1、第二十四卷第六期 2009年6月 楚雄师范学院学报 loUl L OF CHUXIONG NORMAL UNIVERSITY Vo124 No6 Jun2009 圆锥曲线的渐屈线和曲率圆 杨 胜 梁双凤 (1楚雄师范学院经济信息管理及计算机应用系，云南楚雄675000； 2楚雄师范学院数学系，云南楚雄675000) 摘要：曲线c在点P( 。，Yo)曲率圆是与该曲线c相切于点P( 。，Yo)(凹侧)的最大圆，曲率圆的 圆心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线。抛物线， =2p(p0)、椭圆 +鲁=1和双曲线- T一号 a o 口 D =l的渐屈线方程分别为 = ( p 3 x( 。3)手2 紊 1和
2、 一 杀 1抛物 线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆，其方程分别为( p) +y2=P 、f 三-)+ = b， c 、 2 b 、l 一a J+)， 一a2。 关键词：曲率；睦率圆；曲率中心；渐屈线；半立方抛物线 中围分类号：O1575 文章标识码：A文章编号：167l一7406(2009)060o29一o6 设曲线c的方程为Y= )，那么曲线Y=厂( )在点P(x。 o)的曲率为Ji曲率xo)= f(x。)I 1+厂 x0)。 ；曲率 曲率( 。)越大，表明曲线Y= )在点P的弯曲程度越大。 曲线c在点P(x。 。)的曲率k曲率(k曲率0)的倒数尺= 称为曲线c在该点P的曲 n曲
3、率 1 率半径。以曲率半径尺= 为半径、以点P(x。 。)为切点，在曲线c的凹的一侧所作的圆，称 ，=曲率 为曲线C在点P(x。 。)的曲率圆。【l 由于曲线c的曲率圆与曲线C在点P( 。，Yo)有相同的 切线和曲率，且在点P(x。，Yo)邻近有相同的凹向；因此，曲线c在点P(x。，Yo)曲率圆是与该曲线 C相切于点P( 。，Yo)(凹侧)的最大圆。 定理l 设P(x。，yo)是曲线c上任意一点，则在曲线C的凹侧且与该曲线相切于点p(x。，Yo) 的最大圆是曲线C在该点的曲率圆。 曲率圆的圆心D(Ot， )叫做曲线c在该点的曲率中心，则不难得到 Yo(1+， 。一 一 。 1+Y 。 ，0+
4、当切点P(x。 。)沿曲线c移动时，相应的曲率中心D的轨迹曲线G称为曲线c的渐屈线。 1抛物线的渐屈线与曲率圆 1。1 抛物线的渐屈线 设P(x。，yo)( 0)为抛物线Y =2px(p0)上任意一点，则抛物线在此点的曲率 收稿日期：20090407 作者简介：杨胜(1961一)，男，汉族，云南昆明人，讲师，主要研究方向：计量经济学。 29 楚雄师范学院学报2009年第6期 楚雄师范学院学报 2009年第6期 Ji抛的曲率 。) = ；从而抛物线在点P( 。 )(z。 。)的曲率半径 尺抛曲率半径( 。)： 。过点P(， )作抛物线的法线，在凹的一侧(法线上)取一点D，满足 ： 测 为此融曲率
5、阿 而=3Xo3P 。删把 Z 一 方程组中 。和y。消去；便得到方程 = ( p) 。 定理2 抛物线 =2p (po)的渐屈线方程为 = ( p) 抛物线y2=2p(p0)的渐屈线是顶点在A(p，O)的半立方抛物线，如图11和图12所示。 图11 图12 12 抛物线的曲率圆及其性质 由于抛物线y： (po)在P( ， )( 。 0)的曲率半径R抛曲率半径( )： ， P ，3 曲率中心为D(3x。+P，一 )，从而得到抛物线在点p(x。， 。)( 0)的曲率圆方程。 P 定理3 抛物线Y =2p(p0)在点p(xo，Yo)( 0)的曲率圆方程为( 一3 一p) + (，+p孽1J = ；
6、其中 ：2p 。 由于 。 0，所以抛物线的R抛曲率半径()： p，且 。：0时，曲率半径最小为p； P 因此，抛物线有最小的曲率圆。 定理4 抛物线y =2p(p0)有最小曲率圆，其方程为( 一p) +y2=P 。 推论1 抛物线的最小曲率圆，恰好是与抛物线相切于顶点(0，0)的最大内切圆。 由于抛物线在点P(x。，Y。)( 。 0)的曲率圆是与抛物线相切(凹侧)于点P的最大圆，从而 有定理5。 定理5 在抛物线的Y =2p(p0)凹侧、与该抛物线相切于点p(x0， 。)( 。 0)的圆的 1，3 圆心轨迹为线段I尸D I，其中D(3x。+P，一 )(图12)。 P 例如，抛物线Y =2x在
