1、- 1 -第 08 节 函数的图象【考纲解读】考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测函数图象的辨识与变换函数图象的应用问题会运用函数图象理解和研究函数的性质.2014浙江文 8；理 7；2015浙江文 5；2017浙江 7；2018浙江 5.1.函数图象的辨识2.函数图象的变换3.主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等常常与导数结合考查.4.备考重点（1）基本初等函数的图象（2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用【知识清单】1. 利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函
2、数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y f(x)的图象 y f(x)的图象； 关 于 x轴 对 称 - 2 -y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 原 点 对 称 y ax(a0，且 a1)的图象 ylog ax(a0，且 a1)的图象. 关 于 直 线 y x对 称 (3)伸缩变换y f(x) y f(ax). 纵 坐 标 不 变 各 点 横 坐 标 变 为 原
3、 来 的 1a（ a0） 倍y f(x) y Af(x). 横 坐 标 不 变 各 点 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A（ A0） 倍(4)翻转变换y f(x)的图象 y| f(x)|的图象； x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变y f(x)的图象 y f(|x|)的图象. y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ， 右 侧 不 变【重点难点突破】考点 1 作图【1-1】 【北京海淀十一学校 2017-2018 学年高一上期中】对 a、 bR，记,max,ab，函数 2()max|,4()f xR（1）求 0， ()f
4、（2）写出函数 的解析式，并作出图像（3）若关于 x的方程 ()fxm有且仅有 3个不等的解，求实数 m的取值范围 （只需写出结论）【答案】见解析【解析】解：（1）,a,ab，函数 2()ax|,4f x， (0)max,4f， (4)x,4f- 3 -（2） （3） 5m或172【1-2】分别画出下列函数的图象： 11(31|)| |xylgxyfxlg ； ； 【答案】见解析【解析】 (1)首先作出 ylg x 的图象 C1，然后将 C1向右平移 1 个单位，得到 ylg( x1)的图象 C2，再把 C2在 x 轴下方的图象作关于 x 轴对称的图象，即为所求图象 C3： y|lg( x1)
5、|.如图 1 所示(实线部分). (2)y2 x 11 的图象可由 y2 x的图象向左平 移 1 个单位，得 y2 x1 的图象，再向下平移一个单位得到，如图 2 所示.(3) 第一步作 ylgx 的图像第二步将 ylgx 的图像沿 y 轴对折后与原图像，同为 ylg|x|的图像第三步将 ylg|x|的图像向右平移一个单位，得 ylg|x1|的图像第四步将 ylg|x1|的图像在 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得 1|fxlg 的图像，如图 3- 4 -【领悟技法】画函数图像的一般方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、
6、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)图像变 换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论【触类旁通】【变式一】分别画出下列函数的图象：(1)y| x24 x3|；(2) y
7、；(3) y10 |lg x|.2x 1x 1【答案】见解析【解析】(1)先画函数 y x24 x3 的图象，再将其 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，如图 1.- 5 -【变式二】 【2018 年全国卷理】设函数 （1）画出 的图像；（2）当 ， ，求 的最小值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。（2）结合（1）问可得 a，b 范围，进而得到 a+b 的最小值- 6 -详解：（1） 的图像如图所示（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为
8、 考点 2 识图【2-1】 【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x 的图象 可能是A. B. C. D. 【答案】D- 7 -点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下 位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复【2-2】【2018 年理数全国卷 II】函数 的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解： 为奇函数，舍去 A, 舍去 D;，所以舍
