1、专题 08 解密导数的几何意义一、选择题1 【甘肃省会宁县第一中学 2018届高三上学期第三次月考】设函数 2gfx，曲线 ygx在点 1,处的切线方程为 21yx，则曲线 y在点 1,f处的切线的斜率为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 2【答案】 C【解析】对函数 2fxgx，求导可得 2fxgx， ygx在点1,g处的切线方程为 1y， 2g， 1124f，yfx在点 1,f处切线斜率为 4，故选 C.2 【湖南省衡阳市第八中学 2017-2018学年高二上学期期中】若实数 ,abcd满足4ln20bacd，则 22acbd的最小值为A. 3 B. C. 5 D. 6【答案】 C由 2
2、4lnyx，得 42yx，令 ，得 0，解得 1x或 （舍去） 。所以切点为 1,。故点 ,到直线 20xy的距离为 215d。故曲线上的点到直线的最小距离为 5。 22acbd的最小值为 5。 选 C。点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子 22acbd的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。3 【吉林省吉化一中、前郭五中等 2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线2ln4xy的一条切线的斜率为 12，则切点的横坐标为（ ）A. B. C. 3 D.
3、 或 3【答案】 C4 【吉林省吉化一中、前郭五中等 2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数2fxac，且 12f，则实数 a的值为（ ）A. 1 B. C. D. 0【答案】 A【解析】由题意可得 2fxa， 12,1fa，选 A.5 【山东省桓台第二中学 2018届高三 9月月考】设曲线 2ln1yx在点(2,0)处的切线方程为 3yx，则 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】 C【解析】由题可知： 1yax，故切线的斜率为： 1,a由 34a6 【湖北省宜昌市葛洲坝中学 2018届高三 9月月考】过点 A(2,1)作曲线 3fx的切线最多有( )A. 3条 B.
4、 2条 C. 1条 D. 0条【答案】 A【解析】设切点为 30,x，则切线方程为 320003yxx，因为过A(2,1)，所以 2 200167x令 326761,gxgxx ，而07,，所以 有三个零点，即切线最多有 3条，选 A7 【广东省揭阳市第三中学 2016-2017学年高二数学】抛物线 2yx在点 1,4M处的切线的倾斜角是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 9【答案】 B8 【内蒙古巴彦淖尔市第一中学 2018届高三 9月月考】已知函数 1xfem的图像为曲线 C，若曲线 存在与直线 12yx 垂直的切线，则实数 的取值范围是 （ ）A. 2m B. 2 C. m
5、D. 12【答案】 A【解析】 1x xfefe（ ） ， （ ） ， 曲线 C 存在与直线 12yx 垂直的切线， 2（ ） 成立， 2 ， 故选 A9 【黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2017-2018学年高二 10月月考】抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 3【答案】 C【解析】由 得 令 ，易得切点的横坐标为 即切点利用点到直线的距离公式得故选 C10 【宁夏银川一中 2018届高三上学期第二次月考】设过曲线 f(x) ex x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1，总存在过曲线 g(x) ax2 cosx上一点处的切线 l2，使得 l1 l2
6、，则实数 a的取值范围为A. 1 a2 B. 1 a2 C. a2 D. 1 a2【答案】 B点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即 1212,xfgxyfx的值域包含于 ygx的值域； 的值域与 的值域交集非空。二、填空题11 【四川省成都市郫都区 2018届高三阶段测试（期中） 】已知曲线21(0)Cypx： ，在点 4,2Mp处的切线与曲线 12xCye： 也相切，则214lnep的值是_.【答案】【解析】依题意得： ypx， = 2px， y| 4p，点 4,2M处的切线的方程为： 42p，即 y14px，设切线与曲线 12xCye： 的切点为 1me，则
7、1 4mep，解得： 4mp,22lnl4p故答案为：4 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 0,Pxy及斜率，其求法为：设 0,Pxy是曲线 fx上的一点，则以 P的切点的切线方程为： 00yf若曲线 在点 0,fx的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 0x12 【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学 2018届高三 10月月考】若函数lnfx与函数 20gxa有两个公切线，则实数 a取值范围是_.【答案】 1,2e点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：已知切点求切线方程；已知切线方程(或斜率)求切点或曲线
8、方程；已知曲线求切线倾斜角的取值范围13 【20172018 学年高中数学（苏教版）选修 11 课时跟踪训练】已知曲线21yx 上一点 31,2P，则在点 P处的切线的倾斜角为_【答案】45【解析】 y 12x22，222112xxxy xAAA当 x 0 时， A x. y| x1 1，在点 31,2P处的切线斜率为 1，切线倾斜角为 45.答案：4514 【20172018 学年高中数学（苏教版）选修 11 课时跟踪训练】已知函数 y fx的图像在点 M(1， f(1)处的切线方程是 2yx ，则 1f _.【答案】315 【重庆市第一中学 2018届高三上学期期中】若曲线 2lnfxa的