7、点P(2，2)处的曲率圆方程是( 一7) +(Y+8) ：125，而它在此点 的最大内切圆的方程为( 一3) +y2=5，如图14所示。 -30 楚雄师范学院学报2009年第6期 杨 胜 梁双凤：圆锥曲线的渐屈线和曲率圆 ： ：=：= 一l】 。 图13 图14 图15 为了便于叙述，特假设本文所有的字母口，6， 都分别表示椭圆，： +等=1或f ? ?“的 a o tv=D Stn t 长半轴的长、短半轴的长和半焦距，即它们满足口bc，c0且c ：口 一b 。 2I 椭圆的渐屈线方程 2 rX：旦-c0s t 定理6 椭圆f ? (t为参变量)的曲率中心D(X，y)的轨迹方程为 n y m
8、l Y：一 i凡 t 证明 设p( ，y)为椭圆 ： t上任意一点，则)， =耋：一 b c。c t；y，= dx=一 bt V=D S几 u J-， fx： 一 抒 蟀 y 肪醐n i Y+ 伽 y=6 s t及)， 一 b c。 f，)，”=一 b ，代入其方程组并化简后得椭圆的曲率中心D( ，y)-*3t 迹方程。 推论2 椭圆 + l(口6c)的渐屈线方程为 + 23a l。 D ， ，T、了 ，、 表1 椭圆的渐屈线与四叶星形线的对照表 椭圆的 + = 或 ：=6a c ons t 2+ ： 或f 圆的方程 方程 t，=a Sln t (四叶) 椭圆的 ， 一1 I t + = 或
9、口a，ons 3Y a 星形线 渐屈线 (c2a)r 6)手一孰l t 方程 方程 渐屈线 _ - ? -+ 星形线的 的图形 、 图形 _-。d。 31 楚雄师范学院学报2009年第6期 楚雄师范学院学报 2009年第6期 设P(Ct C0$t,6 s t)为椭圆： ：sc0intt上在意一点，贝R椭曲率半径(t)= ，由定 LV=D D 理6知，椭圆在点P(a cos t,b sin t)的曲率中心为G( 。s3t，一 t)，则得到椭圆的曲率圆方 程(图21)。 定理7 椭圆fx 。? 在点e(a cos t，6 s t)的曲率圆方程为f 一一C2。 ，1 + L y=D Stn t 、
10、口 (y+ 2 t) =盟 。 由于00，b0，C =n2+b o 31 双曲线的渐屈线方程 r =羔1ec z 定理10 双曲线f a， 的渐屈线方程为 口， (为参变量)。 地 【y一鲁 楚雄师范学院学报2009年第6期 杨 胜 梁双凤：圆锥曲线的渐屈线和曲率圆 证明 设p( ，)，)为双曲线 ：t an t上任意一点，则 = = =一 。t t；lil“It 17, a L =D u u J， u 一 ： ， 耕心D( y) 施组 + ， ：一 代人其方程组并化筒后得曲 )的轨迹方程为r 。 口 【y一 n3t 推论5 双曲线 一吾=l的渐屈线方程为 一 3 1。 双曲线和它的渐屈线的图
11、形之间的关系如图31和32所示(虚线为双曲线的渐屈线) - - 图31 一 一 一 图32 32 双曲线的曲率圆及其性质 设P(a sec，b tan I)为双曲线Jr上任意一点，则双曲线在此点的Ii双曲率(t)= 从而尺双曲率半径()=A(b +c2 n2 t)。由定理10知，双曲线在点P(a SeC t,6 t口n t)的曲率中心 为G(亭ec3 l，一btan t)，所以得到双曲线的曲率圆方程。 定理11 双曲线 ：sec 在点P(a sec t，6 n f)的曲率圆方程为f 一 2。，1+ Ly=6 tan t 、 a 1 ()，+btan t) = 1(6 +c2 2 t) 。 由于
12、t口n t 0，所以6 +c2 tant 6 ，即R曲率半径(t) b2，从而得到定理l2。 定理l2 双曲线 2一 2=l无最大曲率圆，它的最小曲率圆方程为( ) + = b4a 。 口 O 、 ， 。 n 2 2 推论6 双曲线 一 =1的最小曲率圆恰好是该双曲线在顶点(口，0)的最大内切圆。 定理l3 双曲线在任意点处的曲率圆都是它在该点处的内切圆的外切圆(图33和图34) ： j ， ， 图33 o)，euipse + 1 and hyperbol x。 吾=-are res tively as follows：)，2= ( 一p X 3十 y3 l X,3一 3 -111le fIlinil啪eun，ature eircles of parabola，ellipse and hyperbola all are their inscribed circle， ki 唧mtions are( p)：+ ：p2、( 丢) +，2= b4锄d( 鲁) 一)，2= res ctively Kev words：cunrature；curvature circle；center of curvature；evolute；semicube；parabola 34 楚雄师范学院学报2009年第6期
