1、课时分层训练(二十一) 正弦定理和余弦定理A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1(2018兰州模拟)设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C ccos B asin A，则 ABC 的形状为( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B 由正弦定理得 sin Bcos Csin Ccos Bsin 2A，sin( B C)sin 2A，即 sin( A)sin 2A，sin Asin 2A A(0，)，sin A0，sin A1，即 A . 22在 ABC 中，已知 b40， c20， C60，则此三角形的解的情况是( )A有
2、一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定C 由正弦定理得 ，bsin B csin Csin B 1.bsin Cc 403220 3角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在3(2016天津高考)在 ABC 中，若 AB ， BC3， C120，则 AC( )13A1 B2 C3 D4A 由余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos C，即 13 AC292 AC3cos 120，化简得 AC23 AC40，解得 AC1 或 AC4(舍去)故选 A4(2018石家庄模拟) ABC 中， AB ， AC1， B30，则 ABC 的面积等于( ) 3【导学号：00090111】A B
3、32 34C 或 D 或32 3 32 34D 由余弦定理得 AC2 AB2 BC22 ABBCcos B，即 13 BC23 BC，解得 BC1 或 BC2，当 BC1 时， ABC 的面积 S ABBCsin B 1 .12 12 3 12 34当 BC2 时， ABC 的面积 S ABBCsin B 2 .12 12 3 12 32总上之， ABC 的面积等于 或 .34 325(2016全国卷)在 ABC 中， B ， BC 边上的高等于 BC，则 sin A( ) 4 13A B 310 1010C D55 31010D 过 A 作 AD BC 于 D，设 BC a，由已知得 AD
4、. B ， AD BD， BD ADa3 4， DC a， AC a，在 ABC 中，由正弦定理得 a3 23 (a3)2 (23a)2 53 asin BAC，53asin 45sin BAC ，故选 D31010二、填空题6(2018青岛模拟)如图 361 所示，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD AC，sin BAC ， AB3 ， AD3，则 BD 的长为_223 2【导学号：00090112】图 361sin BACsin(90 BAD)cos BAD ，3223在 ABD 中，有 BD2 AB2 AD2 ABADcos BAD， BD218923 3 3，2223 B
5、D .37已知 ABC 中， AB ， BC1，sin C cos C，则 ABC 的面积为_3 3由 sin C cos C 得 tan C 0，所以 C .32 3 3 3根据正弦定理可得 ，即 2，BCsin A ABsin C 1sin A 332所以 sin A .因为 AB BC，所以 A C，所以 A ，所以 B ，即三角形为直角三12 6 2角形，故 S ABC 1 .12 3 328(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 2bcos B acos C ccos A，则 B_.由 2bcos B acos C ccos A 及正弦定
6、理， 3得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin( A C)又 A B C， A C B2sin Bcos Bsin( B)sin B又 sin B0，cos B . B .12 3三、解答题9(2018陕西八校联考)已知 ABC 内接于单位圆，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2acos A ccos B bcos C(1)求 cos A 的值；(2)若 b2 c24，求 ABC 的面积解 (1)2 acos A ccos B bcos C，2sin Acos Asin Ccos Bsin Bcos C，即 2sin
7、Acos Asin( B C)sin A 4 分又 0 A，sin A0.2cos A1，cos A . 6 分12(2)由(1)知 cos A ，sin A .12 32 ABC 内接于单位圆， 2 R2， a2sin A . 8 分asin A 3由 a2 b2 c22 bccos A，得 bc b2 c2 a2431， 10 分 S ABC bcsin A 1 . 12 分12 12 32 3410(2017云南二次统一检测) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， m(sin B,5sin A5sin C)与 n(5sin B6sin C，sin Csin A)
8、垂直(1)求 sin A 的值；(2)若 a2 ，求 ABC 的面积 S 的最大值2【导学号：00090113】解 (1) m(sin B,5sin A5sin C)与 n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直， mn5sin 2B6sin Bsin C5sin 2C5sin 2A0，即 sin2Bsin 2Csin 2A . 3 分6sin Bsin C5根据正弦定理得 b2 c2 a2 ，6bc5由余弦定理得 cos A .b2 c2 a22bc 35 A 是 ABC 的内角，sin A . 6 分1 cos2A45(2)由(1)知 b2 c2 a2 ，6bc5 b2 c2
9、 a22 bc a2. 8 分6bc5又 a2 ， bc10.2 ABC 的面积 S bcsin A 4，12 2bc5 ABC 的面积 S 的最大值为 4. 12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016山东高考) ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c 已知b c， a22 b2(1sin A)，则 A( )A B 34 3C D 4 6C b c， B C又由 A B C 得 B . 2 A2由正弦定理及 a22 b2(1sin A)得sin2A2sin 2B(1sin A)，即 sin2A2sin 2 (1sin A)，( 2 A2)即 sin2A2
10、cos 2 (1sin A)，A即 4sin2 cos2 2cos 2 (1sin A)，A A A整理得 cos2 0，A(1 sin A 2sin2A2)即 cos2 (cos Asin A)0.A0 A，0 ，cos 0，A2 2 A2cos Asin A又 0 A， A . 42如图 362，在 ABC 中， B45， D 是 BC 边上的点， AD5， AC7， DC3，则 AB的长为_图 362在 ADC 中， AD5， AC7， DC3，562由余弦定理得 cos ADC ，AD2 DC2 AC22ADDC 12所以 ADC120， ADB60.在 ABD 中， AD5， B45
11、， ADB60，由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin B所以 AB .5623(2018昆明模拟)如图 363，在四边形 ABCD 中， DAB ， AD AB23， BD ， AB BC 3 7图 363(1)求 sin ABD 的值；(2)若 BCD ，求 CD 的长. 【导学号：00090114】23解 (1) AD AB23，可设 AD2 k， AB3 k.又 BD ， DAB ，7 3由余弦定理，得( )2(3 k)2(2 k)223 k2kcos ，7 3解得 k1， AD2， AB3，sin ABD .ADsin DABBD 2327 217(2) AB BC，cos DBCsin ABD ，217sin DBC ， ，277 BDsin BCD CDsin DBC CD .727732 433