9、切线斜率恒为非负数，则实数 a的最小值是_【答案】0【解析】根据导函数的几何意义得到，曲线上在某点处的切线即在这个点处的导数值， 2lnfxa， 12fxa，根据题意即 0fx 在 ,恒成立，变量分离得到 21 ，其中 x的范围是 0,，故得到 a ，故 a的最小值为 0.故答案为 0.16 【广东省揭阳市第三中学 2016-2017学年高二复习检测试题】一点沿直线运动，如果由始点起经过 t秒后的位移是 43215Stt，那么速度为零的时刻是_。【答案】 0【解析】 43215Stt， 3294stt，由 329405stt，即29t（ ），解得 0，故答案为 0.17 【河南省南阳一中 20
10、18届高三上学期第三次考试】经过原点 ,作函数32fx图像的切线，则切线方程为_【答案】 y=0或 9x+4y=0【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别三、解答题18 【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟 2018届高三上学期期中联考】已知函数21lnfxax.（1）证明：曲线 yf在 1x处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若关于 x的不等式 a恒成立，求整数 a的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)2.【解析】试题分析：（1）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；（2）构造函数 21
11、ln1gxaxx，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可试题解析：（1） 2lf，所以 fax，所以 1,fa ，所以 1x处的切线为 12yax，所以 yax，恒过 1,；令 1ln2ha，可知为减函数，因为 10,2h，所以整数 a的值为 2.19 【吉林省吉化一中、前郭五中等 2017-2018学年高二上学期期中】设函数 bfx，曲线 yfx在点 ,2f处的切线方程为 74xy.（1）求 的解析式；（2）设 gxfx，证明：函数 ygx图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【答案】(1) 3fx；(2)证明见解析，定值为 6.【解析】试题分析：（1）己知在
12、x=2处的切线方程，切线方程中代入 x=2,得 y= 12,所以2 74f，可解得 a,b.( 2) 3gfx,设切点设 03,Px，求出切线方程及切线在 x轴, y轴上的交点 A,B坐标，由 12SOAB可求解。（2）由题意知 3gxfx， 23gx.设 03,P为函数 y图象上的任一点，则过点 的切线方程为 0203x，令 0x，则 06yx；令 y，则 0，所以过点 P的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 0162x，故函数 ygx图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为 6.【点睛】可导函数 y=f(x)在 0处的导数就是曲线 y=f(x)在 0处的切线斜率,这
13、就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知 y=f(x)在 0处的切线是 000ffx,若求曲线 y=f(x)过点( m,n)的切线,应先设出切点 0,fx,把( m,n)代入 0yfx,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。20 【20172018 学年高中数学（苏教版）选修 11 课时跟踪训练】求过点 1,2P 且与曲线 234yx 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程【答案】2 x y40.【解析】试题分析：利用导数的定义先求出斜率，再由点斜式写直线方程即可.
14、点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点 P处的切线”和“曲线过点 P的切线”两种说法的区别。（1） “曲线在点 P处的切线”表示点 P为切点，且点 P在曲线上，过点 P的切线只有一条；（2） “曲线过点 P的切线”表示点 P不一定在曲线上，即使点 P在曲线上时也不一定为切点，此时过点 P的切线不一定只有一条。21 【20172018 学年高中数学（苏教版）选修 11 课时跟踪训练】已知曲线 y x3，求：(1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2)过点 P(1,0)的曲线的切线方程【答案】 （1） 3x y 2 0；（2） 3x y 2 0【解析】试题分析：（1）求出 y的导数，求得切
15、线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设切点为( x0， y0)，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得 x0，进而得到切线的方程.试题解析：y3 x2.(1)当 x 1时， y3，即在点 P(1,1)处的切线的斜率为 3，切线方程为 y 1 3(x 1)，即 3x y 2 0.点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点 P处的切线”和“曲线过点 P的切线”两种说法的区别。（1） “曲线在点 P处的切线”表示点 P为切点，且点 P在曲线上，过点 P的切线只有一条；（2） “曲线过点 P的切线”表示点 P不一定在曲线上，即使点 P在曲线上时也不一定为切点，此时过点 P的切线不一定只有一条。
