1、运动型问题【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等 )或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想, 综合性较强.运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2) 线的运动(线段或直线的运动);(3) 形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等 ).【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的
2、全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中, 哪些图形( 如线段、三角形等)随之运动变化, 并在点运动在相对静止的瞬间, 寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识. 三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动, 进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程 ,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置 ,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在
3、运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题; 二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷, 结论更加准确.类型一 点的运动典例 1 (2015江西)如图(1),AB 是O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,AB=4,BC=2, P 是O 上半部分的一个动点,连接 OP,CP.(1)求 OPC 的最大面积;(2)求 OCP 的最大度数;(3)如图 (2),延长 PO 交O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB 时, 求证: CP 是O 的切线.(1)(2)【全解
4、】 (1) AB=4, OB=2,OC=OB+BC=4.在OPC 中, 设 OC 边上的高为 h, 当 h 最大时,S OPC 取得最大值.观察图形,当 OPOC 时,h 最大,如图(1)所示:(1)此时 h=半径=2,S OPC =22=4. OPC 的最大面积为 4.(2)当 PC 与O 相切时, OCP 最大. 如图(2)所示:(2) OCP=30. OCP 的最大度数为 30.(3)如图 (3),连接 AP,BP.(3) A= D= APD=ABD. = , = . AP=BD. CP=DB, AP=CP. A= C. A= D= APD=ABD= C.在ODB 与BPC 中, ODB
5、 BPC(SAS). D= BPC. PD 是直径, DBP= 90. D+ BPD=90 . BPC+BPD=90. DPPC. DP 经过圆心, PC 是O 的切线.【技法梳理】 本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质 ,切线的判定和性质, 作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.(1)在 OPC 中, 底边 OC 长度固定, 因此只要 OC 边上高最大,则OPC 的面积最大; 观察图形, 当 OPOC 时满足要求;(2)PC 与 O 相切时, OCP 的度数最大, 根据切线的性质即可求得;(3)连接 AP,BP 通过ODB BPC 可求得 DPPC,从而求得 PC 是O
6、的切线.举一反三1. (2015黑龙江牡丹江)如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=8,BC= 6,CDAB 于点 D.点 P从点 D 出发,沿线段 DC 向点 C 运动, 点 Q 从点 C 出发,沿线段 CA 向点 A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度,当点 P 运动到 C 时, 两点都停止.设运动时间为 t 秒.(1)求线段 CD 的长.(2)设 CPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t,使得 SCPQ SABC =9 100?若存在,求出 t 的值; 若不存在,说明理由.(3)当 t 为何值时,CPQ 为等腰三
7、角形?(第 1 题)【小结】 解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想, 避免漏解 .类型二 线的运动典例 2 (2015广东)如图,在ABC 中,AB=AC,ADBC 于点 D,BC=10cm,AD=8cm.点 P 从点 B 出发,在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动,与此同时, 垂直于 AD 的直线m 从底边 BC 出发,以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移 ,分别交 AB,AC,AD 于点 E,F,H,当点 P 到达点 C 时,点 P 与直线 m 同时停止运动,设运动时间为 t 秒(t
8、0).备用图(1)当 t=2 时,连接 DE,DF,求证: 四边形 AEDF 为菱形.(2)在整个运动过程中, 所形成的PEF 的面积存在最大值,当PEF 的面积最大时,求线段 BP 的长.(3)是否存在某一时刻 t,使PEF 为直角三角形?若存在,请求出此时刻 t 的值;若不存在,请说明理由 .【解析】 (1)如图(1) 所示,利用菱形的定义证明;(2)如图 (2)所示 ,首先求出PEF 的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如图 (3)(4)(5)所示, 分三种情形,需要分类讨论,分别求解.【全解】 (1)当 t=2 时,DH=AH= 4,则 H 为 AD 的中点, 如图(1)
