1、第四章 三角形,第三节 等腰三角形与直角三角形,考点精讲,等腰三角形与直角三角形,等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形,等腰三角形,性质 判定 温馨提示：等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.一般情况下，在同一个三角形中“欲证边相等，先证角相等”,“欲证角相等，先证边相等” 面积计算公式：S ，其中a为底边长， h为底边上的高,性质,1.两腰_，即AB=AC 2.两个_相等（简写成“等边对等角”）,即BC 3.顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高_（简称“三线合一”） 4.是轴对称图形，有_条对称轴,相互重合,相
2、等,底角,1,判定,1.有_的三角形是等腰三角形（定义） 2.有两角相等的三角形是等腰三角形,两边相等,等边三角形,性质 判定 面积计算公式：S = a2，a为三角形任意一边的长，h为三角形任意一边的高,性质,1.三条边_，即AB=AC=BC 2.三个内角相等，且每个角都等于_，即BAC=B=C=60 3.是轴对称图形，有_条对称轴 4.“三线合一”,相等,60,3,判定,1.三边都相等的三角形是等边三角形（定义） 2.三角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是_的等腰三角形是等边三角形,60,直角三角形,性质 判定 面积计算公式：S= = ch，其中a、b为两个直角边，c为斜边，h为斜边
3、上的高,性质,1.两锐角之和等于_，即A+B=90 2.斜边上的中线等于 _即 CD是斜边AB上的中线，CD= 3. 30角所对的直角边等于斜边的 _ ，即A=30, BC= AB 4.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，a2+b2=c2 5. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30,即BC= AB A=,90,斜边的一半,一半,30,判定,1.有一个角为90的三角形是直角三角形（定义） 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c且满足 ,那么这个三角形是直角三角形 3.有两个角互余的三角形是直角三角形,a2+b2=c2,等
4、腰直角三角形,性质 判定 面积计算公式：S= = ch= ，其中a为直角边，c为斜边，h为斜边上的高,性质,1.两直角边相等，即AC=BC 2.两锐角相等且都等于45 3.是轴对称图形，有1条对称轴，即CD所在的直线 4.“三线合一” 温馨提示：AC=BC，由勾股定理可得AB2=2AC2=2BC2，即AB= AC= BC,判定,1.顶角为90的等腰三角形是等腰直角三角形 2.有两个角为45的三角形是等腰直角三角形 3.有一个角为45的直角三角形是等腰直角三角形 4.两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形,重难点突破,一,等腰三角形性质的相关计算,例1 如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA
5、的延长线上，EPBC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为_.,例1题图,【思维教练】要求CE的长度，观察图形，CE=AC+AE.在ABC中，AB=AC，AB=BF+AF , BF、AF已知，求得AC的长，现在只要求出AE即可.根据等边对等角得出B=C,再根据EPBC，得出C+E=90,B+BFP=90,从而得出E=BFP，再根据对顶角相等得出E=AFE，即AE=AF，CE即可求解.,例1题图,【解析】在ABC中，AB=AC，B= C,EPBC，C+E=90，B+ BFP=90,E=BFP,又BFP= AFE，E=AFE，AFAE， AEF是等腰三角形.又AF2，BF3，
6、CAAB=5，AE2，CE=7.,【答案】7,例1题图,涉及等腰三角形的边、角问题时，一般根据等腰三角形的性质求解，有时也需分情况讨论：（1）对于和边长有关的计算要分这条边是底边还是腰，同时在确定了底边和腰后，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形；（2）对于解决与角度有关的计算时，如果所给角度是直角或钝角，则这个角一定是等腰三角形的顶角，如果所给角度是锐角，则要分所给角是底角还是顶角两种情况，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理来求角度.,【拓展1】等腰三角形有一个角是40，则它的底角为（ ） A. 60 B. 40 C. 40或70 D. 70,【解析】当40的角为等腰三角形的顶角时
7、，底角 =70;当40的角为等腰三角形的底角时，其底角为40，故它的底角的度数是70或40.,二,直角三角形性质的相关计算,例2 如图，在Rt ABC中，ACB=90, B=30,CD是斜边AB上的高，AD3 cm， 则AB的长度是( ) A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm,例2题图,【思维教练】要求AB的长度，由题意可知AB可转化为2AC , ACB,B已知，易求出ACD=30，然后根据30所对的直角边等于斜边的一半求得AC的长，AB即可求解.,【解析】在Rt ABC中，CD是斜边AB上 的高,ADC=90,ACDB30, AD=3 cm，在Rt ACD中，AC
8、=2AD 6 cm，在Rt ABC中，AB=2AC12 cm.,【答案】D,例2题图,解决直角三角形的相关计算时，常从以下几方面考虑： 1.当直角三角形中出现30角时应联想到30角所对的直角边是斜边的一半; 2.当出现斜边上的中线时要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半; 3.作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值求线段或角度; 4.利用全等三角形或相似三角形的性质进行转换求相应的量.,【拓展2】(2016广州)如图，在Rt ABC中, AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（ ） A.3 B. 4 C. 4.8 D. 5,
9、拓展2题图,【解析】AB=10，BC=6，AC=8, AB2=AC2+BC2, ACB=90, DE垂直平分AC，AED=90，AE=CE=4，DEBC，DE是ABC的中位线，DE= BC=3，在Rt CED中，CD= =5.,【答案】D,拓展2题图,【拓展3】如图，在Rt ABC中，ACB90, AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，过点D作DEAB于点E，若BC的长为5 cm，则ADE的周长为_.,拓展3题图,【解析】BD平分ABC，DEAB，DBE=DBC, BEDC90，又BD=BD,BDEBDC, DE=DC,BE=BC,ADE的周长为：DE+DA+AE=DC +DA+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB，ABcm，ADE的周长为 cm.,【答案】,拓展3题图,
