1、1,第四章 导数的应用,4.1 微分中值定理,4.2 洛必达法则,4.3 函数的增减性和判定法则,4.5 函数的凹凸性及作图简介,4.4 函数的极值,4.6.函数的最值及应用,4.7 导数在经济分析中的应用,2,上一章研究了函数随自变量变化的速度,并且掌握了基本的求导方法.,本章,将利用导数来研究函数以及曲线的某些性态,并解决一些实际的问题.,为此，先学习微分,中值定理.,-导数.,微分中值定理是建立函数与导数联系的纽带.,4.1 微分中值定理,3,定理4.1 费马引理,费马 Fermat,(法) 1601-1665,有定义,如果对,那么,证,对于,有,4,由极限的保号性,函数的,驻点,稳定点
2、,临界点.,5,本节的几个定理都来源于下面的明显的,至少有,与连接此曲线两端点的弦,平行.,几何事实:,一点处的切线,连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 .,有水平的切线,6,拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813,定理4.2 拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,7,几何解释:,在该点处的切线,平行于弦,8,分析图中有向线段NM的值:,(1)NM的值是x的函数.,(2)在两个端点A,B处NM的值？,(3)NM的值的表达式是什么？,(4)直线AB的方程是什么？,AB的斜率,经过点,所以AB的方程为,所以NM的值为：,9,在a,b连续,注意到,从而在a,b上存在最值
3、.,如果最大值和最小值在端点a, b处取得，,导数处处为零，,结论成立！,10,Lagrange公式可以写成下面的各种形式:,它表达了函数增量和某点的,但是增量、,这是十分方便的.,由(3)式看出,导数之间的直接关系.,导数是个等式关系.,拉格朗日中值定理又称,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式.,有限增量定理.,11,它表明了函数在两点处的函数值,的单调性及某些等式与不等式的证明.,在微分学中占有,极重要的地位.,与导数间的关系.,今后要多次用到它.,尤其可利用它研究函数,拉格朗日中值定理又称微分中值定理,12,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,罗尔 Rolle,(法)1652-171
4、9,例1,13,例2. 平均速度,假设一个百米运动员跑100米的过程,如果用时是10秒，,则有,表示这个运动员的平均速度是每秒10米.,运动员起跑时速度低，而冲刺时速度都很高，所以 速度不是匀速的，,在跑的途中应至少有一个时刻 ，,平均速度，,用函数 表示，,在该时刻的速度为,即,14,推论1,证,根据拉格朗日中值定理,由条件,即在区间I中任意两,点的函数值都相等,所以,应用拉格朗日中值定理可得到两个重要推论:,15,推论2 导数处处相等的两个函数只相差一个常数.,即若,则,利用推论1可以证明.,16,例3.,解：,即,17,例4,证,由上式得,设,由,关键,满足Lagrange定理的条件,1
5、8,例5. 证明,证明：,则对任意,有,所以,又,故有,设,19,拉格朗日定理表明，光滑的曲,线上至少有一点C，,使得过C的切,线平行于弦AB.,如果此时弧AB由,参数方程 确定.,(1)曲线上点(X,Y)处的切线斜率为,(2)点A的坐标为(F(a),f(a)，点B的坐标(F(b),f(b),所以弦AB的斜率为,20,柯西 Cauchy (法)1789-1859,例6 柯西中值定理,(1),(2),使得,广义微分中值定理,21,例,证,分析,结论可变形为,即,满足柯西中值定理条件,22,罗尔 定理,拉格朗日 中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauc
6、hy)中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,23,这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将,的计算问题转化为,的计算.,其基本思想是由17世纪的法国,从而产生了简便而重要的,洛必达法则,后人对他的思,数学家洛必达 (LHospital)提出的,想作了推广,4.2 洛必达法则,24,其极限都不能直接利用极限运算,在第二章中看到,无穷大之商,法则来求.,那末极限,定义,型未定式.,或,如,意味着它的极限可能存在也可能不存在，,未定,两个无穷小之商或两个,两个函