9、所示.(1) EFAD, EF 为 AD 的垂直平分线. AE=DE,AF=DF. AB=AC,ADBC 于点 D, ADBC,B=C. EFBC. AEF= B, AFE=C. AEF= AFE. AE=AF. AE=AF=DE=DF,即四边形 AEDF 为菱形.(2)如图 (2)所示 ,由(1)知 EF BC,(2) 当 t=2 秒时,S PEF 存在最大值,最大值为 10,此时 BP=3t=6.(3)存在 .理由如下 : 若点 E 为直角顶点, 如图(3)所示,(3)此时 PEAD,PE=DH=2t,BP=3t. PEAD,此比例式不成立,故此种情形不存在. 若点 F 为直角顶点,如图(
10、4)所示,(4)此时 PFAD,PF=DH=2t ,BP=3t,CP=10-3t. PFAD,. 若点 P 为直角顶点,如图(5)所示.(5)过点 E 作 EMBC 于点 M,过点 F 作 FNBC 于点 N,则 EM=FN=DH=2t,EMFN AD. EMAD,【技法梳理】 这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2) 问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.举一反三2. (2015湖南衡阳)如图,直线 AB 与 x 轴相交于点 A(-4,0),与 y
11、 轴相交于点 B(0,3),点 P 从点 A 出发 ,以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动.同时,将直线 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移,交 OA 于点 C,交 OB 于点 D,设运动时间为 t(0t5)秒.(1)证明 :在运动过程中 ,四边形 ACDP 总是平行四边形;(2)当 t 取何值时,四边形 ACDP 为菱形?请指出此时以点 D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线 AB 的位置关系并说明理由 .(第 2 题)【小结】 这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等 ),问题常以求图形面积的最值 ,或者探
12、究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时 ,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法, 通过 “割补 ”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律. 有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形, 确定线段运动变化的不同阶段, 从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.类型三 面的运动典例 3 (2015甘肃天水)如图 (1),在平面直角坐标系中, 点 A(0,-6),点 B(6,0).RtCDE 中,CDE=90,CD= 4,DE=4 ,直角边
13、CD 在 y 轴上,且点 C 与点 A 重合. RtCDE 沿 y 轴正方向3平行移动,当点 C 运动到点 O 时停止运动. 解答下列问题:(1)如图 (2),当 RtCDE 运动到点 D 与点 O 重合时, 设 CE 交 AB 于点 M,求BME 的度数.(2)如图 (3),在 RtCDE 的运动过程中,当 CE 经过点 B 时,求 BC 的长.(3)在 RtCDE 的运动过程中,设 AC=h,OAB 与CDE 的重叠部分的面积为 S,请写出 S 与 h 之间的函数表达式, 并求出面积 S 的最大值.(1)(2)(3)【全解】 (1)如图(1),(1) 在平面直角坐标系中,点 A(0,-6)
14、,点 B(6,0). OA=OB. OAB= 45. CDE=90,CD= 4,DE=4 ,3 OCE=60 . CMA= OCE-OAB=60-45= 15. BME=CMA=15.(2)如图 (2),(2) CDE=90,CD= 4,DE=4 ,3 OBC=DEC=30 . OB=6, BC=4 .3(3) h2 时,如图(3),作 MNy 轴交 y 轴于点 N,作 MF DE 交 DE 于点 F,且 OE 交AB 于点 k.(3) CD=4,DE=4 ,AC=h,AN=NM,3 CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM. CMN CED,【技法梳理】 本题是一道面平移型动态问题.综合运用
15、了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大. 对于第(3)题这类有关于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度.(1)如图 (1),由对顶角的定义知,BME=CMA,所以欲求BME 的度数,需求CMA的度数.根据三角形外角定理进行解答即可 ;(2)如图 (2),通过解直角BOC 来求 BC 的长度;(3)需要分类讨论: h2 时,如图(4), 作 MNy 轴交 y 轴于点 N,作 MFDE 交 DE 于点 F,S=SEDC -S EFM; 当 h2 时, 如图(3), S=SOBC .举一反三3. (2015福建三明)如图(1),在 RtABC 中, ACB= 9
16、0,AB=10,BC=6,扇形纸片 DOE 的顶点O 与边 AB 的中点重合,OD 交 BC 于点 F,OE 经过点 C,且DOE=B.(1)证明 COF 是等腰三角形, 并求出 CF 的长;(2)将扇形纸片 DOE 绕点 O 逆时针旋转 ,OD,OE 与边 AC 分别交于点 M,N(如图(2),当 CM的长是多少时,OMN 与BCO 相似?(1)(2)备用图(第 3 题)【小结】 解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形( 如线段、三角形等) 不改变、那些图形随之变化 ,即确定运动变化过程中图形中的变与不变 ,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识; 三是要结合具
