2的解集M=x|-1x1. (2)由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1, 从而(a+b
13、)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,1.证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式 定理1:若a,b为实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2:设a,b,c为实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点10
14、1,2.证明不等式的常用方法 (1)比较法; (2)综合法与分析法; (3)反证法和放缩法.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,典例导引3(1)(2017河南豫北名校模拟)已知函数f(x)=|x-1|.若|a|a| . (2)(2017四川四市第一次联考)已知函数f(x)=|x+b2|-|-x+1|, g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1. 当xR时,求证f(x)g(x).,【证明】 (1)f(ab)|a| ,即|ab-1|a-b|. 因为|a|0. 所以|ab-1|a-b|.故所证不等式成立.,试做真题,
15、高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,(2)当xR时,f(x)=|x+b2|-|-x+1|x+b2+(-x+1)|=|b2+1|=b2+1; g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|x+a2+c2-(x-2b2)|=a2+c2+2b2. 而a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1,即a2+c2+2b2b2+1, 因此,当xR时,f(x)b2+1a2+c2+2b2g(x), 所以,当xR时,f(x)g(x).,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,高招3证明不等式的方法和技巧,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点10
16、1,典例导引4(1)已知x,y,z(0,+),x+y+z=3.,证明:3x2+y2+z20),且x+y+z的最大值为 ,求a的值.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,高招4利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,1.(2017云南大理一模)已知函数f(x)=|x|+|x-3|. (1)解关于x的不等式f(x)-5x; (2)设m,ny|y=f(x),试比较mn+4与2(m+n
17、)的大小.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,(2)由(1)易知f(x)3, 所以m3,n3. 由于2(m+n)-(mn+4) =2m-mn+2n-4=(m-2)(2-n). 且m3,n3,所以m-20,2-n0, 即(m-2)(2-n)0, 所以2(m+n)mn+4.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,2.(2017四川自贡一模)已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|a|x+1|+|2-x|都成立. (1)求a的值; (2)设mn0,求证:,(1)【解】 |x+1|-|2-x|x+1+2-x|=3,3=|x+1+2-x|x+1|+|2-x|. 对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|a|x+1|+|2-x|都成立, a=3.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点100,考点101,
