1、等差数列的前n项和,【说明】3.更一般的情形，an= ，d=,复习：,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项AA,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,等差数列的性质,AA,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布
2、置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（1777-1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,首项与末项的和： 1100101，,第2项与倒数第2项的和： 299 =101，,第3项与倒数第3项的和： 398 101，, ,第50项与倒数第50项的和：5051101，,于是所求的和是：,求 S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,高
3、斯算法用到了等差数列的什么性质？,如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。,即求：S=4+5+6+7+8+9+10.,高斯算法： S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.,还有其它算法吗？,情景2,S=10+9+8+7+6+5+4.,S=4+5+6+7+8+9+10.,相加得：,倒序相加法,怎样求一般等差数列的前n项和呢？,新课,等差数列的前n项和公式,公式1,公式2,结论：知 三 求 二,思考：,(2)在等差数列 中，如果已知五个元素 中 的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?,(1)两个求和公式有何异同点？,公式记
4、忆, 类比梯形面积公式记忆,等差数列前n项和公式的函数特征：,特征：,思考：,结论：,例1、计算：,举例,例2、,注：本题体现了方程的思想.,解：,例3、,解：,又解：,整体运算的思想!,例4、,解：,1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。,解：,巩固练习,解:,1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,小结,3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.,已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.,应用求和公式时一定弄清项数n. 当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.,已
5、知一个数列的前n项和为Snn2n1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？ 【错解】 anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n，又anan12n2(n1)2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，an是等差数列 【错因】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n2与n1两种情况,1.(1)已知数列an的前n项和Snn23n1，求通项公式an； (2)已知数列an的前n项和Sn(1)n1n，求通项公式an.,一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和,由题目可获取以下主要信息： S10100，S10010；此数列为等差数列 解答本题可充
6、分利用等差数列前n项和的有关性质解答,题后感悟 本题解法较为灵活，方法一、二建立方程(组)计算属于通性通法方法三、四、五直接应用性质简捷明快，起到事半功倍的效果,2.(1)等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于( ) A12 B18 C24 D42 (2)已知等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1，S3m4，试求S6m. 解析： (1)S2，S4S2，S6S4成等差数列，即2,8，S610成等差数列，S624.,答案： (1)C,(2)Sm，S2mSm，S3mS2m成公差为d的等差数列 设S2mSmx，则S3mS2m2x1,已知数列an为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，求这个数列的通项公式,利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解,题后感悟 等差数列an中，a1，a3，a5，是首项为a1，公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，是首项为a2，公差为2d的等差数列当项数为2n时，S偶S奇nd，方法2中运用到了这些,