7、数,f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,而不是极限不确定！,25,定理4.3,26,证,与f(a)和F(a)无关,由于,假定,27,柯西定理,再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,这种在一定条件下,通过分子分母分别求导,28,例,解,例,解,29,(多次用法则),30,则,31,例,解,32,例,解,注1： 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用;,33,例,解,极限不存在,洛必达法则失效.,注2： 当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,只表明不能使用洛必达法则;,34,不是未定式！,例,注3：不是未定式，不能使用法则！,35,注4：可能永远得不
8、到结果. （教材中例10）,其实:,例,36,例,解,步骤:,关键,或,将其它类型未定式化为洛必达法则可,解决的类型,其它类型的未定式：,37,例,解,38,例,解,步骤:,39,步骤:,例,解,3、,型未定式,40,例,解,41,例,解,数列的极限,由于,是,中的一种特殊情况,所以有,不能用洛必达法则,42,本节小结：,一、,二、,三、,注意,但求某些未定式极限不要单一使用洛必达,应将所学方法综合运用.,各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用,的工具,法则,三大类未定式,43,定理1,单调增加;,单调减少.,4.3 函数的增减性和判定法则,44,证,Lagrange中值定理,(1),(2),
9、此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,45,例,解,定义域为,练习：,46,求函数单调区间的方法,问题,如上例, 函数在定义区间上不是单调的,定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的分界点,但在各个部分区间上单调,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,47,例,解,定义域,单调区间为,48,例,解,单调区间为,定义域,49,区间内有限个点处导数为零,如,不影响区间的单调性.,单调增加.,表明：导数的零点仅仅可能是单调区间的分界点.,同样：导数不存在的点，,也仅仅可能是单调区间,的分界点.,这些点两侧的函数单调性需要通
10、过导数,的符号进一步判断.,50,例,证,练习：,提示：,51,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,4.4 函数的极值,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0(自变量)称为,52,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,53,定理4.5 (必要条件),如,(1),可导函数的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2. 极值的必要条件,必是驻点,费马引理,如果函数,可导,处取得最值,那么,回忆,极值,54,极值点也可能是导数不存在的点（即奇点）.,如,
11、但,怎样从驻点与奇点中判断一点是不是极值点,单减的分界点,(2),不可导.,是极小值点.,若 x0 是连续函数 f(x) 单增、,则 x0必为极值点.,几何上,?,即：极值点可能在两类点中取到： 一阶导数零点； 一阶导数不存在的点.,55,定理4.6,则,为极大值,则,不是极值.,(极小值);,3. 极值的充分条件,内可导，,56,一般求极值的步骤,求导数;,求驻点与奇点;,求相应区间的导数符号,判别增减性;,求极值.,(1),(2),(3),(4),不是极值点,57,例,解,(1),(2),驻点:,奇点:,(3),列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.,58,非极值,极小
12、值,不存在,极大值,驻点:,导数不存在的点:,单调增加区间:,单调减少区间:,59,定理 (第二充分条件),证,极大值,(极小值).,因此,当,充分小时,由极限的保号性,可见,与,异号.,所以,第一充分条件,自己证极小值情形.,60,例,解,61,仍用第一充分条件,定理3(第二充分条件)不能,应用.,事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.,如,分别属于上述三种情况.,62,63,在初等数学中，对于任意,曲线凹凸性的概念,凸曲线的函数值总满足,而凹曲线的函数值总满足,在高等数学中，要用导数研究曲线的凸凹性，而切线与导数有,直接联系，因此可以从曲线的几何特征出发，定义曲线的凸凹性.