17、体问题, 建立函数模型,达到解题目的 .对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系, 探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.类型一 1. (2015贵州贵阳)如图,在 RtABC 中,BAC=90, AB=AC=16cm,AD 为 BC 边上的高.动点 P 从点 A 出发 ,沿 AD 方向以 cm/s 的速度向点 D 运动.设ABP 的面积为 S1,矩形2PDFE 的面积为 S2,运动时间为 t 秒(0 t8),则 t
18、= 秒时,S 1=2S2. (第 1 题)(第 2 题)类型二 3. (2015湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中, AB=OB=8,ABO= 90,yOC= 45,射线OC 以每秒 2 个单位长度的速度向右平行移动, 当射线 OC 经过点 B 时停止运动,设平行移动 x 秒后,射线 OC 扫过 RtABO 的面积为 y.(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;(2)当 x=3 秒时 ,射线 OC 平行移动到 OC,与 OA 相交于点 G,如图(2),求经过 G,O,B 三点的抛物线的表达式;(3)现有一动点 P 在(2)中的抛物线上,试问点 P 在运动过程中,是否存在三角形 POB 的
19、面积 S=8 的情况?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在, 请说明理由.(1)(2)(第 3 题)4. (2015江苏连云港)在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是ABC,其中 AB=AC,BAC=120,在点 A 处有一束红外光线 AP,从 AB 开始, 绕点 A 逆时针匀速旋转,每秒钟旋转 15,到达 AC 后立即以相同的旋转速度返回 A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现 ,光线从 AB 处开始旋转计时,旋转 1 秒,时光线 AP 交 BC 于点 M,BM 的长为 (20 -20)cm.3(1)求 AB 的长.(2)从 AB 处旋转开始计时, 若旋转
20、6 秒,此时 AP 与 BC 边交点在什么位置? 若旋转 2015 秒,此时 AP 与 BC 边交点在什么位置 ?并说明理由.(第 4 题)类型三 5. (2015湖南益阳)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的P 的圆心 P 的坐标为(-3,0),将P 沿 x 轴正方向平移, 使P 与 y 轴相切,则平移的距离为( ). (第 5 题)A. 1 B. 1 或 5C. 3 D. 5 6. (2015黑龙江黑河)在等腰直角三角形 ABC 中,BAC=90,AB=AC ,直线 MN 过点 A 且MNBC, 过点 B 为一锐角顶点作 RtBDE, BDE=90,且点 D 在直线 MN 上
21、( 不与点 A 重合),如图(1), DE 与 AC 交于点 P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)(1)在图 (2)中,DE 与 CA 延长线交于点 P,BD=DP 是否成立?如果成立,请给予证明; 如果不成立,请说明理由.(2)在图 (3)中,DE 与 AC 延长线交于点 P,BD 与 DP 是否相等?请直接写出你的结论, 无需证明.(1)(2)(3)(第 6 题)参考答案【真题精讲】1. (1)如图(1),(第 1 题(1) ACB= 90,AC=8,BC=6, AB=10. CDAB, 线段 CD 的长为 4.8.(2) 过点 P 作 PHAC ,垂足为 H,如图(2)所示.(第 1
22、 题(2)由题可知 DP=t,CQ=t.则 CP=4.8-t. ACB= CDB=90, HCP=90- DCB=B. PHAC, CHP=90. CHP=ACB. CHPBCA.整理, 得 5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0. 若 QC=QP,过点 Q 作 QECP, 垂足为 E,如图(3)所示.(第 1 题(3) C(-0.8t,0),OC=0.8t. 在 RtOCD 中,CD= = =t.2+2 (0.8)2+(0.6)2 点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动 t(0t5)秒, AP=t. AP=CD=t. APCD. AP
23、CD,AP=CD=t, 在运动过程中,四边形 ACDP 总是平行四边形. A(-4,0),B(0,3), OA=4,OB=3. 在 RtOAB 中, AB= =5.2+2过点 D 作 DEAB 于点 E,则DEB=90.(第 2 题) 在AOB 和DEB 中,AOB= DEB=90且OBA=EBD , AOBDEB. 点 D 到直线 AB 的距离等于D 的半径. 以点 D 为圆心、 OD 长为半径的圆与直线 AB 相切.方法二:(在证明D 与直线 AB 相切时,也可利用等积法求得点 D 到直线 AB 的距离. )设点 D 到直线 AB 的距离为 d,则 点 D 到直线 AB 的距离与D 的半径
24、相等,即 d=r. 以点 D 为圆心、 OD 长为半径的D 与直线 AB 相切.方法三:(巧用“菱形对角线的性质 ”和“角平分线性质定理”)连接 AD,则 AD 是菱形 ACDP 的对角线, AD 平分OAB. DOAO, DO 是点 D 到直线 AO 的距离. 点 D 到直线 AB 的距离=点 D 到直线 AO 的距离( DO). 以点 D 为圆心、 OD 长为半径的圆与直线 AB 相切.3. (1) ACB=90,点 O 是 AB 的中点, OC=OB=OA=5. OCB=B,ACO= A. DOE=B , FOC= OCF. FC=FO. COF 是等腰三角形.过点 F 作 FH OC,垂足为 H,如图(1),(第 3 题(1) FC=FO,FHOC,(2) 若 OMN BCO ,如图(2),(第 3 题(2)则有NMO=OCB. OCB=B, NMO=B. A= A, AOM ACB. 若OMNBOC, 如图(3),(第 3 题(3)则有MNO=OCB.
