1、- 1 -第 09 节 函数的综合问题与实际应 用A 基础巩固训练1.【2018 届浙江省台州中学模拟】 ，若方程 无实根，则方程（ ）A. 有四个相异实根 B. 有两个相异实根C. 有一个实根 D. 无实数根【答案】D【解析】分析：将函数 看成抛物线的方程，由于抛物线 的开口向上，由方程 无实数根可知，对任意的 ， ，从而得出没有实根.详解：因为抛物线 开口向上，由方程 无实 数根可知，抛物线 必在直线 上方，即对任意的 ， ，所以方程 没有实根，故选 D.2.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a，经过 t天后体积与天数 t的关系式为： ktVae，若新丸经过 5
2、0 天后，体积变为 49；若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为A75 天 B100 天 C125 天 D150 天【答案】A.【解析】由题意，得 kae5094，解得 325t；令 aekt278，即kktee73253)()，即需经过的天数为 75 天.3.某种商品前两年每年递增 20，后两年每年递减 20，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）A. 减少 7.84 B. 增加 7.84 C. 减少 9.5 D . 不增不减【答案】A【解析】设原来的商品价格为 1 个单位，则四年后的价格为：221(0)(0.962. ，减少了 7.84，故选 A.- 2 -4.【2018
3、届安徽省马鞍山市高三第一次（期末） 】某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入. 若该高校 2017 年全年投入科研经费 1300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2000 万元的年份是( )(参考数据： lg.0.5， lg.301 l2.30)A. 2020 年 B. 2021 年 C. 2022 年 D. 2023 年【答案】B5.【2018 届北京市东城区 65 中学高三上期中】光线通过一块玻璃，强度要损失 10%设光线原来的强度为 k，通过 x块这样的玻璃以后强度为 y，则经过 x块这样的玻璃后光线强度为： 0.9x
4、y，那么至少通过（ ）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 4以下（lg347， lg20.3）A. 1 B. C. 14 D. 5【答案】C【解析】光线经过 块玻璃后，强度变为 10%.9yk，光线经过 2块玻璃后，强度变为 2.，光线经过 x块玻璃后，强度变为 0.9xyk由题意 0.94k，即 1.4x，两边同取对数，可得 lgl， lg.l1，l2lg0.62413.0.93954x，又 *N，- 3 -所以至少通过 14块玻璃，光线强度能减弱到原来的 14以下。选 CB 能力提升训练1若函数 log2(0,)xafxa的两个零点是 ,mn，则（ ）A. mn B. 1n C. 1mn
5、 D. 以上都不对【答案】C【解析】由题设可得 1log2xa，不妨设 1a，画出方程两边函数 1log,2xay的图像如图，结合图像可知 0,mn，且 log2ma， 1log2na，以上两式两边相减可得1log02an，所以 1n，应选答案 C。2.【2018 届北京市西城区高三期末】在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作 H）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作 OH）的乘积等于常数 140已知 pH 值的定义为 plgH，健康人体血液的 pH 值保持在7.357.45 之间，那么健康人体血液中的 O可以为（参考数据： lg20.3
6、， lg30.48）A. 12 B. C. 16 D. 0【答案】C- 4 -【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及对数的性质与运算法则，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只 有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 理解本题题意的关键是：“pH 值的定义为 pHlg”的理解和应用.3 【2018 届广东省湛江市二模】为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据村委会组织法 ，某乡镇准备在各村推选村民代表。规定各村每 户推选 人，当全村户
7、数除以 所得的余数大于 时再增加 人。那么，各村可推选的人数 与该村户数 之间的函数关系用取整函数 （ 表示不大于 的最大整数）可以表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意利用特殊值结合所给的选项排除错误选项即可求得最终结果.详解：由题意可知，当全村户数为 户时，应该选 1 人，利用排除法：， A 选项错误；， C 选项错误；， D 选项错误；本题选择 B 选项.4 【2018 年浙江卷】已知 R，函数 f(x)= ，当 =2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_【答案】 (1). (1,4) (2). - 5 -【解
8、析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围.详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式 f(x)0 的解集是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解5 【2018 年文天津卷】已知 aR，函数 若对任意 x3，+ ） ， f(x) 恒成立，则 a 的取
9、值范围是_【答案】 ，2【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.详解：分类讨论：当 时， 即： ，整理可得： ，由恒成立的条件可知： ，结合二次函数的性质可知：当 时， ，则 ；- 6 -点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a f(x)恒成立 a f(x)max；(2) a f(x)恒成立 a f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析C 思维拓展训练1.【2017 北京】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中
10、点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i=1，2，3.记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1， Q2， Q3中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1， p2， p3中最大的是_.【答案】 1Q； 2.p【解析】作图可得 1AB中点纵坐标比 23,AB中点纵坐标大，所以第一位选 1Q 分别作 123,关于原点的对称点 1,，比较直线 123,AB 斜率，可得 2AB最大，所以选 .p 2 【2018 届浙江省镇海中学高三上期中】设函数
11、 fxax， R，若关于 x的- 7 -方程 2fx有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数 a的取值构成的集合_【答案】 953,8.【解析】 3, 2,xafxa.由 32x，解得， 1或 3.当 1a时， a时 2fx有两个根 1或 3，因为方程 f有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，所以另一个根为-5.即 5，且 35，解得 95a，满足题意；当 1a时， x时 2f有两根，设为 12,x， a时 2fx有一根为 3，且有 23x.即 30xax的两根为 12,x.有 12x， 12x解得 538a,因为 1，所以 538a；当 时， 2fx最多有两个根，不符合题意.
12、综上实数 a的取值构成的集合为 953,8.3.【2018 届浙江省绍兴市第二次（5 月）调测】设函数 有两 个零点，则实数 的值是_.【答案】【解析】分析：将原问题进行换元，转化为两个函数有两个交点的问题，然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果.详解：不防令 ，则 .- 8 -原问题转化为函数 与函数 的图像有 2 个交点，函数 的图像是确定的，如下所示(三个函数图像对应满足题意的三种情况)，而函数 是一动态 V 函数，顶点轨迹 y=x，当动态 V 函数的一支与反比例函数相切时，即为所求.联立 可得 ，则满足题意时： ，解得： ，注意到当 V 函数的顶点为 时满足题意，此时 .综上可
13、得：实数 的值是 .- 9 -4.【浙江省金华十校 2018 年 4 月模拟】若对任意的 ，存在实数 ，使恒 成立，则实数 的最大值为_【答案】9【解析】若对任意的 ， 恒成立，可得：恒成立，令 ， ，原问题等价于： ，结合对勾函数的性质分类讨论：- 10 -(1)当 时， ， ，原问题等价于存在实数 满足： ，故 ，解得： ，则此时 ；(3)当 时， ，而 ，当 时， ，原问题等价于存在实数 满足： ，故 ，解得： ，则此时 ；当 时， ，原问题等价于存在实数 满足： ，故 ，解得： ，则此时 ；综上可得：实数 的最大值为 .点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a f(x)恒成立 a f(x)max；(2)a f(x)恒成立 a f(x)min.5某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线（）写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y f(t)；（）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗有效求服药一次后 治疗有效的时间是多长？- 11 -【答案】 （） 1,)2(043ty；（） 小时7916（）由 y0.25 得 25.041t或 25.0)(3t，解得 t5.116因此服药一次后治疗有效的时间是 5 小时116 7916