9、去 C；因此选 B.【2-3】 【2018 年全国卷文】函数 的图像大致为- 8 -A. A B. B C. C D. D【答案】D【领悟技法】有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。(2)由解析式确定函数的图象。此类问题往往从以下几方面判断：从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断图象的循环往复。利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项。【触类旁通】- 9 -【变式一】 【2
10、017 浙江，7】函数 y=f(x)的导函数 ()yfx的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是【答案】 D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D【变式二】 【2018 届浙江省教育绿色评价联盟 5 月模拟】函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据函数 是奇函数可排除 ，再取 ，得到 ，排除.详解：因为 ，函数 为奇函数，函数 的图象关于原点对称， 可排除选项 ，- 10 -当 时， ，可排除选项 ，故选 D.【变式三】 【2017 课标 3】函数 2sin1xy的部分图像大致为（ ）A BDC D【答案】D【解析】
11、当 1x时， 1sin2i1f，故排除 A,C,当 x时，y，故排除 B,满足条件的只有 D,故选 D.考点 3 用图【3-1】 【2018 年新课标 I 卷文】设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D- 11 -【3-2】 【山东省 2018 年普通高校招生（春季） 】奇函数 的局部图像如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据奇函数性质将 ， 转化到 ， ,再根据图像比较大小得结果.详解：因为奇函数 ，所以 ,因为 0 ，所以 ,即 ，选 A.【3-3】已知函数213,()logxf，若对任意的 xR，都有 f(x)| k1|成立
12、，则实数k 的取值范围为_.【答案】 5(,)4【解析】对任意 xR，都有 |1fxk 成立，即 max|1|fk .因为 f的草图如图所示，观察213,()logfxx的图象可知，当 2时，函数 max14f，- 12 -所以 1|4|k ，解得 3k或 54.【领悟技法】要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与 x 轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函 数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应 x 的范围). 【触类旁通】【变式一】 【2018 届广西钦州市第三次检测】设函数 与函数
13、 的的图象在区间 上交点的横坐标依次分别为 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：找个两个函数图象的对称中心以及在区间 的交点个数，通过对称的性质可得答案详解：将函数 与 y= 的图象有公共的对称中心（ ，0） ，从图象知它们在区间 上有八个交点，分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为 1，故所有的横坐标之和为 4故选：A【变式二】 【2018 届安徽省示范高中（皖江八校）5 月联考】已知函数 的图象如图所示,则 的大小关系为（ ）- 13 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据图像分析得 ，可得结论.详解：由图像可知， ，得 ，故选 A.【易错试
14、题常警惕】对函数图象识别不全而致误【易错典例】函数 y 2sin x 的图象大致是( )x2易错分析：只关注了函数的奇偶性，对函数的单调性不明确导致错误错解：函数 y 2sin x 为奇函数，且 x 趋于无穷大时，函 数值 y 也趋于无穷大，故选 Bx2正确解析：函数 y 2sin x 为奇函数，排除 A；且 y 2cos x，令 y0 得 cosx ，由x2 12 14- 14 -于函数 ycos x 为周期函数，故有多个极值点，且呈周期性，排除 B；而当 x2 时，y 2sin x0，当 x2 时， y 2sin x0，排除 D，故选 Cx2 x2【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好
15、，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休。“数“与“形“反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要
16、注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程 f(x) a 在区间 I 上有解 a y|y f(x)， x Iy f(x)与 y a 的图象在区间 I 上有交点(2)方程 f(x) a 在区间 I 上有几个解 y f(x)与 y a 的图象在区间 I 上有几个交点一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答【典例】 【2018 届广西陆川县中学高三 3 月月考】若函数 yfx满足：对于 yfx图象上任意一点 P，在其图象上总存在点 P，使得 0O成立，称函数 f是“特殊对点函数” 给出下列五个函数： 1yx； 2xye (其中 e 为自然对数 的底数)； lnyx； si1yx； 2其中是“特殊对点函数”的序号是_(写出所有正确的序号)【答案】- 15 -对于 10,P， 2120xyx； 所以不是“特殊对点函数” ；由图知,对于任意一点 P，在其图象上总 存在点 P，使得 OP，所以是“特殊对点函数”；由图知,对于任意一点 P，在其图象上总存在点 P，使得 OP，所以是“特殊对点函数”；- 16 -综上“特殊对点函数”的序号是
