1、数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数13.1 一致收敛性1讨论下列函数列或函数项级数在所示区间 D 上是否一致收敛，并说明理由：（1） )1,(,.21,)(2nxfn（2） )(n ),(,.,12(3) 1,0() ,2.;01nxnfx-+=-()0nfx=li()0nfx=上的极限函数为1,0()xf 2,0(5) (6) 12()(,);x-+1,(,).()nx-解：（1） ，有,r“-|(1)!()!nnxr=-令 则 所以 收敛，由 判别法知，,(1)!nu=-10,nu+(1)n-M在 上一致收敛。x,r（2）令 ，则 ，有(1)(),nnu- 2()nxv=+(,
2、)x“-+又对每一个 单调递减，且由1|,2.kx=(,)-nv知， 由狄利克雷判别法知200()()n+)nvx0,(,).x-在 上一致收敛。12x-,+（3）当 时，有 ，且 。因此当 即 时， 收敛，|0r|nxr1limnxr=1r1r=（4）因 ，而 收敛，由 判别法知 在 上一致21|,(0,2.)n=2nM2nx0,1收敛。（5）由莱布尼茨判别法知，在 上任意一点 ， 收敛，由于(,)-+x2(1)n-+，故 在 上不一致收敛。(,) 1limsup|(|lim0nnxRx-+=12(nx-(,（6）当 时021(,)(,)s|supn nxxx-+-+=故 在 上不一致收敛。
3、 21-4.设函数项级数 在 上一致收敛于 ,函数 在 上有界.证明级数()nuD()Sx()gD在 上一致收敛于()ngx().gx证明：设 ，因 在 上一致收敛于 ，所以， 当|,Mxnu()Sx0,Ne“$时，对一切 有N|()|kuxSe-D1 1|()()|()|()|nk kkgxuxSgxuSxe= =- -$xI自然数 ，都有 ，从而p1|()|pnkxe+=$N1（1）()00|.2nff-N,tab（2）()|.nftbe-取 则当 时， （1） ， （2）式成立，从而12max,N=N()|.nfxfe-因此 ()(),.nffnxab3 定理 13.11 和 13.13
4、。证：（定理 13.12）设 为a,b上任意一点， 在a,b上一致收敛于 则当0x()1nux=(),Sx时，,xab()()()0000| |.nnn nnnSSxSx-=-+-+因 在a,b上一致收敛于 ，从而 当 时，对一切 ，有()1nu=Sx,e“$N,xab()00|,|.33nSxSxe-由 在a,b上连续(n=1,2,）知：对取定的 在a,b上连续，所以对上述()n (),nSx当 ，且 时,0,ed$,ab0|d-()0|.3nnSxe-于是当 且 时有|,xab0| .-数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数故和函数 在 点连续，由 的任意性知 在a,b连续，定理
5、13.12 得证。()Sx00x()Sx下证定理 13.14。证 设 在a,b上一致收敛于 ，由 在a,b 上连续及定理 13.12 知，函数nu()*Snu在a,b上连续，又由定理 13.13 知，()*Sx ,xab“()()()*101 .xnnaaanntdtdutduxS= -故 两端关于 求导，得()*.aStd-x()1,.nxuxab=“4设 ,计算积分2,nS- ()0xStd解： 由 M 判别法知， 在-1 ，1上一致收敛，显然12|(,x- 12n-=(n=1,2,） ，在-1，1上连续，由定理 13.13 知n-()12300d.nnxxtxStd-=5.设 ,计算积分
6、1cos,n-+()0xStd解： 由 M 判别法知 在 上一致收敛，显然()32|,x1cosn=(),-+（n=1,2，）在 上连续，由定理 13.13 有1cosn=,-()20011cossin.xxn xSdt=6.设 计算 .,xe-()l3nStd解 由 有()2nxnx-l,l,3.xe-对级数 ，有ln21n-=()l2l 1,.en- 于是 收敛，从而 在 上一致收敛，显然 （x=1,2,） ，在ln1n-=1xne-=l2,3nxe-上连续，由定理 13.13 知l2,3()ln3ln2111.tnStdd-=-数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数7. 证明：函
7、数 在 上连续，且有连续的导函数。()3sinxfx=(),-+证 由 而 收敛，由 M 判别法知 在 上一致收敛。又3sin1|, 2cosnx(),-+（n=1,2, ）在 上连续，从而由定理 13.13 知 具有连续的导数，从2cox(),- f而 也连续。()f8. 证明：定义在 上的函数项级数 满足定理 13.13 条件，且0,2p()1cos01,nrxr=.201osnrcxdp=证 因 而收敛，故 在 上一致收敛，又 在 上连|,nr0cosnrx=0,2pcosnrx0,2p续，所以 满足定理 13.13 的条件，且0cosnx=2 20 0cos.nnrdrxdp p=因
8、（n=1,2） ，所以，20,cosxxp20 .nrp=9.讨论下列函数列在所定义区间的一致收敛性及其极限函数的连续性，可积性和可微性：（1） x)(fn ;,.2,12 lxne(2) () ), (ii),0)0(,ax10证明函数 在（1，+ ）内连续，且有连续的各阶导数。x)(11证明：若函数列 在 的某 邻域 U（x 0, ）内一致收敛于 f,且fn0=a, n=1,2则 存在且相等，即)(lim0xfnx )(limli0xfxna与 与).(li00 xxfnnxn 12 设 f 在（- 上有任何阶导数，记 Fn =f(n),且在任何有限区间内 Fn (n ,), )试证 （c