13、,64,65,66,定理4.7 曲线凹凸性判定法 设函数,在某区间内二阶,可导，如果在这个区间内有,是凹的；如果在这个区间内有,，则函数曲线在这个区间内,，则函数曲线在这个区间,内是凸的. 如果二阶导数在点,左右异号，则点,曲线的拐点.,是,称,的点为二阶驻点，,不存在的点为二阶奇点.,拐点只能在二阶驻点和二阶奇点对应的曲线点上.,确定函数曲线的凹凸性与拐点与求解极值的步骤类似.,67,例21. 讨论函数,的凹凸性与拐点.,解：函数的定义域为,令,得二阶驻点：,以二阶驻点划分定义区间，列表讨论二阶导数的正负号与曲线,无二阶奇点.,的凹凸性、拐点：,68,例22. 已知,讨论,和凸凹区间.,的单
14、调区间,解：令,得驻点,得二阶驻点,，列出下表：,拐点,69,70,例23. 作函数,的图形.,解：,的定义区间为,是奇函数，图形关于,原点对称（所以只需讨论x,轴正向的作图），且曲线以 x轴,渐近线，无斜渐近线.又由,为水平,得一阶驻点,无一阶奇点；,得二阶驻点,无二阶奇点.,以一、二阶驻点划分函数的定义区间，列表讨论函数的单调性、,极值，曲线的凹凸性和拐点.,71,-4,-2,2,4,-0.4,-0.2,0.2,0.4,72,4.6.函数的最值及应用,一般函数的最值,如果函数,在,上连续，则必取得最大值和最小值.,最大值、最小值必在极值和边界值中取到，所以只需求出所有极,值和边界值,进行比
15、较，即可求得最大值和最小值.,和,例24. 求函数,在区间-3,3上的最值.,解：由,得驻点,均在-3,3内，求出：,所以该函数在-3,3上的最大值为,最小值为,73,例25. 求,对于非闭区间上连续函数的最值，可以利用函数的最值与极值,的关系，通过考察函数的变化趋势确定出函数有无最值.,解：在前例中已得到,的最值.,是极小值，,是极大值.,由于函数定义域是无穷区间，所以要考虑,时，函数的,趋势变化. 因为,所以以上极大值就是最大值，,就是最小值.,极小值,74,75,76,于是由,得唯一驻点,而容积一定，最小表面积是存在的，所以取圆柱体的底半径为,高为,时制作圆柱形容器用料最省.,可以发现易
16、拉罐基本符合这样的,观测市场上易拉罐形饮料，,定容量的底高比.,77,例26. 某房产公司有50套小型楼房要出租，当每套月租金为360,元时，楼房会全租出去，而当每套月租金增加20元时，就有一套,租不出去.又租出去的房子每月需花费40元的维护费，问房月租金,定为多少时可获最大收益.,解：建立关于每套月租金的总收益函数. 设每套房的月租金为x元.,租出的套数，与月租金有关，设可租出去的房子为c(x),租金增加20元时，就有一套租不出去”, 可知c(x)为线性函数，于是,由“每套月,设c(x) = ax + b ,由“当每套月租金为360元时，楼房会全租出去”，,代入,和,求出,月出租房的总收益函
17、数模型为,从而,78,79,80,实用中，边际函数的经济学意义是：当主经济变量,改变一个,单位时，目标经济变量,近似改变,个单位，近似地描述了目标,经济变量,对主经济变量,的变化量. 在应用时，常常把“近似”,二字去掉，就用边际值,表示目标变量在,处的变化量.,例如：经济函数为,，其边际函数为,则,，表示当主经济变量在,处改变一个单位时，,目标经济变量,改变40个单位.,81,边际成本 生产或经营成本一般由固定成本和可变成本构成，,表示为函数,其中,为固定成本，,可变成本，,为产量(或商品量).则边际成本函数为,为,边际成本近似描述总成本的变化量，表示当产品量增加一个单位,时所增加的总成本.,
18、例28. 已知生产某产品的成本函数为,单位百元.,求（1）边际成本函数；（2）,说明其经济意义.,解：（1）边际成本函数为：,（2）,表示在产量,的水平上，再多生产,一件，所增加的成本为900元.,82,83,边际利润 生产销售产品所获得的纯收入，称为利润.在产品价格,一定的条件下，利润一般是产品量的函数，表示为,从而边际利润为,（1）取最大利润的必要条件为：,利用极值原理，有如下结论：,即,取最大利润的必要条件为边际收益等于边际成本；,（2）取最大利润的充分条件为：,因此,即,因此取最大利润的充分条件是边际收益的变化率小于边际成本的,变化率.,84,例30. 某企业生产销售产品的利润函数为：
