1、中档大题规范练 3 数 列1.(2016课标全国甲)S n为等差数列 an的前 n 项和，且 a11，S 728.记 bnlg an，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.9 0，lg 991.(1)求 b1，b 11，b 101；(2)求数列b n的前 1 000 项和.解 (1)设a n的公差 为 d，据已知有 721d28，解得 d1.所以a n的通项公式为 ann.b1lg 1 0，b 11lg 111，b 101lg 1012.(2)因为 bnError!所以数列b n的前 1 000 项和为 1902900311 893.2.在数列a n中，a 11，a 47，a n2 2a n
2、1 a n0(nN *).(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn (nN *)，求数列b n的前 n 项和 Sn.1n3 an解 (1)a n2 2a n1 a n0( nN *)，a n2 a n1 a n1 a n(nN *)，即数列a n为等差数列，a 11，a 47，公差 d 2，a4 a13 7 13a n12(n1)2n1.(2)a n2n1，b n ( )，1n3 an 1n3 2n 1 12 1nn 1 12 1n 1n 1S n (1 ) (1 ).12 12 12 13 1n 1n 1 12 1n 13.已知数列a n是递增的等比数列，满足 a14，且 a3 是 a2
3、，a 4 的等差中项，数列b n满54足 bn1 b n1，其前 n 项和为 Sn，且 S2S 6a 4.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)数列a n的前 n 项和为 Tn，若不等式 nlog2(Tn4)b n73n 对一切 nN *恒成立，求实数 的取值范围 .解 (1)设等比数列a n的公比为 q，则 q1，an4q n1 ， a3是 a2，a4的等差中项，542 a3a 2a 4，54即 2q25q20.q1，q2 ，a n42 n1 2 n1 .依题意，数列b n为等差数列，公差 d1，又 S2S 6a 432，(2b 11) 6b 1 32，652b 12，b nn1.(2
4、)a n2 n1 ，T n 2 n2 4.42n 12 1不等式 nlog2(Tn4)b n7 3n 化为n2n7( n1)，nN *， 对一切 nN *恒成立.n2 n 7n 1而 n2 n 7n 1 n 12 3n 1 9n 1(n1) 32 33，9n 1 n 1 9n 1当且仅当 n1 ，9n 1即 n2 时等号成立，3.4.在各项均为正数的等比数列a n中，a 12，且 a3， 3a2， a4 成等差数列.(1)求等比数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足 bn(n2)log 2an，求数列 的前 n 项和 Tn.1bn解 (1)由已知 6a2a 3a 4，则 6a2a 2qa
5、 2q2，即 q2q60，又 q0，所以 q2，a n2 n.(2)bn(n2)log 22nn(n2)，则 ( )，1bn 121n 1n 2Tn 1b1 1b2 1bn (1 ) ( ) ( ) ( )12 13 1212 14 12 1n 1 1n 1 121n 1n 2 (1 ) 12 12 1n 1 1n 2 .34 2n 32n2 3n 25.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a6a 8 10，S 1035.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.an2n 1解 (1)由题设可得Error!解得Error!所以 an1(n1)2n.(2)因
6、为 n ，an2n 1 12n 2 12n 1所以 Tn21 (1 2 3 n )，12 12n 2 12 122 12n 1令 Sn21 ，12 12n 2Sn12 3 n ，12 122 12n 1则 TnS nS n，因而 Sn21 12 12n 2 4(1 )4 ，21 12n12 12n 12n 2因为 Sn12 3 n ，12 122 12n 1所以 Sn 2 3 n ，12 12 122 123 12n以上两式两边相减可得Sn1 n12 12 122 123 12n 1 12n n 2 n ，1 12n1 12 12n 12n 1 12n所以 Sn4 n ，12n 2 12n 1因此 TnS nS n .n2n 1
