1、第 2 讲 直线与圆的位置关系1.如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以 BC为直径的半圆 O 交于点 F，连接 CF 并延长交 AB 于点 E.(1)求证：E 是 AB 的中点；(2)求线段 BF 的长解：(1)证明：由题意知，AB 与圆 D 和圆 O 相切，切点分别为 A 和 B，由切割线定理有：EA2EFECEB 2，所以 EAEB，即 E 为 AB 的中点(2)由 BC 为圆 O 的直径，易得 BFCE，所以 SBEC BFCE CBBE，12 12所以 ，所以 BF a.BFBE CBCE 552.(2015高考全国卷)如图，AB 是O
2、 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O于点 E.(1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；(2)若 OA CE，求ACB 的大小3解：(1)证明：如图，连接 AE，由已知得 AEBC，ACAB.在 RtAEC 中，由已知得 DEDC，故DECDCE.连接 OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即 DE 是O 的切线(2)设 CE1，AEx.由已知得 AB2 ，BE .3 12 x2由射影定理可得 AE2CEBE，即 x2 ，即 x4x 2120.12 x2解得 x ，所以ACB60.33.(2015高考湖南卷)如图，在O 中，相交于点
3、E 的两弦 AB，CD 的中点分别是 M，N，直线 MO与直线 CD 相交于点 F，证明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.证明：(1)如图所示，因为 M，N 分别是弦 AB，CD 的中点，所以 OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四边形的内角和等于 360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N 四点共圆，故由割线定理即得 FEFNFMFO.4.(2016九江统考)如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，ADCD 交O 于点 E，连接 AC、BC、OC、CE，延长 AB 交 CD 于 F.(1)证明：
4、BCCE；(2)证明：BCFEAC.证明：(1)因为 CD 为O 的切线，C 为切点，AB 为O 的直径，所以 OCCD，又 ADCD，所以 OCAD，所以OCACAE，又 OCOA，所以OACOCA，所以OACCAE，所以 BCCE.(2)由弦切角定理可知，FCBOAC，所以FCBCAE，因为四边形 ABCE 为圆 O 的内接四边形，所以ABCCEA180，又ABCFBC180，所以FBCCEA，所以BCFEAC.1.(2016西安地区八校联考)如图，圆 O 为四边形 ABCD 的外接圆，ABBD.过点 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 P，PBD 的角平分线与DC 的延长线交于点
5、E.(1)若 AB3，PD2 ，求 AD 的长；7(2)求证：BE 2CEDE.解：(1)PD 为圆 O 的切线，PA 为圆 O 的割线，故 PD2PBPAPB(PBBA)，所以(2 )2PB(PB3)，PB4.7又ABDP，PP，所以ADPDBP，所以 ，AD .ADBD PDPB PDDBPB 2734 372(2)证明：由已知：BCEA，PBDABDA，而 ABBD，故ABDA，所以PBD2A，又因为 BE 平分PBD，所以EBDA，所以BCEEBD，又BECBED，所以BECDEB，所以 ，BE 2CEDE.BECE DEBE2(2016郑州第一次质量预测)如图所示，EP 交圆于 E，
6、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PGPD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F.(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若 ACBD，AB5，求弦 DE 的长解：(1)证明：因为 PGPD，所以PDGPGD.由于 PD 为切线，故PDADBA，又因为EGAPGD，所以EGADBA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.又 AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故 AB 为圆的直径(2)连接 BC，DC.由于 AB 是直径，故BDAACB90.在 RtBDA 与 RtACB 中，ABBA，ACBD，从而得 RtBDA RtACB，于是D
7、ABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故 DCAB.因为 ABEP，所以 DCEP，DCE 为直角，所以 ED 为直径，又由(1)知 AB 为圆的直径，所以 DEAB5.3.(2016山西省质检)如图，O 1与O 2交于 C，D 两点，AB 为O 1的直径，连接 AC 并延长交O 2于点 E，连接 AD 并延长交O 2于点 F，连接 FE 并延长交 AB 的延长线于点 G.(1)求证：GFAG；(2)过点 G 作O 1的切线，切点为 H，若 G，C，D 三点共线，GE1，EF6，求 GH 的长解： (1)证明：连接 BC，GD.因为 AB 是O 1的直径，所以ACB90，所以ABC
8、CAB90.由 A，B，C，D 四点共圆，得ABCFDC，由 C，D，F，E 四点共圆，得GECFDC，所以GECABC，所以GECCAB90，所以EGA90，即 GFAG.(2)因为 GH 为O 1的切线，GCD 为O 1的割线，所以 GH2GCGD.又 GCD，GEF 为O 2的两条割线，所以 GCGDGEGF，所以 GH2GEGF7，所以 GH .74.(2016江西省调研)如图，已知圆 O 和圆 M 相交于 A，B 两点，AD 为圆M 的直径，直线 BD 交圆 O 于点 C，点 G 为圆弧 BD 的中点，连接 AG 分别交圆 O、BD 于点 E，F.连接 CE.(1)求证：AGEFCE
9、GD；(2)求证： .GFAG EF2CE2证明：(1)连接 AB，AC，GD，因为 AD 为圆 M 的直径，所以AGD90，ABD90，则ABC90，所以 AC 为圆 O 的直径，所以CEA90，所以CEFAGD90，因为DFGCFE，所以ECFGDF，因为 G 为弧 BD 的中点，所以DAGGDF，所以DAGECF，所以 RtCEF RtAGD，所以 ，CEEF AGGD所以 AGEFCEGD.(2)由(1)知DAGGDF，GG，所以 RtDFG RtADG，所以 ，所以 DG2AGGF，DGAG GFGD由(1)知 ，所以 ，CEEF AGGD EF2CE2 GD2AG2 AGGFAG2 GFAG即 .GFAG EF2CE2