19、,求生产量为20、25、30,个单位时的边际利润；产品量为何时，可,获最大利润?,解：边际利润函数为：,则生产量为20、25、30,个单位时的边际利润分别为,这说明：当产量为20个单位时，再增加产量1个单位，利润将增加,50个单位；当产量为25个单位时，再增加产量，利润不再增加；,当产量为35个单位时，再增加产量1个单位，利润将减少50个单位.,令,得唯一驻点,且,所以当产量为,个单位时，可获最大利润：,85,函数在一点处的改变量或变化率描述的是函数在一点处的绝对,弹性分析,变化量，而在许多实际问题中，还需要考虑相对变化量的问题，,例如：甲产品的单位价格为20元，乙产品的单位价格为200元，当
20、,二产品的单价都涨价1元时，说的是它们单价的绝对变化量都是,1元，此时我们对二个产品的涨价幅度的大小是比较模糊的.但当,用相对变化量,作比较时，问题就清晰,了，甲种产品的涨价幅度要远比乙种产品的涨价幅度大.,在经济问题分析中，更重要的是要研究联系两个经济量的函数,的相对变化量关于,的相对变化量的变化问题，即,所谓的弹性分析问题.,86,设主经济变量为,目标经济变量为,联系这两个经济量的函数,对,处的改变量,的相对改变量为,函数,的相对改变量为,则,的相对改变,为,量与,的相对改变,的相对改变量,之比,描述,从,到,两点间的相对平均,变化率，称为函数,从,到,两点间的弹性，记作,如果,是,的可导
21、函数，则极限,描述的是,对,的相对变化率，在经济学中称为函数,对,的弹性函数，简称为弹性，记作,87,弹性的经济学意义：由,当取,时，,即,改变1%个单位时，,近似的改变,个单位，描述,的是随着,的变化，函数,变化幅度的大小，反映函数,变化的敏感度.,对,88,例如：经济函数,当,从 2,变化到 6 时，,相对改变量为,的,的相对改变量为,则,从,到,两点间的弹性为,在点,处的弹性为,表示当,时，再增加(或减少)1%，则,从,处再增加(或减少),89,需求价格弹性 在经济学中，以买方的观点，把市场对产品(商品),的需求量关于价格的经济函数,，称为需求函数，其中,是产品需求量，,是产品价格.,经
22、济市场的实践表明，需求函数是减函数，即一般反应为：产品,价格低，需求量增加，反之，产品价格高，需求量就会减少，这,同时也说明，市场产品需求量对价格的反应是很敏感的，因此需要,研究描述这种敏感性的数学模型，这就是所谓的需求弹性.,设需求函数,关于价格,的可导函数，则把,称为需求量,从价格,到,两点间的需求价格弹性.,90,把,称为需求量,在价格,处的需求价格,弹性，简称为需求弹性.,需求弹性的意义是：当价格从,上涨(或下跌),时，需求量,减少(或增加),将从,例31. 设需求函数为,求价格P,从 2 到 6 两点间的,需求弹性；在价格,处的需求弹性.,解：价格P从 2 到 6,两点间的需求弹性为
23、,由,则,91,92,供给弹性 在经济学中，以卖方的观点，把对市场的产品供给量,关于价格的经济函数,称为供给函数，其中,是产品供给量，,是产品价格.,对于卖方来说，产品的市场价格高，愿意多卖出，即一般地产品,价格高，供给量就会增加，反之，产品价格低，供给量就会减少，,价格的反应也是灵敏的，因此也需要研究描述这种灵敏性的数学,所以，供给函数是增函数，这同时也说明，市场产品的供给量对,模型，这就是所谓的供给弹性.,93,94,95,收益与需求弹性分析 产品营销活动中，生产经营者的收益一般,的决定于产品的市场价格和需求量，因此总收益函数模型又可表示,为,其中,为产品的市场价格，,的需求量.则由,为市
24、场对产品,对收益函数做出如下分析：,（1）当,时，需求变化幅度小于价格变化幅度，称为需求,对价格具有低弹性，说明价格对需求的影响不大；且此时,总收益函数递增，从而，价格上涨(下跌)总收益增加(减少)；,96,97,例34. 设某产品的市场需求函数为,（1）求需求弹性函数；,（2）求,时的需求弹性；,如果价格上涨,时，,1 %，总收益是增加还是减少？,（3）价格P为何值时，总收益最大，最大收益是多少？,解：（1）需求弹性函数为：,（2）,时的需求弹性为：,因为,所以当价格上涨 1 %时，时，总收益将增加.,（3）,时，即,时，可获最大收益.,98,下面用求导的方法验证.,总收益函数为：,由,得唯一驻点,，且,，所以当价格,最大收益是,时，可获最大收益,99,第四章结束,