9、 为常数）ex(数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数CH13 总练习题1. 试问 为何值时，下列函数列 一致收敛：knf(1) ;(),0knxnfe(2) 1, 22(),0, 1kn nfxxn解 (1)因为 ，所以lim(),0)nfxfx.0,) 0,)sup|supknxnx xffe由 知 在 达到 上的最大值，所以()(1)knxnfe(nf1,)，10,)sup|knxffe于是，当 时，有1k0,)sup|()|0)nxffxn当 即 时，有0,0,) , 1sup|()|()k=nxffxne故当 时， 在 上一致收敛. 1kknxe,)(2) 当 时， ，所以
10、. 当 时，只要 ，就有0x0nflim0()nfxf01x2nx，所以 .nf()数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数于是 在 上的极限函数为 .()nfx01,0()fx因为 101 1,sup|()|()(),knnxffn 故仅当 时， 在上 一致收敛.k()nfx01,2. 证明： (1) 若 ，且 在 上有界，则 至多除有限项外在 上是一致(),nfIfInf I有界的；(2) 若 ，且对每个正整数 ， 在 上有界，则 在 上一致有(),(),nfxxInfInfI界。.证 （1）设 ，由 知，对 ，存在 ，当1|()|,fxMI()()nfxfxI1N时,对一切 有 从
11、而 ,nNI1|()|,nf|(|()nfM故 除前 项（有限项）外在 上一致有界.()nfxI（2）因 ，由柯西准则 ，存在 ，当 时，对一()()nffx1N1nN切 有xI1|,N所以当 时， ， ，又对每个正整数 ， 在 上有界，nxI1|()|()|nNffx n()fxI设 .12|()|(,fxM令 ，则对一切正整数 ，有 ，121ma,N n1|()|nfxMxI3. 设 为 上的连续函数，证明：f,(1) 在 上收敛；nxf1,2(2) 在 上一致收敛的充要条件是 .nf, 10f数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数证 （1）由于 ，从而 在 上收敛，且极限函数为
12、102,lim()(.nxxff|()|nxf12,021,()(.gxf（2）必要性 因 在 上连续，所以 有界，又 在 上一致收敛，()fx12|,()fx|()|nxf12,在 上连续，所以其极限函数 在 上连续，从而12(),nxf | g12|,10()lim()xfg充分性 设 ，由 知 的极限函数 ，考虑2|()|,(,)fM10()f|()|nxf0()gx.0|()|nxf由于 在 连续，从而对任意 ，存在 （不妨设 ） ，当 时，()f110121x，从而，当 时， ，0|()|xfxx|()|()|nfxf当 时， ，而 ，所以，对上述 ，存1201|()nnM10(n在
13、 ，当 时，对一切 ，有 .N2,x|)|()nxfM综上，任意 ，存在 ，当 时，对一切 有， ，故0Nn12,0|()|nxf在 上一致收敛.()nxf12|,4. 若把 13.10 中一致收敛函数列 的每一项在 a, b 上可积，试证 在a, b上的极限nf nf函数在a, b 上也可积 .证 设 极限函数为 ，对 任作一分割 , 在 上的振幅为()nfx()fx,abT()fxi. ,sup|()|iixwfx因 ，所以，任意 存在 ，使()(),nfxfab0,N数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数33 |()|,|()|()()NNfxffxfbaba又 在 上可积，所以
14、对上述 ，存在 ，只要 ，有 ，其中()Nf,ab0|T13niiw. sup|()|i Nwxf于是，当 时，,i23 |()|()ifxwba从而 11213()nni iiiwwba故 在 上可积()fx,5. 设级数 收敛，证明na0limnnxxa证 因 ，且 ，所以 单调一致有界，又 收敛，从而1|(,)xn1()x1x na在 上一致收敛，由阿贝尔判别法知 在 上一致收敛，显然na0,) nxa0,)在 上连续，由连续性定理知 在 上连续，故x,)nx,)00limlinnxxnaa6. 设可微函数列. 在 a, b 上收敛， 在a, b 上一致有界，证明：. 在 a, b 上n
15、f nf nf一致收敛.证 设 ，对 ，在 上取 个点，12|()|,(,)nfxMxab 0,ab1()m011ma数学分析习题解答 第十三章 函数列与函数项级数使它们把 分割成 （有限）小区间 且,abm1,iiix，因 在 上收敛，所以对 上任意一点 ，存124(,)iiixiM ()nf,abiix在 ，当 时，对任意自然数 ，有 ，对函数0iNinP2|)()|)inpiixfx应用微分中值定理知：任意 ，存在位于 与 之间的 ，使得()()npf i i，于是 .24| ()()|nninpixffxM|()()|npf取 ，则当 时，对一切 有 ，故12ma,mNN ,xab|()()|npfx在 上一致收敛.()nfxb
